doc1
.pdf
180 |
IX. Динамика материальной точки; |
Отсюда
R2
О т в е т : М.М2- R2 .
Задача 28.11
Мальчик массы 40 кг стоит на полозьях спортивных саней, масса которых равна 20 кг, и делает каждую секунду толчок с импульсом 20 Н е. Найти скорость, приобретаемую санями за 15 с, если коэффициент трения/= 0,01.
Р е ш е н и е
На сани действуют сила тяжести мальчика /я,£, сила тяжести саней m2g, сила трения FTр, сила толчка F и нормальная реакция опоры N. Направим осьх в сто-
рону движения саней (см. рисунок). |
ч> |
i - |
= 2 . |
|
Запишем теорему об изменении ко- |
||||
личества движения в проекции на ось х: 7777777 7Т. |
7777777775 |
|||
mv-mv0 |
=(F-FJt, |
|
щш |
щг |
|
|
|
||
|
|
S |
20 |
|
где v0 = 0; m = mx +m2, F — сила толчка, F = — = — = 20 Н; F^ = fN.
Тогда |
|
|
|
|
(/и, +m2)v = |
[F-f(n\g+m2gj\t. |
|
Откуда найдем скорость саней |
•15 = 3,53 (м/с). |
||
v = -F-fg(mt |
+m2)•t, = -20-0,01-9,8(40+20) |
||
пц +m2 |
40+20 |
|
|
О т в е т : v = 3,53 м/с.
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
181 |
Задача 28.12
Точка совершает равномерное движение по окружности со скоростью v = 0,2 м/с, делая полный оборот за время Т= 4 с. Найти импульс S сил, действующих на точку, за время одного полупериода, если масса точки от = 5 кг. Определить среднее значение силы F.
Р е ш е н и е
Применим теорему об изменении количества движения материальной точки, запишем проекции импульса силы на оси х и у:
Sx=mvx-mv0х,
Sy=mvy -mv0y.
Так как v„ = v, то
Sx = m(vcosa + vcosa) = 2mvcosa,
Sy =m(vsina +vsina) = 2mvsina.
Тогда
У Sbiv
Ms
0 |
\ |
, |
\ |
/ |
x |
mv0
S = Jsf+sj |
= 2/wWcos2 a + sin2 a = 2mv = 2 -5-0,2 = 2 (H-c). |
|||||||||
Если считать среднее значение силы F постоянным, то ее проек- |
||||||||||
ции на оси координат |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
_ _ Sx |
_ 2/Mvcosa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х~Т |
} |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
„ _ Sy |
_ 2/wvsina |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гу |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с- |
lr-2 . г-2 |
2wv I—2 |
|
2wv |
= |
2-5-0,2 , .„. |
||||
F = JFJ + FJ = |
/ |
Vcos a + sin a = |
|
t |
2 |
— = 1 (H). |
||||
v |
* |
' |
|
|
|
|
|
|||
О т в е т : 5 = 2 H-c; /-= 1 H.
182 |
IX. Динамика материальной точки; |
Задача 28.13
Два математических маятника, подвешенных на нитях длин /, и Л (/,> /2), совершают колебания одинаковой амплитуды. Оба маятника одновременно начали двигаться в одном направлении из своих крайних отклоненных положений. Найти условие, которому должны удовлетворять длины /, и /2 для того, чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в положение равновесия. Определить наименьший промежуток времени Т.
Р е ш е н и е
Т = кТ2 |
- пТх, |
|
т.е. когда |
|
|
JL=i |
п |
(1) |
Т2 |
|
|
Периоды колебаний математических маятников |
|
|
7 > 2 я Е Т 2 = 2 ф . |
(2) |
|
Vg |
VS |
|
С учетом формул (2) равенство (1) примет вид |
|
|
h |
^ |
|
12 |
п |
|
(Г к |
к |
|
Одновременно вернуться в начальное положение маятники мо- |
||
гут при условии равенства целых кратных периодов: |
|
|
О т в е т : /— = —, где к, п — целые числа и дробь — несократима; |
||
\/2 |
п |
п |
Т -кТ2 |
=пТг |
|
Задача 28.14
Шарик массы т , привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика и натяжение нити Т, если известно, что в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
183 |
между шариком и отверстием равно R, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна v0.
Р е ш е н и е
На шарик в точке М действует сила тяжести mg, уравновешенная нормальной реакцией плоскости N, и сила натяжения нити Т, кото-
В результате сумма моментов действующих сил относительно точки О равна нулю и момент количества движения относительно этой точки, согласно следствию 2 из теоремы моментов, не меняется. Поэтому (см. рис. 2)
'oi -1<)2>
где /„,, /02 — момент количества движения шарика относительно центра О соответственно в точке Мй и М\ /01 = mv0R, /02 = mv^r.
Следовательно,
mvnR = mv9r.
Откуда
где v<p — трансверсальная составляющая скорости.
Длина нити ОМ= г (рис. 1) с течением времени изменяется. Так как проекция vr скорости шарика на радиальное направление (г) равна скорости втягивания нити в отверстие, то
vr = — = -а |
fdr = |
-a\dt, |
d t |
R |
о |
r\rR = -a/\'0=>r=R-af. |
(2) |
|
184 |
IX. Динамика материальной точки; |
Запишем основной закон динамики в проекции на радиальное направление
т(г-гф2) = -Т,
где <р. = v, = v0R
Используя выражения (1) и (2), с учетом того, что г = 0, найдем натяжение нити
T-mrф2 |
|
_rrjR-ai)vlR2 |
_ |
• mr& |
|
|
|
|
|
(R-at)" |
|
и уравнение движения |
шарика |
|
|
< P = V 0 * J - -dt |
|
v0R г d(R-at) |
|
J0(R-at) |
|
a -Jf0 (R-at)2 |
|
mv2R2
(R-at)3
_ v0R |
1 |
a |
R-at |
l |
l |
V |
a \R-at |
R) |
R-at |
О т в e т: в полярных координатах (если принять отверстие за начало координат и угол <р0 равным нулю):
r=R-af, |
ф = — ; |
Т= |
mv°Rl |
. |
|
|
V |
R-at |
|
(R-at)3 |
|
Задача 28.15
Определить массу М Солнца, имея следующие данные: радиус Земли R = 6,37 • 106 м, средняя плотность 5,5 т/м3, большая полуось земной орбиты а = 1,49 • 10" м, время обращения Земли вокруг Солнца Т = 365,25 сут. Силу всемирного тяготения между двумя массами,
zR2
равными 1 кг, на расстоянии 1 м считаем равной - — Н, где m — мас- m
са Земли; из законов Кеплера следует, что сила притяжения Земли
Солнцем равна Т gк |
где г — расстояние Земли от Солнца. |
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения
Р е ш е н и е
В момент, когда Земля находится на расстоянии большой полуоси от Солнца (см. рисунок), сила F притяжения Земли Солнцем согласно закону Кеплера равна
4п2ат |
(1) |
F = - |
185
3 (m)
где т = -7тД3р — масса Земли, р — средняя плотность.
По формуле Ньютона сила притяжения между Солнцем и Землей
F = |
R2g Mm |
(2) |
||
т |
а |
|||
|
|
|||
Приравнивая в соответствии с формулами (1) и (2) их правые части, получим
|
4я2 _ R2g Mm |
|
|
|
|
та- |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда масса Солнца |
|
|
|
|
|
М = |
4к2а т |
16л3о3/?р |
|
|
|
T2R2g |
3 T2g |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
_ 16 З,143 • (1,49-10")3 -6,37-106 -5.5-103 |
|
_ |
(кг). |
||
3-(365Д5-24-3600)2 |
-9,8 |
= 1,966-1030 |
|||
|
|
|
|||
О т в е т : М = 1,966 • Ю30 кг.
Задача 28.16
Точка массы т, подверженная действию центральной силы F, описывает лемнискату г2 - a cos2(p, где а — величина постоянная, /-— расстояние точки от силового центра; в начальный момент г=г0, скорость точки равна v0 и составляет угол а с прямой, соединяющей точку с силовым центром. Определить величину силы F, зная, что она зависит только от расстояния г.
186 |
IX. Динамика материальной точки; |
Р е ш е н и е
Воспользуемся формулой Бине, так как точка движется под действием центральной силы F (см. рисунок):
г |
1 |
Л |
|
тс |
d - |
1 |
(1) |
|
Лр |
г |
|
|
|
где с = г2ф — удвоенная секторная скорость точки.
Так как на точку действует центральная сила F, то создаваемый ею момент относительно центра О равен нулю и тогда момент количества движения (в полярной системе координат — секторная скорость) сохраняет постоянное значение, т.е.
mrvsinJJ =mr0v0 sina => rvsinp = r0v0 sina.
Так как
rvsinp = rv9 = rrty = r2<j>,
то
|
|
|
с = г2ф = r0 v0 sin a. |
|
(2) |
|||
Далее, так как r = 4a(cos2(p)[/2, |
найдем |
|
|
|||||
|
1 |
1 |
1 |
^ |
г) _ |
1 |
Бш2ф |
|
|
г |
4а Л/соэ2ф |
<Лр |
4а (со5 2ф)3/2' |
|
|||
г) |
1 |
2 ( c o s 2 y ) v 2 + 3 S i n 2 2 9 ( c o S 2 9 y / 2 = l ( 2 + 3 t g ; 2 ( p ) |
( |
|||||
<Лр |
л/й |
|
|
COS 2ф |
|
г |
|
|
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
187 |
Силу притяжения F определим по формуле (1) с учетом выражений (2), (3) и равенства a2cos22(p = r4:
F = |
а (2 +3tg22(p+l) = |
|
a ( l + tg22(p) = |
|||
|
|
|
|
|
|
4 2 s i n 2 a |
|
r c o s |
2ф |
г |
|
|
|
^ |
_ |
с |
3WQ2 |
02 |
02 |
- 21 |
О т в е т : сила притяжения F = ——/- |
у sin" a. |
|||||
|
|
|
г |
|
|
|
Задача 28.17
Точка М, масса которой т, движется около неподвижного центра О под влиянием силы F, исходящей из этого центра и зависящей только от расстояния МО = г. Зная, что скорость точки v = а/г, где а — величина постоянная, найти величину силы F и траекторию точки.
Р е ш е н и е
Так как движение точки происходит под действием центральной силы F, то M0(F) = = 0 =>/(, = const.
Тогда момент количества движения точки в положении М0
mVy r=mr r(р = /пг2ф = mh = const.
Откуда
. h
Ф = г—, где И — удвоенная секторная скорость.
Тогда
v 2 = r 2 + r 2 ф2.
Так как v = — — по условию, то
г
•2 |
2-7 |
" |
Г |
+ Г Ф = |
— . |
|
|
Г2 |
(О
( 2 )
188 |
|
|
|
|
IX. Динамика материальной точки; |
С учетом равенства (1) из формулы (2) получим |
|||||
|
|
. f - |
г Ц |
^ |
о ) |
|
|
|
г |
|
|
Продифференцируем выражение (3) по времени: |
|||||
|
-.„ |
~h2-a2 |
|
. |
|
|
2rr = 2 |
|
г |
||
и найдем |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
h2-"2 |
|
tл\ |
|
|
г = |
г |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
Основной закон динамики в проекции на направление радиуса- |
|||||
вектора г0 и нормаль и имеет вид |
|
|
|||
|
F^ = т{г-гф2) |
=s>F = Fn =т(гф2 -г). |
|||
Подставим в это равенство выражения (1) и (4) и найдем силу |
|||||
притяжения |
< И2 |
Н2-а2\ |
та2 |
||
|
|||||
|
F = т |
|
|
|
г3 |
|
\ |
r |
r |
J |
|
Для определения траектории точки М из уравнения (3) найдем |
|||||
|
|
г = |
|
|
|
|
. |
dr |
|
|
|
или с учетом того, что г - —, |
|
|
|
||
|
|
dt |
|
|
|
|
rdr = |
лJa2-h2dt. |
|||
Так как Ф = |
-~> то. согласно выражению (1) |
||||
|
|
|
г2 |
|
|
|
|
dt = —</<р, |
|
||
тогда |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
гарифмическая |
спираль. |
|
|
|
|
О т в е т : сила притяжения F = |
; траектория — логарифмическая |
||||
спираль. |
|
г |
|
|
|
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
189 |
Задача 28.18
Определить движение точки, масса которой 1 кг, под действием центральной силы притяжения, обратно пропорциональной кубу расстояния точки от центра притяжения, при следующих данных: на расстоянии 1м сила равна 1 Н. В начальный момент расстояние точки от центра притяжения равно 2 м, скорость v0 = 0,5 м/с и составляет угол 45° с направлением прямой, проведенной из центра к точке.
Р е ш е н и е
Поскольку точка движется под действием центральной силы притяжения, воспользуемся формулой Бине:
F = - тс _<Лр2 I U
С учетом данных задачи запишем
1 |
Iг) Uг |
d(р2 |
Откуда |
—г |
1 |
1 |
|
|||
|
|
||
|
+ |
- = |
- |
|
diр2 \r J |
г |
гс' |
где с — удвоенная секторная скорость точки, с = г1 ф = const. В начальный момент времени при г = 2
ф = v0 cos 45° _ 0,5 • л/2 л/2 (рад/с),
г2-2
8 42 Тогда дифференциальное уравнение (1) примет вид
d2 |
ГП |
|
1 |
2 |
d2 |
i/ф2 |
|
+ - = |
- |
</ф2 \г |
|
\r J |
гГ |
гГ |
|||
Решение этого дифференциального уравнения ищем в виде
-г = Ae't+Be-'f,
где А и В — произвольные постоянные.
(1)
( 2 )