doc1
.pdf160 |
IX. Динамика материальной точки; |
Умножим выражения (3) и (4) соответственно на Г и j, просумми руем их и с учетом равенства rg = x0f получим уравнение движени4 в векторной форме:
г = — r0 +-jL sin |
+ 1 |
cos VcjV. |
Ъ |
\ |
ci |
Так как |x0| = |r0|, то из уравнения (3) найдем
х rn cos Jc^t = —r-^
1 - -
из уравнения (4)
sinJc^t • у4Ь
Возведем в квадрат обе части двух последних равенств, сложим их, с учетом равенства sin2 -Jc^t + cos2 -Jc^t = 1 получим уравнение траектории в координатной форме:
X с г0 |
V |
|
|
= 1 — уравнение эллипса. |
(5) |
|
Vo |
|
Траектория точки А пройдет через центр О, если координаты х = О, у = 0 будут удовлетворять уравнению (5), которое в этом случае примет вид
с
—Го =Г0
Откуда получим
^с = 2.
27. Дифференциальные уравнения движения |
161 |
Точка А пройдет через центр О в момент времени, когда у - 0, т.е.
sin Jc^t = О => tJc\ = тс => 1 =
A
а ее скорость будет равна
Vj,o = Уt = |
|
|
|
|
||
V^o = *t = |
ЛАГ |
= -*0 f1 - 1 \ Tc^sin |
V<7 . |
|||
|
|
|
|
I |
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
v0 = vx0i + v 07 = -v0j = -v0. |
|
||||
О т в е т : 1) r = — /5 |
|
sinJc\t |
+ r0 l - l |
cos |
|
|
|
* |
С |
П2 |
\2 |
|
|
|
|
Г0 |
= 1; |
|
||
2) эллипс |
q |
|
vo ; |
|
||
|
|
|
|
|||
ф
*\JJ
3) точка /4 пройдет через центр О, если <\ / с = 2;
4) точка Л пройдет через центр О со скоростью v„ = -v0 в момент времени t =
Задача 27.64
Тяжелая точка массы m падает из положения, определяемого координатами х0 =0, j>0 = И при t = 0, под действием силы тяжести (параллельной оси у) и силы отталкивания от оси у, пропорциональной расстоянию от этой оси (коэффициент пропорциональности с). Проекции начальной скорости точки на оси координат равны vx = v„, vy = 0. Определить траекторию точки, а также момент времени /, пересечения оси х.
162 IX. Динамика материальной точки;
Р е ш е н и е
|
|
|
|
|
у |
V 0 |
|
Составим дифференциальные уравнения |
м ^ |
|
|||||
движения точки М в проекции на оси х и у: |
0 |
M(x.y) |
|||||
|
|
тх = F, |
|
|
|
X I |
' |
|
|
ту = -mg |
|
|
|
mg |
|
или с учетом условий задачи |
|
0 |
T |
|
|||
|
|
тх = сх, |
|
|
|
|
|
|
|
ту = - mg. |
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
х-к2х |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||
|
|
|
y = |
-g, |
|
|
(2) |
где к2 _ |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
Решение уравнения (1) имеет вид |
|
|
|
||||
|
|
x = |
C\Chkt+C2sbkt, |
|
|
|
|
где ch kt = |
ек' + е~к' |
гиперболический косинус, sh kt = |
е*' - е~ |
ги- |
|||
|
|
||||||
перболический синус. |
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
C{kshkt+C2kchkt. |
|
|
|
|
Используя начальные условия: t - 0, xQ = О, xQ = Vo, определим постоянные интегрирования: С, = О, С2_ уо и запишем решение урав-
нения (1):
(3)
Последовательно интегрируя уравнение (2), найдем его решение:
/ |
! |
' |
J |
I |
jdy |
= -g\dt |
=>у |
= -gt^ => у = -gt => jdy |
= -gjtdt =>y |
y(0) |
|
|
f ( 0 ) |
J-(O) |
27. Дифференциальные уравнения движения |
163 |
|
Откуда |
|
|
t = |
2{h-y) |
(4) |
g |
||
Подставим найденное значение t в уравнение (3) и получим уравнение траектории точки М в координатной форме:
x = к к Vg -(А-у),
где к 1т'
В момент пересечения tt точкой оси х у = 0, тогда согласно фор-
муле (4) |
|
|
h = |
|
|
О т в е т : траектория х = — shк —(А - у), |
где к = J-, |
/, = |
g |
»ш |
|
Задача 27.65 |
|
|
Точка М массы т движется под действием силы тяжести по гладкой внутренней поверхности полого цилиндра радиуса г. В начальный момент угол ф0 = п/2, а скорость точки равнялась нулю. Определить скорость точки М и реакцию поверхности цилиндра при угле ф =
Р е ш е н и е
Составим уравнение движения точки М под действием силы тяжести mg и нормальной реак-
иии N (см. рисунок) в проекциях на оси лит:
v2 .. |
. |
dv |
т— = N-mgsmy, |
т—^/и^соБф |
|
г |
|
dt |
M i
м
30°.
м ° i
'N
М
mg
164 |
|
IX. Динамика материальной точки; |
или |
|
|
N =т\ — + gsintp |
(1) |
|
|
г |
|
dv |
= g coscp. |
(2) |
dt |
|
|
Считая в уравнении |
(2) v = у(ф), запишем |
||
dv _dv dy _ ^dv |
_ vdv |
||
dt dip dt |
dip |
rdy |
|
Тогда уравнение (2) |
примет вид |
|
|
|
vdv |
|
|
rdq>•= g СОЭФ.
Разделим переменные, проинтегрируем и определим скорость точки М:
я/2 |
|
V" |
=/gsinv|g/3 |
V' |
л/3 |
|
|
|
|||||
jvdv = rg Jcos<pcftp=>^- |
=>!_ |
= —- gr =i> v = i5-4gr. |
||||
Из уравнения (1) при ф = — получим |
|
|||||
г |
„ |
( 4 % д г |
л/3 |
|
|
"Jb ^ Зл/З |
Т = N = т\ —— + — |
= W g [ V 3 + y j = — mg. |
|||||
|
|
|
-S |
|
|
|
О т в е т: v = i/3-Jgr; |
Зл/З |
|
|
|
||
Т = '-^-mg. |
|
|
|
|||
28. Теорема об изменении количества движения материальной точки. Теорема
об изменении момента количества движения материальной точки
Методические указания к решению задач
Количество движения является одной из мер механического движения или одной из динамических характеристик движения точки и представляет собой векторную величину, равную произведению массы точки на вектор ее скорости:
K=mv. |
(28.1) |
Характеристикой действия силы в этом случае является импульс силы. Различают элементарный импульс силы и импульс силы за конечный промежуток времени.
Элементарным импульсом силы называется бесконечно малая векторная величина dS, равная произведению вектора силы на бесконечно малое время dt действия силы:
dS = Fdt. |
(28.2) |
Импульс S любой силы F за конечный промежуток времени t вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов:
t
S=jFdt. (28.3)
о
Если сила постоянна, то импульс силы за конечный промежуток времени действия представляет векторное выражение
S = Ft.
Модуль импульса силы в этом случае определяется по этой же формуле, где S, F — модули векторов S и F.
166 IX. Динамика материальной точки;
В обшем случае модуль импульса силы можно определить по его
проекциям на оси координат: |
|
||
|
S = yjS2+S2+S2z, |
(28.4) |
|
где Sx = jFxdf, |
Sy = '\Fydf, Sz |
= j Ftdt. |
|
0 |
0 |
0 |
|
Из равенства (28.4) следует, что импульс силы можно вычислить для постоянных сил и сил, зависящих от времени. Для вычисления импульса других переменных сил надо знать закон движения точки под действием этих сил, т.е. уравнения
* = У = Ш, г = /з ДО-
Импульс действующих на точку сил можно определить косвенным путем на основании теоремы об изменении количества движе-
ния материальной точки:
изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов
всех сил, действующих на точку, в этот промежуток |
времени. |
В интегральной форме это записывается следующим образом: |
|
mv-mvg=^- |
<28-5> |
При решении задач вместо векторного уравнения (28.5) пользуются уравнениями в скалярной форме:
(28.6)
mv
Из формул (28.6), зная действующие силы и время, можно найти скорость, которую приобретет материальная точка, либо, если известны начальная и конечная скорость, определить импульс сил, действующих на точку.
Теорему об изменении количества движения можно записать в дифференциальной форме:
dt |
dt = p |
( 2 8 7 ) |
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
167 |
или в проекциях на декартовы оси координат:
d(mvx) |
= FX, |
|
|
dt |
|
|
|
d(mvy) |
_ |
(28.7') |
|
dt |
" |
||
|
|||
d(mvг) |
= Fz- |
|
|
dt |
|
|
Уравнение (28.7) представляет не что иное, как второй закон динамики материальной точки, а уравнения (28.7') — это дифференциальные уравнения движения точки.
При решении задач теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме следует применять в тех случаях, когда на точку действуют постоянные и переменные силы.
Последовательность решения задач этого параграфа в таком случае: 1. По данным условия задачи определить, какая форма записи теоремы об изменении количества движения материальной точки
является предпочтительной (или более приемлемой).
2.Выбрать оси координат (или одну ось при прямолинейном движении), направив их в сторону движения точки (тела).
3.Показать на рисунке движущуюся точку в произвольном положении и все действующие на нее активные силы и силы реакций связи, если точка несвободна.
4.Записать в общем виде (можно сразу в скалярной форме) теорему об изменении количества движения с учетом действующих сил.
5.Решить полученные уравнения (дифференциальные или алгебраические) и определить искомые величины в общем виде.
6.Провести расчеты, обращая внимание на размерности всех величин.
Часть задач этого параграфа решается с помощью теоремы об изменении момента количества движения и ее следствий.
Различают момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра (точки) и оси.
Моментом количества движения материальной точки относитель но некоторого центра О называется скалярная величина, взятая со знаком плюс или минус и равная произведению модуля количества
168 |
IX.Динамика материальной точки; |
движения mv на кратчайшее расстояние h от этого центра до линии; вдоль которой направлен вектор mv, т.е.
/0 = ±mvh, |
(28.8| |
где h — перпендикуляр, опущенный из точки О на линию действий вектора mv.
Момент количества движения относительно центра О можно представить в виде вектора/о, перпендикулярного плоскости, в которой расположены вектор mv и вектор г, проведенный из центра О в начало вектора mv, и направленного в ту сторону, откуда видно стремление вектора mv повернуть свое плечо против часовой стрелки. Этот вектор можно представить в виде векторного произведения:
/о = rxmv. |
(28:9| |
Момент количества движения относительно некоторой оси z —
скалярная величина /г:
ll=±mvxyh, |
(28.10) |
где mv^ — модуль проекции вектора mv на плоскость ху, перпендикулярную оси z\h— перпендикуляр, опущенный из точки пересечения оси z с плоскостью ху на линию, вдоль которой направлена, проекция вектора mv.
Из формулы (28.10) следует, что момент количества движения материальной точки относительно оси z равен нулю, если вектор mv параллелен этой оси или пересекает ее.
Теорема об изменении момента количества движения (теорема моментов) относительно центра:
производная по времени от векторного момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра геометрически равна моменту силы, действующей на точку, относи-
тельно того же центра: |
. |
^at = M0(F). |
(28.11)? |
Следствие 1. Если линия действия равнодействующей приложен-1 ных к точке сил все время проходит через неподвижный центр, то, момент количества движения материальной точки относительно ; этого центра остается постоянным.
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
169 |
Это имеет место в практически очень важном случае движения под действием центральной силы.
Центральной силой называется сила, линия действия которой
в течение всего времени движения проходит через некоторый центр,
амодуль этой силы зависит от расстояния между этим центром и точкой приложения силы.
Так как в этом случае M0(F) - 0, то /0 = mvh = const, или vh = const, ds
: v = —
dt
Тогда
hds _2da It df'
где do — площадь треугольника, образованного радиусами, проведенными из центра О к концу и началу отрезка ds траектории.
Величина ^ называется секторной скоростью точки. Она определяет скорость, с которой увеличивается площадь, ометаемая ра- диусом-вектором г, проведенным из центра О к движущейся точке:
(28.12)
где h — перпендикуляр, опущенный йз центра О на вектор скорости v.
Следовательно, под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью, т.е. так, что радиус-вектор точки за любые равные промежутки времени ометает равные площади.
Эта формулировка закона площадей, имеющего важное практическое значение при изучении движения планет вокруг Солнца или спутников вокруг планет.
Некоторые задачи, в которых рассматривается движение точки под действием центральной силы, решаются с использованием формулы Бине, выражающей в общем виде центральную силу F:
(28.13)
где с — удвоенная секторная скорость точки; г — радиус, проведенный из неподвижного центра к движущейся точке.