doc1

Предисловие

В последние десятилетия заметно возросло количество издаваемых решебников по физике, математике и механике для студентов технических вузов. Это обусловлено необходимостью создания базы для самостоятельной работы из-за сокращения времени на расчетно-графические и контрольные работы. Многие разделы механики, требующие больших затрат времени, не могут быть проработаны на практических занятиях с необходимой степенью детализации, в результате происходит «вымывание» трудного материала при изучении теоретической механики в целом и отдельных ее разделов.

Динамика традиционно является наиболее сложной частью теоретической механики. Динамика материальной точки имеет первостепенное значение для понимания векторной динамики Ньютона, так как в ней наглядно рассматривается применение основных теорем механики. Механика твердого тела, ее модели, принципы, законы являются фундаментом подготовки инженеров всех направлений, особенно специалистов для машиностроения, приборостроения, строительства и энергетики. Задачи данного раздела в наибольшей степени соответствуют тем задачам, которые инженерам приходится решать в ходе их практической деятельности. Качество усвоения учебного материала непосредственно зависит от количества и разнообразия решенных задач.

Сборник задач И.В. Мещерского является наиболее известным учебным пособием по теоретической механике, выдержавшим десятки переизданий во многих странах мира, которое и сегодня широко используется в высших учебных заведениях технического профиля нашей страны.

4 Предисловие

Первое пособие с решением задач этого сборника было издано в 1963 г. в Германии (Н. Neuber. Losungen zur Aufgabensammlung Mestscherski, 1963, DVW, 465 S.). Однако позднее сборник многократно переиздавался, при этом он исправлялся и дополнялся.

В предлагаемом учебном пособии даны решения всех задач из отдела «Динамика» сборника И.В. Мещерского (Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике / И.В. Мещерский. 36-е изд., испр. М.: Наука, 1986). Первая часть пособия включает задачи главы IX «Динамика материальной точки» (§ 26—33), вторая — главы X «Динамика материальной системы» (§ 34—45) и § 46—48 главы XI «Аналитическая механика». Решения задач приводятся с подробными пояснениями, что особенно важно при самостоятельной работе. В начале каждого параграфа даны основные теоретические положения и методические указания с подробными пояснениями. Как правило, решения сопровождаются рисунками с указанием действующих сил, скоростей и ускорений.

Предлагаемое учебное пособие поможет усовершенствовать методику проведения практических занятий. Так, преподаватель может предложить студентам при подготовке к практическим занятиям по определенной теме самостоятельно ознакомиться с решением некоторых задач,

азатем в ходе занятия решать аналогичные задачи.

Вподготовке пособия приняли участие: В.А. Акимов, Г.Н. Алехнович, О.Н. Скляр, |АЕ. Крушевский|, Т.Ф. Вогинская, Г.С. Соколовский, В.Д. Тульев — решение задач; Н.И. Горбач — теоретический материал и методические указания к решению задач, уточнение и дополнение решения задач, совместно с Г.И. Беляевой — редактирование решений всех задач для соблюдения единообразия

вобозначениях физических величин и методики решения; Л.Н. Беляцкая — организация компьютерного набора и окончательное оформление рукописй. Общее руководство работой и редактирование осуществлено А.В. Чигаревым.

Авторы выражают благодарность сотрудникам кафедры «Теоретическая механика» Белорусского националь-

5 Предисловие

ного технического университета А.В. Прусовой, А.В. Грековой, О.В. Курановой, Е.В. Астапенковой, А.А. Белько,

А.Р. Трухильо-Липской за помощь в оформлении рукописи. Авторы будут признательны за конструктивные заме-

чания и предложения, которые помогут улучшить данное издание, и надеются, что оно будет весьма полезно при изучении теоретической механики.

IX. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Введение

Динамика - раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных точек (тел) под действием приложенных к ним сил.

Материальная точка - это тело, обладающее массой. В динамике под материальной точкой понимается не только тело бесконечно малых размеров, но и тело конечных размеров, различием в движении точек которого можно пренебречь. Поэтому при поступательном движении твердого тела, каких бы размеров оно ни было, его можно рассматривать как материальную точку, так как скорости и ускорения всех точек тела в этом случае одинаковы.

Масса тела - это величина, зависящая от количества вещества, заключенного в данном теле и определяющая его меру инертности при поступательном движении. Инертность представляет собой свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил.

Рассмотрим законы динамики материальной точки, известные как законы Галилея — Ньютона.

Первый закон (закон инерции):

изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.

Этот закон установлен Г. Галилеем в 1638 г.

Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил или под воздействием уравновешенной системы сил, называется движением по

инерции.

Второй закон (основной закон динамики):

произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а ее направление совпадает с направлением ускорения.

имеют место) только в инерциальной системе отсчета, под которой понимается условно неподвижная система.

Третий закон (равенства действия и противодействия):

две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по абсолютной величине и направленными в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Применительно к взаимодействию двух материальных тел, что имеет особое значение в динамике механической системы, этот закон можно сформулировать так:

всякому действию одного тела на другое соответствует равное по величине и противоположное по направлению противодействие. Четвертый закон (закон независимости действия сил):

ускорение, получаемое точкой при действии на нее одновременно нескольких сил, равно геометрической сумме тех ускорений, которые получила бы точка при действии на нее каждой силы в отдельности.

Так как при одновременном действии на точку нескольких сил их можно заменить одной силой — равнодействующей Ж = Т.Тк, то этот закон можно записать в виде

та = R =ZFk. (IX.2)

При решении задач динамики важным является соблюдение размерности основных механических величин, таких как длина, время, масса и сила.

Обычно применяют СИ единиц, в которой основными единицами измерения механических величин являются: метр (м), килограмм (кг) и секунда (с). Единицей же измерения силы является производная единица — ньютон (Н). Сила в 1 Н — это сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2; 1 Н=1 кг м / с 2 .

Записав уравнение (IX.1) или (IX.2) в проекциях на выбранные оси декартовых координат Oxyz или на оси естественного трехгран-

ника (главную нормаль п, касательную т и бинормаль Ь), получим следующие скалярные уравнения:

в проекциях на оси х, у и с

в проекциях на оси п, т и Ь:

ma =mO = Y F .

Анализируя уравнения (IXb .3) и (IX.4),J kbможно сформулировать две

основные задачи динамики материальной точки:

первая (прямая) задача — зная закон движения и массу точки, определить силу, действующую на точку; вторая (обратная) задача — зная действующие на точку силы, ее

массу и начальные условия движения, определить закон движения точки или какие-либо другие кинематические характеристики. Задачи этих типов приведены соответственно в § 26 и 27.

26. Определение сил по заданному движению

Методические указания к решению задач

В задачах этого типа обычно задано либо ускорение, либо закон движения точки, в соответствии с которым ускорение может быть определено. Так, если движение точки задано в декартовых координатах, т.е. х = fx(t), у = /2(/) и z = М), то определяются проекции ускорения на оси координат:

Если точка совершает криволинейное движение и известен закон движения s =Л0> траектория точки и ее радиус кривизны, то удобно пользоваться уравнениями (IX.4), а проекции ускорения на эти оси определяются по формулам:

где p — радиус кривизны траектории.

Проекция ускорения на бинормаль равна нулю.