Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4634 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc1

.pdf
Скачиваний:
525
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
11.39 Mб
Скачать
☆

440 IX. Динамика материальной точки

Откуда

 

 

 

аэкв = а

bvB

Ь2

/

-

,

 

V ,

I 2

V» £ так как - = - .

Л'

Запишем дифференциальное уравнение движения точки А в проекции на ось у (см. рисунок):

 

 

 

 

tny = P-FynpA

-Ra,

 

гае FynpA — сила упругости, приведенная к точке A (FynpA

= сжв{/„ + у));

Ra — сила сопротивления, приведенная к точке A (R =

азту)

или -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ту = Р- сжв(/СТ + у) -

ажну.

 

С учетом того, что c.jKJ„ =Р = mg, получим

 

 

 

 

 

р~

Ь2

.

Ь2

.

 

 

 

 

 

-У

+ а^-У + с—у

= 0

(1)

 

 

 

 

g

I

 

г

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у+2пу

+ к2у = 0,

 

,2

cb2g

п

=

ab2g

 

 

 

 

 

где к

= —

2Р1

 

 

 

 

 

 

PI

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим частоту затухающих колебаний

 

 

 

 

 

М р/2

4Р2{4

j у р {2pl J

 

Движение будет апериодическим, если п > к, т.е.

ab2g >

\cb-g

2 PI2

V Р!2

или

ab2g ^ b [eg 2PI2 ~ /V Р'

32. Колебательное движение

441

Откуда

 

 

 

 

^ 21 [сР

 

 

 

 

 

big

 

 

Отвег.-у

р -

b2 .

Ъ2

п .

Ь

eg fabg\

 

+ а - у

+ с - у

= 0;к1

= 7

]

j j - [ — J

Задача 32.75

. 21 IdP

р а д / с ; а > - ^ — .

При колебаниях груза массы 20 кг, подвешенного на пружине, было замечено, что наибольшее отклонение после 10 полных колебаний уменьшилось вдвое. Груз совершил 10 полных колебаний за 9 с. Как велик коэффициент сопротивления а (при сопротивлении среды, пропорциональном первой степени скорости) и каково значение коэффициента жесткости с?

Р е ш е н и е

Одно полное колебание состоит из двух размахов, максимальные отклонения за один размах уменьшаются в геометрической прогрес-

сии, знаменатель которой равен е т 2\ , следовательно, за полное колебание амплитуда уменьшится в е~"Т| раз, тогда

В соотвтествии с условием задачи

Откуда

 

 

"

2

 

 

 

 

:

 

 

е"ш"Т| =2-',

 

 

 

их.

1п2.

 

 

 

'

10

_

9

1п2

.

 

Так как т, = —, то п =

9

 

'

10

 

ос

 

 

 

 

Поскольку коэффициент затухания п = — , то коэффициент со-

противления

^m

сс = 2тя = 2-20- — =

3,08 (Н - с/м).

9

 

442

IX. Динамика материальной точки

Определим коэффициент жесткости. Частоту к] затухающих колебаний

kf^k'-n2.

Откуда

 

г

2п

лТ

Л 1 V

 

 

к2=к2+п2

=

 

1п2

= -у[(2л)2

+(0,11п2)2] =

 

 

1

 

Ют,wl

Ь

 

 

v 1 /

V l У

1

 

 

100

(6Д82 + 0,0692) = 48,74.

 

 

 

81

 

Так как к2 = —, то

т

с= к2т — 48,74-20 = 974,8 (Н/м).

От в е т: а = 3,08 Н • с/м; с = 974,8 Н/м.

Задача 32.76

 

 

 

Составить дифференциальное

 

 

 

уравнение малых колебаний точки

 

 

 

А и определить частоту затухающих

о

 

в

колебаний. Вес точки А равен Р, ко-

<4>

 

 

эффициент жесткости пружины с,

 

 

расстояние OA = b,OB = I. Сила со-

 

 

ts

противления среды пропорциональ-

 

S3

на первой степени скорости, коэффи-

 

1 3

циент пропорциональности равен а. Массой стержня ОБ, шарнирно за-

крепленного в точке О, пренебречь. В положении равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента а движение будет апериодическим?

Р е ш е н и е

Перенесем пружину из точки В в точку А (рис. 1), используя соотношение

Рущв1 - Р,„рАЬ

32. Колебательное движение

443

ИЛИ

сув1 = СэквУл ь-

Учитывая, что — = - , получим

УA b

Ч*аС — ^с 12

Запишем дифференциальное уравнение движения точки А в проекции на ось у (рис. 2):

 

 

my =

-P-FynPA-RA,

те FynpA=c = y-/„,

RA=ay

 

 

или

 

 

 

 

 

 

ту--Р-

сзкв(у

-f„)-ay,

г

т8

 

 

 

ГДе /я

= —•

 

 

 

 

с

 

 

 

После подстановки и преобразований получим дифференциальное уравнение колебаний точки А:

Р I2

—у+ау+с—у=2О g b

444

 

 

IX. Динамика материальной точки

или

 

 

 

 

 

 

 

у+2пу + к2у = О,

(1)

a

ag

,,

l2g

 

где п = — = — ;

к2 =

с-~.

 

2т

2 Р

 

Ь2Р

 

Частота затухающих колебаний

^ЧРЬ2 4Р2

Движение будет апериодическим, если п>к, т.е. когда

 

 

2Р

> j f ^ g

 

 

 

 

 

 

 

 

ЧЬ2Р

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Р

ЬЧ Р'

 

 

 

 

 

 

Откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а>

2/

§ Р

 

 

 

 

 

 

Р

с!2

 

И

г 2'

2

g

2

,

^21

fcP

О т в е т : —j> + а>ч-—— у =

к

 

cl g

a

 

 

_ _ _ _ _ _

р а д / с ;

a >

j .

8

Ь2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 32.77

Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жесткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний.

Р е ш е н и е

Определим частоту к свободных гармонических колебаний:

т5

32. Колебательное движение

 

445

откуда

 

 

к = 44=2

(рад/с).

Рассчитаем частоту А:, затухающих колебаний:

2ж

2-114

 

Aj = — =

10

= 0,628 (рад/с).

Найдем коэффициент затухания:

п = 4 к 2

= л/22 -0,6282 = 1,9 (рад/с).

Так как к>п,ю движение будет колебательным и затухающим. Определим постоянную демпфирования:

<х = 2тя = 2-5-1,9= 19 (Н • с/и).

Рассчитаем логарифмический декремент

а,=51 =

9,5

2

 

2

и период свободных колебаний

 

7 = ^/к = ^ 2

= 3,14(0.

О т в е т : а = 19 Н • с/м; \ = ~

=

Т= 3,14 с.

Вынужденные колебания

Задачи и решения

Задача 32.78

Найти уравнение прямолинейного движения точки массы т , находящейся под действием восстанавливающей силы Q = -сх и постоянной силы F0. В начальный момент t = 0, х0 =0 и х0 =0. Найти также период колебаний.

446

IX. Динамика материальной точки

Р е ш е н и е

На материальную точку действует восстанавливающая сила, подчиняющаяся закону Гука, значит, эта механическая система содержит упругий элемент (пружину), а движение точки носит колебательный характер. Покажем на рисунке силы, действующие на точку массой /и: силу тяжести mg, силу упругости /уПр пружины, силу Fa. Начало системы координат Оху выбрано в положении статического равновесия.

Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки в проекции на ось х:

 

mx = mg-'^УПр + FQ,

 

где F^- = c/CT

+Q,f„=

 

Тогда уравнение движения примет вид

 

 

mg

 

 

mx = mg-c—~cx+Fti

 

или

с

 

х + к2х •• El

 

 

(1)

 

т ?

где к2 =-, к =

— частота гармонических

колебаний.

т

V т

 

Решение дифференциального уравнения (1) ищем в виде

х = х + х*,

где х = С, coskt+C2 sin kt — решение однородного уравнения; х* = А — частное решение.

После подстановки х* в уравнение (1) получим

Ак2 = ~ => А =

ттк

Врезультате решение уравнения (1) приобретет вид

х = С, cos kt + C2

smkt + Fi2

;

(2)

 

тк

 

 

32. Колебательное движение

447

x--Clksinkt+C2kcoskt.

(3)

Используя начальные условия: t - 0, х0 =р0 и х0 = 0, из формул (2),

(3) определим постоянные С, и С2: С. =

С2= 0.

тк2

Подставим значения постоянных интегрирования С, и С2 в формулу (2) и так как тк2 = с, получим уравнение движения точки

 

х-—(\-coskt).

 

 

с

 

Период колебаний

 

 

 

Т = —

 

 

к '

 

О т в е т : х = —(1 - coskt), где к = J—; Т ~

к

с

\т

Задача 32.79

Определить уравнение прямолинейного движения точки массы т, находящейся под действием восстанавливающей силы Q = -сх и силы F В начальный момент времени точка находится в положении статического равновесия и скорость ее равна нулю.

Р е ш е н и е

Используя схему решения задачи 32.78, с учетом того, что F0 = at, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний для этого случая:

х + к2х = —.

(1)

т

 

Решение уравнения (1) ищем в виде суммы однородного х и частного х* решений, т.е.

х = х + х*,

где х = С, coskt +С2 sin kt; х* - At.

Подставим х* в уравнение (1):

Ак2 = —

т

448

IX. Динамика материальной точки

и найдем

а

А = -тк2

Тогда

а/

тк2

и решение дифференциального уравнения (1) примет вид

 

 

 

(X/

 

 

 

 

 

х = С, coskt+C2

sin kt

тк+

—

(

2

)

 

x = -C,ksinkt+C2kcoskt+-^-.

 

 

 

(3)

 

1

 

тк2

 

 

 

Используя начальные условия: t = 0, х0 = 0, х0 = 0, из формул (2), (3)

определим постоянные С, и С2: С, =0;

С2 =

а; 3

 

 

 

 

 

 

тк3

 

 

 

Подставим эти значения в формулу (2) и окончательно запишем

 

а

-sin £/).

 

 

 

 

 

тк3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

Гс"

 

 

 

 

 

 

где А: =

 

 

 

 

 

 

 

 

ос

I с

 

 

 

 

 

О т в е т : х = — - (kt - sin kt), где k = J—.

 

 

 

 

 

 

тк

\т

 

 

 

 

 

Задача 32.80

Найти уравнение прямолинейного движения точки массы т, на которую действует восстанавливающая сила Q = -сх и сила F = Fge~w, если в начальный момент точка находилась в положении равновесия в состоянии покоя.

Р е ш е н и е

Используем схему решения задачи 32.78, с учетом того, что вместо Fq приложена сила F = F0e'a/. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний для этого случая имеет вид

х + к2х = ^-е'ш,

(1)

т

 

где к2 =—, к= —.

т \т

32. Колебательное движение

449

Решение дифференциального уравнения (1) ищем в виде суммы однородного х и частного х* решенийэешени, т.е.

х = х + х*,

где х = С, coskt +С2 sinА?.

Частное решение зависит от вида правой части уравнения (1), т.е. х*= Ае~ш. После подстановки х* в уравнение (1) найдем

2

 

ш

2

 

ш

 

А-01 Л _

 

 

 

Аа

е'

 

+ Ак

е~

 

=

т

=>А = т(к2 + а2 )

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х* =

ttik2 + а

е - < "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 )

 

 

 

и решение уравнения (1) примет вид

 

 

 

 

х = С. coskt+С2

sin kt +

р••••-

-• е~ш,

(2

 

 

 

 

 

 

 

 

rrikr +

а2)

 

 

х = -С, к sin kt+C2k coskt

m(k2

,

е~ш.

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

+ a2 )

 

Используя начальные условия: t =0, x0 =0, x0 =0, из формул (2),

(3) определим постоянные С, и С2:

 

 

 

 

 

 

 

 

С1 = ~

Fo .

 

 

 

 

 

 

 

т(к2 +а2)'

 

 

 

aFp т{к2 +а2)к

Подставим эти значения в формулу (2) и запишем уравнение движения

 

 

х =

— _ ( е ш - coskt + -

sin kt

 

 

т(к2

+ а?)\.

 

к

 

О т в е т : х =

т{к

^—— \ e"™ -coskt

+ ~ sin А/ ], где k = J~.

 

+ a )V

 

к

J

Vm
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности