Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc1

.pdf
Скачиваний:
525
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
11.39 Mб
Скачать
☆

330

IX. Динамика материальной точки

Задача 32.5

На каждую рессору вагона приходится нагрузка Р Н; под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на 5 см. Определить период Т собственных колебаний вагона на рессорах. Упругое сопротивление рессоры пропорционально стреле ее прогиба.

Р е ш е н и е

 

 

Полагая, что рессоры вагона обла-

 

 

дают одинаковой жесткостью с и на

 

 

каждую рессору приходится одинако-

О

WM

вая нагрузка Р, можно считать, что

 

колебания вагона идентичны колеба-

 

 

ниям груза весом Р на одной рессоре.

 

 

Покажем на рисунке груз в произ-

 

 

вольном положении, определяемом координатой л:. Ось х направлена вертикально вниз из положения статического равновесия. Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:

mx = G- Fynp,

(1)

где G =mg; Fynp = сА, А = / „ + х — деформация рессоры.

 

В положении статического равновесия

 

mg = Fynp(0) = cf„,

 

тогда уравнение (1) примет вид

 

тх = —сх

 

или

 

х + к2х = 0.

(2)

где к = —.

т

Полученное дифференциальное уравнение (2) описывает свободные колебания. Период свободных колебаний груза

Т = ~- = 2nJ—.

32. Колебательное движение

331

Жесткость рессоры с определим из условия статического равновесия:

с/ст =mg=»c = -5-.

 

 

/ст

Тогда период собственных колебаний вагона

Т = 2 j l р = 2к

IS-

= 2 -3,14 р — = 0,45 (с).

V с

"V 5

V 9,8

О т в е т : Г = 0,45 с.

Задача 32.6

Определить период свободных колебаний фундамента машины, поставленного на упругий грунт, если масса фундамента с машиной Л/ = 90 т, площадь подошвы фундамента S = 15 м2, коэффициент жесткости грунта с = XS1, где X = 30 Н/см3 — так называмая удельная жесткость грунта.

Р е ш е н и е

Рассмотрим колебания машины с фундаментом на упругом грунте под действием силы тяжести G

и силы упругости

(см. рисунок). Ось х напра-

вим вертикально вниз из положения статического

равновесия О. Изобразим колеблющееся тело в про-

извольном положении М и запишем дифференци-

альное уравнение движения в прекции на ось х:

 

mx = G-Fy n p ,

(1)

где G ~mg\ Fynp = сД, Л = /ст

+ х

деформация грунта.

Тогда

mx-mg-

c{f„

+x) = mgcf„ сх.

 

Так как в положении равновесия

Щ = Fy„р(0) = c/CT, то уравнение (1) примет вид

тх = —сх

332

IX. Динамика материальной точки

или

x+/t2 x = 0

— это дифференциальное уравнение свободных колебаний, период которых

Т- — к'

где к = J— — круговая частота, с = IS.

\т

Следовательно, период свободных колебаний фундамента машины

Т = 2nJ—

= 2 • 3,14.1 9 0 0 0 0

=0,089 (с).

Ш

V 30-15-10

 

О т в е т : 7 = 0,089 с.

Задача 32.7

Найти период свободных вертикальных колебаний коробля на спокойной воде, если масса корабля М т, площадь его горизонтальной проекции S м2. Плотность воды р = 1 т/м2. Силами, обусловленными вязкостью воды, пренебречь.

Р е ш е н и е

Рассмотрим колебания корабля на воде под действием силы тяжести G и выталкивающей силы FEm (см. рисунок). Осьхнаправлена вниз из положения равновесия О корабля.

Составим дифференциальное уравнение колебаний корабля в проекции на ось х:

Мх = G -

(О

где FKbn = Vpg, V— объем вытесняемой кораблем воды, V = S(f„ + х). Тогда

Mx = G-(fCT + х)рgS =G-рgSf„ -xpgS.

32. Колебательное движение

333

Так как при равновесии корабля на воде

(?=/гвыт(0) = р^Уст,

то уравнение (1) примет вид

Мх = -рgSx,

или

х + к2х = О

это уравнение свободных колебаний, где к2 _ Р g S

М

Найдем период вертикальных колебаний корабля

у, 2% „

I М

Т = — = 2 к

]jpgS

к

Ответ: Т ~2п

 

VP&

 

Задача 32.8

В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения ко-

рабля, если он был спущен на воду с нулевой вертикальной скоростью.

Р е ш е н и е Решение дифференциального уравнения, полученного в задаче

32.7:

 

х+к2х = 0,

 

имеет вид

 

дг = С, coskt+C2sinkt,

(1)

х = -кС, sin kt + кС2 cos kt,

гд

М

Определим постоянные интегрирования С, и С2 исходя из началь-

ных условии: t = 0, x0=~f„

е

G

М

•

п

М

„ „

л

 

=

=

, х0

= 0;

 

= С,, С2

= 0.

 

 

PgS

РS

 

 

 

 

 

334 IX. Динамика материальной точки

Подставим найденные значения С, и С2 в формулу (1) и запишем уравнение движения корабля:

 

 

М

 

 

pgS,

 

 

X = pS

cos

М

Л

М

( рgS ,

м.

 

О т в е т : х =

pS

cos I J^^— t

 

 

м

 

 

 

Задача 32.9

Груз, вес которого равен Р Н, подвешен на упругой нити в неподвижной точке. Выведенный из положения равновесия груз начинает совершать колебания. Выразить длину нити х в функции времени и найти, какому условию должна удовлетворять начальная длина ее х0, чтобы во время движения гири нить оставалась натянутой. Натяжение нити пропорционально удлинению; длина ее в нерастянутом состоянии равна /; от действия статической нагрузки, равной q Н, нить удлиняется на 1 см. Начальная скорость груза равна нулю.

Р е ш е н и е

Рассмотрим колебания груза под действием силы тяжести Р и силы упругости Fynp. Ось х направим вертикально вниз, начало координат О поместим в точке подвеса (см. рисунок). Изобразим груз в произвольном положении М, определяемом координатой х. Запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:

где /упр = сД, Д — деформация пружины, Д = х - / . Тогда

тх = Р-с(х-[)

= P+cl -сх

или

 

- с

с ,

x + -x

= g + -l,

т

т

где с-q — жесткость пружины.

 

...

(1)

32. Колебательное движение

335

Обозначим

т т

Р

 

Тогда уравнение (1) примет вид

 

 

x+k2x

= g + k2l.

(2)

Решение неоднородного дифференциального уравнения (2) ищем в виде

х = х +

где х = С, coskt+C2 sin kt; х*- А - const.

Найдем частное решение, подставив его в уравнение (2):

k2A = g + k2l=>A=^-+l

=

-+l.

 

Следовательно,

 

 

 

х = С, cosfa1+С2 sinto+—+/,

(3)

 

Я

 

 

х = -кС. sin kt + кС^ coskt.

(4)

Постоянные С, и С2 определим из формул (3) и (4) с учетом на-

чальных условий: при /0 = 0 х = х0, х = х0 = 0;

 

 

 

С, = х о - 1 - - , С 2 = 0 .

 

 

 

 

Я

 

 

 

Подставим значения С, и С2 в формулу (3) и получим

 

х = 1 + — + хв -/

 

р

Г

р Л (

I Л

Я.

coskt = l + — + \ x0-i

cos

qg t

ЯК

Я

V

Я,

 

Найдем, при каких значенияхх0 нить всегда будет натянутой, т.е.

х>1,

(

 

 

 

 

 

>1

 

/ + -

+ х 0 - 1

(cos

 

Я

 

Я

 

 

или

 

 

 

 

• +

X,

c o s l j ^ /

|>0.

(5)

 

 

я)

 

 

336

 

 

 

 

 

 

IX. Динамика материальной точки

Рассмотрим два случая, так как cos

! | в неравенстве (5) при-

нимает экстремальные значения ±1:

 

1) если cos

t

= 1, тогда

 

 

 

 

 

 

 

х0 ~/

|>0,

*«>/;

 

 

 

 

 

 

Я,

 

2) если cos

 

= -1, тогда

 

 

 

 

Р

(

х 0

, Р

\ п

2Р

 

 

—

 

- / —

>0, х0

</ + — .

 

 

я

V

я)

q

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/<х0

</ + 2Р

 

 

 

 

 

 

 

Я '

 

О т в е т : х = / + — + x 0 - / - ^ - J c o s ^ / | ;

1<х0<1 + 2 Р

 

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 32.10

 

На два вращающихся в про-

 

 

тивоположные стороны, указан-

 

 

ные на рисунке, цилиндрических

£

 

шкива одинакового радиуса сво-

 

 

бодно положен однородный стержень; центры шкивов О, и 02 находятся на горизонтальной прямой 0,02; расстояние 0Х02 = 2/; стержень приводится в движение силами трения, развивающими-

ся в точках касания его со шкивами; эти силы пропорциональны давлению стержня на шкив, причем коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равен /.

32. Колебательное движение

337

1) Определить движение стержня после того, как мы сдвинем его из положения симметрии на х0 при v0 = 0.

2) Найти коэффициент трения /, зная, что период колебаний Т стержня при 7 = 25 см равен 2 с.

Ре ш е н и е

1)Рассмотрим горизонтальное движение стержня под действием силы тяжести Р, сил

трения Ц и Ръ реакций Nt и N2 (см. рисунок). Осьх направим горизонтально вправо, начало координат — точка О.

Запишем дифференциальное уравнение движения стержня в проекции на ось х:

mx=Fx-F2,

(1)

где^ = ЛГ/; F2 = N2f.

Выразим силы Ni и N2 через силу тяжести Р, учитывая смещение х стержня. Составим уравнения равновесия системы сил, приложенных к стержню:

£ M , ( F t ) = 0, 2ЙУ2-Д/ + Л) = 0;

 

 

£ Л/й (Д) = 0,

РЦ-х)-2Шх

 

=0.

Откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N2

= P

l + х

Р

Р

„

„1-х

Р

21

= —+—х,

Nt

= Р-

21

2 ' 21

 

 

2

21

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J Р

 

Р

 

 

 

 

 

 

: f

_

+

_ х

 

 

 

 

 

 

12

21

и уравнение (1) примет вид

тх = ~/Р,

338

IX. Динамика материальной точки

или с учетом того, что Р - mg,

 

 

х+к 2 х = 0,

(2)

где к2 = —.

 

 

/

 

 

Решение дифференциального уравнения (2) имеет вид

 

 

х = С, coskt+C2smkt,

(3)

 

х = -кСх sin kt + кСг cos kt.

 

Определим постоянные интегрирования С, и С2 с учетом началь-

ных условий: при / = 0 х = х0, х0 = v0 = 0; С, = х0, С2 =0. Подставим значения С, и С2 в формулу (3) и получим

x = х „ c o s

2) Определим коэффициент трения / Так как период свободных колебаний

 

к

\Jg

 

то

 

 

 

~ g F 2 ~

9,8-22

_ /

О тве т: 1) х = х0cos| J ^ / j ;

2)/

= М

= 0т25.

Задача 32.11

К одной и той же пружине подвесили сначала груз веса Р, а во второй раз груз веса 3Р. Определить, во сколько раз изменится период колебаний. Зная коэффициент жесткости пружины с, а также начальные условия (грузы подвешивались к концу нерастянутой пружины и отпускались без начальной скорости), найти уравнения движения грузов.

32. Колебательное движение

 

339

Р е ш е н и е

 

 

Рассмотрим колебания груза под действием силы

 

тяжести G и силы упругости Fynp (см. рисунок). Ось х

 

направим вертикально вниз из положения статиче-

 

ского равновесия О.

 

 

Запишем дифференциальное уравнение движения

 

груза:

 

 

mx =

G-Fynp,

 

где Fynр = сА, A = f „ + х — деформация пружины.

 

Тогда

 

 

mx-G-

c(J„ + х).

(1)

Так как в положении равновесия

G = ^упр(0) = с/ст,

то уравнение (1) примет вид

тх = -сх

или

х+к2х = О,

где к2 _

т

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

х= С, cosA/ +С2 sin kt,

х- -AC, sin kt + kC2 coskt.

Исходя из начальных условий: t = 0, х„ = -f„, х0 = 0, найдем постоянные интегрирования:

С, = - / „ = - -с,

С2 =0.

Тогда

 

 

G

(

I7?

X - — c o s

J— t

с

\Чт ,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности