doc1
.pdf340 |
|
IX. Динамика материальной точки |
Откуда для груза весом G = Р |
|
|
|
р |
№ . |
х, = — c o s J — t; |
||
^ |
с |
ЧР |
для груза весом G = ЗР |
|
|
|
з р |
( № . |
х = |
c o s |
, / — t |
|
с |
{ЧЗР |
Так как период свободных колебаний
|
|
|
2к |
|
|
|
|
Т = - |
|
|
|
|
к ' |
|
то |
|
|
|
|
|
|
Т, |
271. I3P |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
2*JР |
|
Ответ: — = -J3; |
х |
= - - c o s ( J ^ - t |
X, = ЗР cos " 5 7 |
|
Т, |
^ |
с |
|
|
Задача 32.12
К пружине жесткости с = 2 кН/м сначала подвесили груз массы 6 кг, а затем заменили его грузом вдвое большей массы. Определить частоты и периоды колебаний грузов.
Р е ш е н и е
Известно, что тело, подвешенное к пружине, совершает гармонические колебания. Частота и период этих колебаний
к = |
„ 2п |
„ jm |
Т = — = 2я, —. |
||
im |
к |
v с |
Рассчитаем для грузов массой т, = 6 кг и m2 = 12 кг частоты с /2000 = 18,26 (рад/с),
32. Колебательное движение |
341 |
'2000 12,9 (рад/с)
12
и периоды колебаний
Тх =2% р = 2 - 3 , 1 4 J — =0^44 (с),
2000
Г2 =2жл —с - 2 -3,14.V122000= 0,49 (с).
О т в е т : А, =18,26 рад/с; к2 = 12,9 рад/с; 7J = 0344 с; Т2 = 0,49 с.
Задача 32.13
Кпружине, коэффициент жесткости которой равен с =
=19,6 Н/м, были подвешены два груза с массами щ = 0,5 кг
и/и2 = 0,8 кг. Система находилась в покое в положении статического равновесия, когда груз т 2 убрали. Найти уравнение движения, частоту, круговую частоту и период колебаний оставшегося груза.
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
Рассмотрим колебание груза тх под действием |
|
; |
|
||
силы тяжести (7, и силы упругости Fynp (см. рисунок). |
|
< > |
|
||
Ось х направим вертикально вниз из положения ста- |
|
|
|||
тического равновесия О груза т, . Изобразим груз |
|
>о |
|
||
в произвольном положении, определяемом коорди- |
|
|
|
||
натой х. |
|
"f |
yng. > |
|
|
Запишем дифференциальное уравнение движения * |
|
||||
|
J О |
||||
груза в проекции на ось х: |
|
L• |
Н |
||
|
г |
|
|||
|
|
m1x = Crj -Fynp, |
|
С, |
|
где Fynp = c(/CTi + х). |
|
|
|
||
Тогда |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
щ х = <7, - с(/СТ| + х) = -сх |
|
|
|
или, так как в положении равновесия С, = Fynр(0) = с/СГ], |
|
|
|
||
12 |
с |
х + к2х = 0, |
|
|
|
где к |
= —. |
|
|
|
|
|
щ |
|
|
|
|
342 |
IX. Динамика материальной точки |
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
х= С, coskt +С2 sin kt,
х= -AC, sin kt + kC2 coskt.
С учетом начальных условий: / = 0, х0 = /ст |
= — = Tii.^ х0 = 0. |
||||
|
|
|
|
с |
с |
дем постоянные интегрирования: С, = |
|
С2 = 0. |
|
||
|
|
С |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение движения груза |
|
|
|
||
m2g |
0,8-9,8 |
{ 19,6 , |
Л |
= 0,4 cos 6,26/. |
|
х = ~— cos kt = ———cos |
——t |
) |
|||
с |
19,6 |
[у 0,5 |
|
|
|
Найдем круговую частоту
V 0,5
период
А6,26
и частоту колебаний
/ = £ = 1<Гц).
О т в е т : х = 0,4 cos 6,26? м; / = 1 Гц; к = 6^6 рад/с; Г = 1 с.
Задача 32.14
Груз массы щ =2 кг, подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой с = 98 Н/м, находится в равновесии. В некоторый момент к грузу тг\ добавили груз т2 =0,8 кг. Определить уравнение движения и период колебаний двух грузов.
Р е ш е н и е
Рассмотрим колебания двух грузов массой т = т1+т2 под действием силы тяжести G и силы упругости Fyw (см. рисунок). Осьх напра-
32. Колебательное движение |
345 |
Задача 32.16
Тело массы т находится на наклонной плоскости, составляющей угол а с вертикалью. К телу прикреплена пружина, жесткость которой с. Пружина параллельна наклонной плоскости. Найти уравнение движения тела, если в начальный момент оно было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему
была сообщена начальная скорость v0, направленная вниз по наклонной плоскости. Начало координат взять в положении статического равновесия.
Р е ш е н и е |
|
Рассмотрим колебания тела массой т. |
|
Покажем на рисунке силы, действующие на |
|
него: силу тяжести G, силу упругости Fynp, |
|
реакцию N опоры. Ось х направим парал- |
|
лельно наклонной плоскости из положения |
|
статического равновесия О в сторону удли- |
|
нения пружины. |
|
Запишем дифференциальное уравнение |
|
движения груза в проекции на ось х: |
|
тх |
|
где Fynp = c(f„ +х). |
|
Тогда |
|
mx = G c o s a - c(J„ + х)--сх, |
(1) |
так как в положении статического равновесия Gcosa = /упр(0) = cf„. Уравнение (1) запишем в виде
х+к2х = О, |
(2) |
где к2 = —. |
|
т |
|
Решение дифференциального уравнения (2) имеет вид |
|
х = С, coskt+C2 sin kt, |
(3) |
-kCx sin A:/ + kC2 coskt. |
(4) |
346 |
|
|
|
|
IX. Динамика материальной точки |
|
Для определения постоянных С, и С2 используем начальные ус- |
||||||
n |
, |
(7cosa |
|
mg cosa . |
||
ловия: при / = 0 х0 |
= - / „ = |
с |
|
= — 2 с |
; Xq = v0, тогда из фор- |
|
мул (3) и (4) найдем |
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
к |
Окончательно уравнение движения (3) имеет вид |
||||||
|
х = - |
C 0 S a |
cos кt +—sin кt. |
|||
|
|
с |
|
|
к |
|
О т в е т : л: = — sin kt - ?^cosa |
cos |
kt, |
где k= |
—. |
||
к |
с |
|
|
|
|
\m |
Задача 32.17
На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом а, находится прикрепленный к пружине груз веса Р. Статическое удлинение пружины равно/. Определить колебания груза, если в начальный момент пружина была растянута из ненапряженного состояния на длину, равную 3/, и груз отпущен без начальной скорости.
Р е ш е н и е
Рассмотрим колебание груза под действием силы тяжести Р, реакции опоры N и силы упругости Fynv (см. рисунок). Ось х направим вниз вдоль наклонной плоскости из положения статического равновесия О.
Запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на осьх:
тх ••Х 7 ^ = /'sina - Fyu
где Fynp = c(f„ + х).
348 |
|
IX. Динамика материальной точки |
Найдем период колебаний груза массой М: |
||
Г = |
= |
(1) |
и груза массой Л/ + Л/,: |
|
|
|
|
(2) |
Согласно формуле (1) |
|
|
2я |
|
|
л/с |
4м' |
|
Подставим это выражение в формулу (2) и получим
Вычислим период Г колебания груза массой М, воспользовавшись данными задачи:
45
Т = — = 0,45 (с). 100
Тогда согласно формуле (3) найдем
Т] = 0 , 4 5 j H ^ =о,55 (с).
О т в е т : Тх = Тл |
м+м. |
|
Л __ |
М |
1 |
=0,5э с. |
|
|
|
|
Задача 32.19
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза Ми двух грузов Л/ч- Л/,, если в обоих случаях грузы были подвешены к концу нерастянутой пружины.
Р е ш е н и е
Рассмотрим колебания грузов под действием силы тяжести G и силы упругости Fynp. Ось х направим вертикально вниз из положения статического равновесия О грузов (см. рисунок).
32. Колебательное движение |
|
349 |
Запишем дифференциальное уравнение движения |
^ |
|
грузов в проекции на ось х: |
|
|
где Fym) = c(f„ + х). |
|
|
Тогда |
|
|
mx-G-cf„ - ex. |
(1) |
о |
Так как в положении статического равновесия |
|
|
G = Fynp(0) = |
cf„, |
|
то уравнение (1) примет вид |
|
|
тх = -сх |
|
|
или |
|
|
x +fc2x=,О, |
(2) |
|
где к2 = -с |
|
|
т |
|
|
Решение дифференциального уравнения (2) имеет вид |
|
|
х = С, coskt+Сг |
sin kt, |
(3) |
х = -кСх sinkt+kC{ |
cos kt. |
(4) |
С учетом начальных условий: t - (1, х0 = -f„, х0 - v0 = 0, из формул
(3) и (4) найдем: - / „ = С,, 0 = кС2 => С2 = 0.
Подставим значения постоянных интегрирования С, и С2 в формулу (3) и запишем уравнение движения грузов
|
x = |
-f„coskt, |
|
где к — круговая частота, к = —; /ст |
— статическая деформация пру- |
||
жины. |
^ |
|
|
Найдем статическую деформацию |
|||
Г Л |
= |
4тс2' |
|
Jст |
с |
Л2 |
|
где с — жесткость пружины, с = к2т.