doc1

Задача 26.31

Во избежание несчастных случаев, происходивших от разрыва маховиков, устраивается следующее приспособление. В ободе маховика помещается тело А, удерживаемое внутри него пружиной S; когда скорость маховика достигает предельной величины, тело А концом своим задевает выступ В задвижки CD, которая и закрывает доступ пара в машину. Пусть масса тела А равна 1,5 кг,

расстояние е выступа В от маховика равно 2,5 см, предельная угловая скорость маховика 120 об/мин. Определить необходимый коэффициент жесткости пружины с (т.е. величину силы, под действием которой пружина сжимается на 1 см), предполагая, что масса тела А сосредоточена в точке, расстояние которой от оси вращения маховика в изображенном на рисунке положении равно 147,5 см.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение тела А под действием силы тяжести mg и силы упругости Fynp пружины. Покажем эти силы на рисунке. Свяжем с телом А естественную ось п и запишем основное уравнение динамики в проекции на эту ось:

3444202-1,5(1,475 +0,025) = 14198 (Н/м).

900 0,025

О т в е т : 14 198 Н/м.

Задача 26.32

В регуляторе имеются гири А массы 30 кг, которые могут скользить вдоль горизонтальной прямой MN; эти гири соединены пружинами с точками М и JV; центры тяжести гирь совпадают с концами пружин. Расстояние конца каждой пружины от оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, в ненапряженном состоянии равно 5 см, изменение длины пружины на I см вызывается силой в 200 Н. Определить расстояние центров тя-

жести гирь от оси О, когда регулятор, равномерно вращаясь вокруг оси О, делает 120 об/мин.

Р е ш е н и е

На гирю А действует сила упругости Fyup. Направим ее по оси п (см. рисунок). Запишем основное уравнение динамики в проекции на эту ось:

расстояния от оси О до центра тяжести гири соответственно в ненапряженном и напряженном состояниях пружины.

Подставим выражение Fynp в уравнение (1) и получим

О т в е т : 6,55 см.

Задача 26.33

Предохранительный выключатель паровых турбин состоит из пальца А массы т = 0,225 кг, помещенного в отверстии, просверленном в передней части вала турбины перпендикулярно оси, и отжимаемого внутрь пружиной; центр тяжести пальца отстоит от оси вращения вала на расстоянии / = 8,5 мм при нормальной скорости вращения турбины п = 1500 об/мин.

При увеличении числа оборотов на 10 % палец преодолевает реакцию пружины, отходит от своего нормального положения на расстояние х = 4,5 мм, задевает конец рычага В и освобождает собачку С, связанную системой рычагов с пружиной, закрывающей клапан парораспределительного механизма турбины. Определить жесткость пружины, удерживающей тело А, т.е. силу, необходимую для сжатия ее на 1 см, считая реакцию пружины пропорциональной ее сжатию.

О т в е т : с = 89,2 Н/см.

Задача 26.34

Точка массы т движется по эллипсу — +2+^z:r2 = 1. Ускорение точки

' а ЬА*

параллельно оси у. При / = 0 координаты точки были х = 0 ,у = Ь, начальная скорость v0. Определить силу, действующую на движущуюся точку в каждой точке ее траектории.

Р е ш е н и е

Выразим из уравнения траектории точки у:

Учтем, что — = v0, откуда* = v0/. Подставим значениех в выраже- dt

ние (1):

О т в е т : F = mk2r, где r-^jx2 + y2.

27. Дифференциальные уравнения движения

Методические указания к решению задач

Задачи этого параграфа относятся к задачам второго типа, когда решается вторая основная задача динамики материальной точки, сущность которой в определении закона движения точки по заданной силе, массе и начальным условиям движения.

Начальные условия движения — это положение и скорость точки в момент начала движения, т.е. при t = О должны быть заданы координаты точки: лг0, уа, Zq, И проекции начальной скорости на оси коор динат: х0, у0, если движение рассматривается в декартовой системе координат.

Решение таких задач сводится к составлению и решению дифференциальных уравнений движения и анализу полученных результатов.

При составлении дифференциальных уравнений движения материальной точки используется второй закон динамики.

Решают полученные уравнения либо непосредственным интегрированием, либо с применением теории дифференциальных уравнений.

Уравнения (1Х.З) и (IX.4) являются дифференциальными уравнениями движения материальной точки соответственно в декартовых и естественных осях координат. Дифференциальные уравнения (IX.4) применяют при криволинейном движении точки, если известны траектория точки и ее радиус кривизны, например, при движении по окружности.

Если движение прямолинейное, то составляется одно дифференциальное уравнение в проекции на ось, направленную в сторону движения.

При криволинейном движении в плоскости составляются два дифференциальных уравнения в проекциях на оси х н у . Так как силы, действующие на материальную точку, могут быть как постоянными, так и переменными, зависящими от времени /, скорости v

и радиуса-вектора г точки, то при проецировании на оси координат сил F = F{v) и F = F{r) следует иметь в виду, что

/• =|F(v)|cos(v J ) ,

Из формулы (27.2) видно, что если сила F пропорциональна квадрату или любой другой, не равной единице, степени скорости, то проекция силы на ось будет зависеть от двух переменных — х и у.

Например, на точку действует сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости. Тогда

Однако получить аналитическое решение дифференциальных уравнений движения в декартовых осях координат, например тела, брошенного под углом к горизонту, в которые войдут Fx или Fy в виде выражений (27.3), невозможно.

Если записать дифференциальные уравнения движения в естественных осях, то в этом случае можно найти аналитическую зависимость скорости от угла наклона касательной к траектории точки. Затем составить аналитические зависимости для определения коорди-

нат х и у и времени движения t по траектории, но это сопряжено со значительными математическими трудностями.

Для F = F(r) проекции определяются по формулам

х, у — проекции радиуса-вектора на оси координат.

Если на точку действует сила отталкивания от некоторого неподвижного центра:

F = к2тг,

то

Fx = |F|cos(r СТ)= к2тг— = к2тх,

Последовательность решения задач этого параграфа:

1.Выбрать систему отсчета, совместив начало осей координат

сначальным положением точки и направив оси в сторону движения точки.

2.Изобразить движущуюся точку в произвольном положении, но

так, чтобы х > 0, v* > 0 и т.д.

3.Показать на рисунке активные силы, действующие на точку,

иреакцию связи, если точка несвободна.

4.Записать в общем виде дифференциальные уравнения (уравнение), подсчитать сумму проекций всех сил на координатные оси или ось (при прямолинейном движении) и подставить в правую часть дифференциального уравнения. При этом необходимо все переменные силы выразить через те величины (/, х или vj, от которых они зависят.

5.Интегрирование дифференциальных уравнений производится методами, известными из курса высшей математики и зависящими от вида правой части полученного уравнения.

Если в уравнении не более двух переменных, то его можно проинтегрировать методом разделения переменных. При этом дифференциальное уравнение второго порядка необходимо представить в виде дифференциального уравнения первого порядка, введя заме-

тх =

получим уравнение вида

<27-6>

Если в правой части уравнения (27.6) содержатся некоторые постоянные силы и сила, зависящая от скорости vx, то правую часть уравнения следует считать функцией vx, т.е. Ffct = Fx{vx).

После разделения переменных уравнение (27.6) примет вид

Проинтегрировав уравнение (27.7), найдем vx = fx(f,C7,). Затем представим vx в виде

dt

опять разделим переменные, проинтегрируем и получим

x = f(t,q,c2),

где С,, С2 — постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяют с учетом начальных условий движения. Решение уравнения (27.7) позволяет найти также время, в течение которого скорость движения материальной точки изменится от v„ до v.

Если требуется найти зависимость скорости от координаты х или значение х при изменении скорости от v0 до v, то в уравнение (27.6) вводим следующую замену переменных: