doc1

Задача 32.27

В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в положении равновесия ему сообщим скорость v0, направленную вниз.

Р е ш е н и е Решение дифференциального уравнения

Подставим значения С, и С2 в выражение (1) и запишем уравнение движения груза:

Задача 32.28

Определить коэффициент жесткости с пружины, эквивалентной двойной пружине, состоящей из двух последовательно включенных пружин с разными коэффициентами жесткости с, и с2, и указать также период колебаний груза массы т , подвешенного на указанной двойной пружине.

Р е ш е н и е

Найдем жесткость с эквивалентной пружины (см. рисунок), учитывая, что

Д = А, + Д2 ,

где А — удлинение эквивалентной пружины; А, = mg/(\ , А2 ~mgjc2 — удлинение соответственно первой и второй пружины.

Период свободных колебаний

2%

где к2 _

т

Тогда с учетом выражения (1)

Т = 2 п Н ^ ) ,

V

Задача 32.29

В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в начальный момент он находился ниже положения равновесия на расстоянии х0 и ему сообщили скорость v0, направленную вверх.

Подставим в формулы (2) и (3) начальные условия: / =0, х = х0, х0 =-v0 , и найдем

х = х0 = С,,

х = х0 = -v0 = С2к => С2 = -—.

к

Подставим значения С, и С2 в выражение (2) и запишем уравнение движения груза:

х = х„ coskt —к— sin kt

Задача 32.30

Определить коэффициент жесткости составной пружины, состоящей из двух последовательно соединенных пружин с разными коэффициентами жесткости q =9,8 Н/см и с2 = 29,4 Н/см. Найти период колебаний, амплитуду и уравнения движения груза массы 5 кг, подвешенного к указанной составной пружине, если в начальный момент груз был смещен из положения статического равновесия на 5 см вниз и ему была сообщена начальная скорость 49 см/с, направленная также вниз.

Р е ш е н и е

Заменим две последовательно соединенные пружины одной эквивалентной. Учтем, что

А = А, +Д2,

где Д — деформация.эквивалентной пружины; А,, Д2 — деформация соответственно первой и второй пружины.

Тогда

откуда

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на осьх. Начало координат выбираем в положении статического равновесия груза, из которого груз смещается в сторону положительного направления оси х (см. рисунок). Покажем действующие на груз силы: силу тяжести mg, силу упругости Fynp, и запишем

В положении статического равновесия груза

Щ~с/а-

Тогда уравнение (2) примет вид

С учетом начальных условий движения: t = 0, х0 = 5 см, х„ = 49 см/с, из формул (5) и (6) найдем: х0 = С, = 5; х„ = С2к, С2 — = 4,04.

Тогда согласно формуле (5)

x = 5cosl2,13/+4,04sin 12,13/. Найдем период и амплитуду колебаний:

Так как колебания являются малыми, то можно считать, что cosa = cosa0, поэтому

Задача 32.32

Точка А, масса которой равна /и, прикреплена пружинами, как указано на рисунке. В исходном положении точка находится в равновесии и все пружины не напряжены. Определить коэффициент жесткости эквивалентной пружины при малых колебаниях точки вдоль оси х в абсолютно гладких направляющих и частоту свободных колебаний.

Р е ш е н и е

Определим эквивалентные жесткости с2ъ пружин с жесткостью сг и с3, а также с45 пружин с жесткостью с4 и с5:

с23 = с2 +с3 >

Ввиду малости углов ф,, ф23 и ф45 считаем, что их косинусы равны единице. Тогда

Д/, = xcosa,', Д/2 = xcosa2 , Д/3 = xcosa3 .

С учетом этих значений получим

Flx =-cjx cos2 a,',

Введем обозначение Fx - -еде, с — коэффициент жесткости эквивалентной пружины. Тогда

Fx = Flx+F2x+F3x

или

с = с, cos2 а ' + с23 cos2 а'2 + с45 cos2 а3 .

Так как колебания являются малыми, то можно считать, что cosa' = = cosa,, cosa'j = cosa2, cosa'3 = cosa3. Поэтому с учетом значений жесткости эквивалентных пружин получим

Запишем дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось л::

Задача 32.33

Определить коэффициент жесткости пружины, эквивалентной трем пружинам, показанным на рисунке, при колебаниях точки М в абсолютно гладких направляющих вдоль оси х. Решить ту же задачу, если направляющие расположены вдоль оси у. Определить частоты этих колебаний.

Р е ш е н и е

Начало координат О выберем в положении, когда пружины не деформированы. Рассмотрим движение точки вдоль оси х. Сместим точку М в сторону положительного направления оси х (рис. 1). Покажем действующие на точку силы упругости: Fn F2 и F3.

Определим проекции сил упругости каждой пружины на ось х:

FXx = -Fx cosa,',

Рис. 1

F2x = ~F2 cosa2, F3x = -F3 cosa',,

где Fx = с,Д/,; F2 = с2Д/2; F3 = c3A/3. Найдем деформацию каждой из пружин:

Д/, = /0, cosa, + xcos<pf-/01, Д/2 = /02 cos a2 + х cos ф2 - /02, Д/3 = /03 cosa3 + хсозф') -/0 3 .

Ввиду малости углов а,, с^, а3 считаем, что cosa, = cosa2 = cosa3 = 1. Тогда

Д/, = ХСОБф,', Д/2 = х cos ф2, Д/3 = х coscp',

FXx = ~clx cos2<p't,

Обозначим Fx = ~cxx, cx — коэффициент жесткости пружины, эквивалентной всем трем пружинам.

Тогда

Fr = Д',. + Flx + ЛЗх