doc1

490 IX. Динамика материальной точки

Поскольку в начальный момент (р0 = а, ф0 = 0, то

Рассмотрим два случая, так как в условии задачи дано, что р > g. 1) При р = g по формуле (5) получим cos ф-cos a = 0, шш совф = cosa. Следовательно, ф = 0, т.е. угол отклонения маятника не изменя-

ется и равен начальному углу отклонения. Тогда j = 0. 2) При p>g согласно формуле (5)

(6)

Так как в положении, соответствующем углу а, маятник имеет угловую скорость, равную нулю, то из выражения (6) следует, что

со8ф-со8а = 0, созф=со5а или cos(2тс-а) = cosa.

Следовательно, ф = 2п - а. Тогда Дф = ф - a = 2(л - а). Поэтому

s = /Дф = 2/(тс - а).

О т в е т : 1) при р = g s = 0; 2) при p>g s = 2l(n - a).

Задача 33.4

Железнодорожный поезд идет со скоростью 15 м/с по рельсам, проложенным по меридиану с юга на север. Масса поезда 2000 т. 1) Определить боковое давление поезда на рельсы, если он пересекает в данный момент северную широту 60°. 2) Определить боковое давление поезда на рельсы, если он идет в этом же месте с севера на юг.

Р е ш е н и е

Свяжем с поездом систему координат Mxyz (см. рисунок), где ось

уперпендикулярна рельсовому пути и направлена по касательной

кповерхности земли. Поезд идет с юга на север.

Сила давления Q равна реакции рельса, т.е. Q = N = 3778,7 Н.

1)При движении с юга на север поезд давит на правый восточный рельс, если смотреть по ходу движения;

2)при движении с севера на юг поезд давит на правый западный рельс за счет изменения направления силы инерции Кориолиса.

От в е т : 1) 3778,7 Н на правый восточный рельс; 2) 3778,7 Н на правый западный рельс.

Задача 33.5

Материальная точка свободно падает в северном полушарии с высоты 500 м на Землю. Принимая во внимание вращение Земли вокруг своей оси и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на сколько отклонится на восток точка при падении. Географическая широта места равна 60°.

494 IX. Динамика материальной точки

Подставим это выражение в уравнение (17) и с учетом того, что

О т в е т : на 12 см.

Задача 33.6

В вагоне, движущемся по прямому горизонтальному пути, маятник совершает малые гармонические колебания, причем среднее его положение остается отклоненным от вертикали на угол 6°.

1) Определить ускорение а вагона. 2) Найти разность периодов колебания маятника: Т — в случае неподвижного вагона и Г, —

вданном случае.

Ре ш е н и е

1)Покажем на рис. 1 силы, действующие на маятник в движущемся вагоне: силу тяжести mg, реакцию нити N, пере-

носную силу инерции Фе, Ф, = та, где а — ускорение вагона.

Вположении равновесия, определяемом углом а = 6°, силы mg, N и Фе образуют уравновешенную систему (рис. 2), откуда следует, что

Фг =mgtga

или

та =mg tga.

Откуда

Рис.2

а = gtga = gtg6°= 9,81 - ОД051 = 1,03 (м/с2).

2) Дифференциальное уравнение относительного движения маятника в проекции на ось т имеет вид

dv

m— = ~mgsmy+ma cos \(/,

dv

где v = /<p, — = ф; a - gtga; \|/= а + ф. dt

Преобразуем правую часть данного уравнения:

где Т - 2л I -— период колебания маятника в неподвижном вагоне.

U

Откуда

Т - Т{ = 0 - Vcosa)Т = (1 - Vcos6°)Т = 0,0028Т.

Р е ш е н и е

Покажем на рисунке силы, действующие на маятник: силу тяжести mg, реакцию N нити, переносную Фе силу инерции.

В этом случае дифференциальное уравнение относительного движения в проекции на ось т имеет вид

т~ = Фе cos<p-mgsincp,

где v = /ф, — = ф; |Фе| = /и| = тар7 sin pt. dt

После преобразований, считая, что для малых колебаний собф = 1, sin ф = ф, получим

Задача 33.8

Точка, находящаяся на широте X, брошена в западном направлении под углом а к горизонту с начальной скоростью v0. Определить время и дальность полета точки.

Р е ш е н и е

Введем декартову систему координат (рис. 1), проведя оси х и у соответственно по касательным к меридиану на юг и к параллели на восток, ось z по истинной вертикали.

Тогда относительное движение_точки будет происходить под действием силы тяжести mg и силы Фс инерции Кориолиса (рис. 2).

Составим таблицу проекций векторов, входящих в это уравнение, на оси х, у и z и начальных условий.

= - fy со sin X+у'со (х sin X+z cosX) - кcoy cosX.

Тогда уравнение (1) в проекциях на оси координат:

х= 2coy sinX,

у= -2coxsinX-2co£cosX, 2 = -g+2co>>cosA,.

Интегрируя эти уравнения по времени, получим

x = 2oo>'sinX+Cl,

у = -2coxsinX-2cozcosX+C2,

z = -gt+2(oycosX+C3.

Согласно начальным условиям (см. три последние колонки таблицы) найдем: С, = О, С2 = -v0 cosa, С3 = v0sina.

Тогда запишем

подставим это выражение в формулу (4) и получим

где учтено, что со — малая величина.

Для определения зависимости у = у(t) выразим из уравнения (7) х = -(2cov0 sin Я.cosa)/,

подставим в уравнение (2) и получим

у--v0tcosa.