doc1
.pdf20 |
|
IX. Динамика материальной точки |
Отсюда |
|
|
т |
(51-50)9,8 |
= 0496 (м/с2). |
50 |
|
О т в е т : 0,196 м/с2.
Задача 26.12
Масса кузова трамвайного вагона 10 ООО кг. Масса тележки с колесами 1000 кг. Определить силу наибольшего и наименьшего давления вагона на рельсы горизонтального прямолинейного участка пути, если на ходу кузов совершает на рессорах вертикальные гармонические колебания по закону х = 0,02 sin 10/ м.
Р е ш е н и е
Принимая кузов трамвайного вагона за материальную точку, покажем на рисунке силы, действующие на нее: — сила тяжести кузова, m2g — сила тяжести тележки, N — реакция опорной поверхности. Запишем дифференциальное уравнение движения кузова в следующем виде:
mlx=mlg+m2g-N,
N
шшят.шшшт. m2g
где x = -2sinl0/ — ускорение движения кузова; т , — масса кузова; т 2 — масса тележки.
Откуда
N = m2g+щ g-щ х = (1000 +10 000)9,8+2 • 10 OOOsinlO/.
Наибольшим давление будет при максимальном значении sin 10/, т.е. когда sin 10/ = 1:
7Vmax =10 000(1,1-9,8 + 2-1) = 12,78-104 (Н),
наименьшим — при минимальном значении sin 10/ (при sinl0/ = - l ) :
Nmin =10000(1,1-9,8-2) =8,78-Ю" (Н). О т в е т : Nmax =12,78-Ю4 Н; Nmin =8,78-Ю4 Н.
26. Определение сил по заданному движению |
21 |
Задача 26.13
Поршень двигателя внутреннего сгорания совершает горизонтальные колебания согласно закону х = rjcosco/ + -^-cos2co/j см, где
г — длина кривошипа, / — длина шатуна, со — постоянная по величине угловая скорость вала. Определить наибольшее значение силы, действующей на поршень, если масса последнего М.
Р е ш е н и е
Так как закон движения поршня и его масса заданы, То силу, действующую на поршень, определим по закону Ньютона,
Р = Мх,
где М — масса поршня; Л — ускорение, х = -/to2^cosco/, + yOOs2co/,j.
Тогда
Р = -MmP^cosoit+ycosco? j.
Наибольшим значение силы, действующей на поршень, будет при со/ = 2ли, п = 0,1,...,
Р = Afrco2 fl+-\
/
О т в е т : Р = Мт2(\ + г/1).
Задача 26.14
Решето рудообогатительного грохота совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой а = 5 см. Найти наименьшую частоту к колебаний решета, при которой куски руды, лежащие на нем, будут отделяться от него и подбрасываться вверх.
Р е ш е н и е
На кусок руды действуют сила тяжести mg, нормальная реакция решета N (см. рисунок). Запишем второй закон динамики в векторной форме:
N
'щЩ.
та = mg + W |
mg |
22 |
IX. Динамика материальной точки |
и в проекции на ось х:
тх = -mg + N.
Так как решето совершает гармонические колебания, то
х-a sin(kt + а),
х = -акг |
s\n(kt + а) = |
-кгх. |
Когда кусок отделяется от решета, N = 0. Поэтому |
||
~тк2х = -mg. |
|
|
Найдем наименьшую частоту |
|
|
t . L L . |
( ! . № . , 4 |
0 ^ , . |
О т в е т : к = 14 рад/с.
Задача 26.15
Тело массы 2,04 кг совершает колебательное движение по горите/
зонтальной прямой согласно закону х = lOsin — м. Найти зависимость силы, действующей на тело, от координаты х, а также наи-
большую величину этой силы. |
|
|
|
|
|
||||||
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запишем дифференциальное уравнение дви- |
N |
F |
|||||||||
жения тела под действием силы F в проекции на |
г- =3- |
||||||||||
ось х: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W////W.77Z. W//SS. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
|
г |
„ |
10я2 |
. яt |
п2 |
|
с л |
, - |
|
|
|
F = тх = -т |
4 |
sin— = |
4 |
х-2,04 = -5,033jc, |
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
где х |
10 |
я |
, |
. я/ |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
sin—. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим наибольшую величину силы |
F: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
Fmax = 5,033|jcmax| = 5,033 1 = 5033 (Н). |
|
|
|||||
О т в е г. F = -5,033х Н; Fmax = 50ДЗ Н. |
|
|
|
|
|||||||
26. Определение сил по заданному движению |
23 |
Задача 26.16
Движение материальной точки массы 0,2 кг выражается уравнениями х = 3cos 2тс/ см, у = 4sinTC/ см (t в с). Определить проекции силы, действующей на точку, в зависимости от ее координат.
Р е ш е н и е
Запишем дифференциальные^уравнения движения материальной точки под действием силы Р в проекциях на оси х и у:
|
|
3-4тс2 |
= - |
4-3 142 |
0,2л: = -0,0789* (Н), |
Рх=тх = -т--^-cos2тсt |
' 4 |
||||
|
|
100 |
|
100 |
|
где* = - 1 ^ с о |
5 2 т с / ; |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
Р = т у = - т — s i n i t f |
= |
100 |
(Н), |
|
|
' |
100 |
|
|
|
. |
4тс2 . |
, |
|
|
|
где у - |
sinтс/. |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
О т в е т : Рх= -0,0789* Н; Рг = -0,0197у Н.
Задача 26.17
Шарик, масса которого равна 100 г, падает под действием силы тяжести и при этом испытывает сопротивление воздуха. Движение шарика выражается уравнением
х = 4,9?-2,45(1 -е-7'),
где х — в метрах, / —в секундах, ось Ох направлена по вертикали вниз. Определить силу сопротивления воздуха R и выразить ее как функцию скорости шарика.
Р е ш е н и е |
|
|
Покажем на рисунке силы, действующие на шарик: |
|
|
силу тяжести mg, силу сопротивления R воздуха. |
|
|
Запишем дифференциальное уравнение движения ша- |
mg |
|
рика в проекции на ось х: |
||
|
||
mx = mg-R, |
|
|
где х = 9,8е-2' — проекция ускорения на ось х. |
|
24 |
IX. Динамика материальной точки |
Откуда |
|
R = mg-mx = mg(l-е~2/) = 0,1-9,8(1-еь) |
= 0,98(1 -е'2 ') = 0,2v (Н), |
где v = х = 4,9(1 -е~2') — скорость шарика. О т в е т : Я = 0,98(1 - е~2') Н = 0,2v Н.
Задача 26.18
Масса стола строгального станка 700 кг, масса обрабатываемой детали 300 кг, скорость хода стола v = 0,5 м/с, время разгона t = 0,5 с. Определить силу, необходимую для разгона (считая движение равноускоренным) и для дальнейшего равномерного движения стола, если коэффициент трения при разгоне/, = 0,14, а при равномерном движении f2 = 0,07.
Р е ш е н и е |
|
|
|
Выберем систему координат Оху и по- |
|
N |
|
кажем на рисунке все силы, действующие |
|
||
|
|
||
на стол строгального станка с деталью. |
|
1х |
|
Запишем уравнение равноускоренно- |
m2g |
||
го движения стола строгального станка |
о ^ * |
m-jg |
|
в проекции на ось х. |
|
|
|
(щ +Ш2)а = /J - |
= -(/и, |
+т2)ftg, |
0 ) |
где /я, — масса стола; т2 — масса обрабатываемой детали; а — ускорение стола, а = — = 1 м/с2; F} — сила, необходимая для разгона стола;./] —
коэффициент трения,/ = 0,14; Fw — сила трения, FTp ~ftN = fx{jr\ +m2)g.
Тогда из уравнения (1) найдем
F, = Ц +т2)(а+fxg) |
= 100(1+0Д4 • 9,8) = 2372 (Н). |
При равномерном движении а = 0, следовательно, |
|
F2 |
= 1000 0,07-9,8 = 686 (Н). |
О т в е т : Ft =2372 Н; F2 =686 Н.
26. Определение сил по заданному движению |
25 |
Задача 26.19
Груженая вагонетка массы 700 кг опускается по канатной железной дороге с уклоном а = 15°, имея скорость v= 1,6 м/с. Определить натяжение каната при равномерном спуске и при торможении вагонетки. Время торможения 4 с, общий коэффициент сопротивления движению / = 0,015. При торможении вагонетка движется равнозамедленно.
Р е ш е н и е |
|
|
Рассмотрим случай равномерного спус- |
|
|
ка вагонетки, когда а = 0. |
|
|
Направив ось х в сторону движения ва- |
|
|
гонетки, покажем силы (рис. 1), действую- |
|
|
щие на вагонетку]_силу тяжести mg, силу |
|
|
натяжения каната 7|, силу сопротивления Fc, |
|
|
реакцию N{ опоры. |
Рис. 1 |
|
Запишем дифференциальное уравнение |
||
|
||
движения вагонетки в проекции на ось х: |
|
|
mx = ^Fkx=mgsml5°-Tt-Fl., |
(1) |
|
где х = а = 0; Fc = fNx - fmgcos 15°. |
|
|
Тогда уравнение (1) примет вид |
|
|
0 = mgsinl5° - Г, - fmgcos 15°, |
|
|
откуда найдем натяжение каната |
|
Г, = wg(sin 15° - / c o s 15°) = 700 • 9,8(0,258 - 0,015 • 0,966) = 1676 (Н).
Определим натяжение каната при тор- |
t v |
моженш вагонетки. Покажем силы (рис. 2), |
J |
действующие на вагонетку в этом случае: |
о/ |
силу тяжести mg, сил>пиатяжения каната Тг, |
|
силу сопротивления Fc, реакцию N2 опоры. |
|
Запишем дифференциальное уравнение |
* |
движения вагонетки в проекции на осьх: |
Рис. 2 |
mx = ^Fkx=mgsml5°-T2-Fc, |
(2) |
где х — ускорение вагонетки. |
|
26 |
|
IX.Динамика материальной точки |
Ускорение вагонетки найдем по формуле |
||
|
|
v* = v0 + af, |
л |
v0 |
V |
так как v* = 0, то а = |
|
или а = — ; знак минус показывает, что ваго- |
нетка движется замедленно, т.е. вектор а направлен в сторону, об-
ратную движению вагонетки. |
|
Это значит, что |
v. |
х = |
|
|
t |
Тогда уравнение (2) примет вид |
|
-m^ = mg sin 15°-fmg cos 15°- T2. |
|
Откуда |
|
v |
/ |
Т2 = mg(sin 15°-/ cos 15°) +m— = mg sin 15°- / cos 15°+— | =
=700-9,8^0,258-0,015 0 , 9 6 6 + ^ - ) = 1956 (H).
От в e т: Г, = 1676 H; T2 = 1956 H.
Задача 26.20
Груз массы 1000 кг перемешается вместе с тележкой вдоль горизонтальной фермы мостового крана со скоростью v = 1 м/с. Расстояние центра тяжести груза до точки подвеса / = 5 м. При внезапной остановке тележки груз по инерции будет продолжать движение и начнет качаться около точки подвеса. Определить наибольшее натяжение каната при качании груза.
Р е ш е н и е
При внезапной остановке тележки груз продолжит движение с некоторой скоростью v^ по дуге окружности радиуса /. Рассматривая груз как материальную точку в произвольном положении, определяемом углом а отклонения троса, выберем оси п и т.
26. Определение сил по заданному движению |
27 |
Покажем на рисунке силы, действующие на груз: силу тяжести mg, силу натяжения Т. Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось п:
тап = £ 4 , = T - m g cosa, (1)
v2
где а „ = - ~ — нормальное ускорение.
Тогда уравнение (1) примет вид
v*
m-j- = T-mg cosa,
откуда
v
T = m-j- + mg cosa.
Сила натяжения T будет максимальной при a = 0, когда уф = v, значит,
T=m—+mgcosQ°=m |
[l |
+ gcosO° =100a2 |
+9,8 =10000 (H). |
|
I |
s |
|
|
|
О т в е т : Т = |
10 000 Н. |
|
|
|
Задача 26.21
Определить отклонение а от вертикали и силу давления N вагона на рельс подвесной дороги при движении вагона по закруглению радиуса г= 30 м со скоро-
стью v = 10 м/с.. Масса вагона 1500 кг.
Р е ш е н и е
На рисунке изобразим вагон в произвольном положении. Покажем силы, действующие на него: силу тяжести mg, силу реакции R рельса. Выберем естественные оси.
28 IX. Динамика материальной точки
Запишем дифференциальные уравнения движения вагона в проекциях на эти оси:
тап = |
= tfsina, |
|
||
т а х = |
=0, |
|
|
|
таь = |
= |
Rcosa-mg, |
|
|
v2 |
|
|
|
|
где а„ = — ; я т = 0 . |
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
Так как ^F k x =0, значит, v = const, аь = 0, поскольку в вертикаль- |
||||
ном направлении движение отсутствует. Тогда |
|
|||
|
V 2 |
|
|
(1) |
т — = /?sina, |
|
|||
|
г |
|
|
|
0 = Rcosa-mg. |
|
(2) |
||
Из уравнения (2) найдем |
|
|
|
|
|
R = cos a |
|
(3) |
|
Подставим выражение (3) в формулу (1) и получим |
|
|||
v2 |
mg . |
|
|
|
т— = ——sin a = mgtg а, |
|
|||
г |
cos a |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
mv2 |
v2 |
102 |
= 0,3401, |
|
tg a = — |
= — = |
9,8-30 |
|
|
mgr |
gr |
|
|
|
a = arctg 0,3401 = 18° 47'.
Силу реакции рельса рассчитаем по формуле (3): * = cos1 5 °18°0 9 '47'8 =15 527 (Н).
Так как W = |/{|, то, следовательно, N = 15 527 Н. О т в е т : а = 18°47'; N= 15 527 Н.
26. Определение сил по заданному движению |
29 |
Задача 26.22
Масса поезда без локомотива равна 2 • 105 кг. Двигаясь по горизонтальному пути равноускоренно, поезд через 60 с после начала движения приобрел скорость 15 м/с. Сила трения равна 0,005 веса поезда. Определить натяжение стяжки между поездом и локомотивом в период разгона.
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
Рассматриваем локомотив в период разгона |
|
|
|
|
как материальную точку, на которую действуют |
|
|
|
N |
силы (см. рисунок): сила тяжести mg, натяжение |
|
|
|
|
Т стяжки между поездом и локомотивом, нор- |
|
|
|
|
мальная реакция N, сила трения FTp. Направим |
o |
e |
|
* " |
ось х в сторону движения локомотива и запи- |
TP |
|||
шем дифференциальное уравнение движения |
|
|
mg |
|
в проекции на ось х: |
|
|
|
|
тх~ Т-Еф |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
mx = T-0,005mg. |
|
|
|
(1) |
Ускорение локомотива можно найти из условия равноускорен-
v
ного движения в период разгона: v = v0 + at, откуда а
Так как х = а, то выражение (1) примет вид
/Яу = Т -0,005mg.
Откуда
Т = mj + 0,005mg = m^j + 0,005gj = 2 - 1 0 5 ^ + 0,005 -9,8j = 59 800 (H).
О т в e т: 59 800 H.
Задача 26.23
Спортивный самолет массы 2000 кг летит горизонтально с ускорением 5 м/с, имея в данный момент скорость 200 м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и при скорости