Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4614 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc1

.pdf
Скачиваний:
523
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
11.39 Mб
Скачать
☆

150

 

 

 

 

 

IX.Динамика материальной точки;

 

Решение неоднородного уравнения (5) ищем в виде

 

 

 

У = У + У*,

 

 

 

где у ->- решение однородного уравнения, у =С2 sin к2t+C3

cosk2t.

 

Частное решение уравнения (5): у*-С4; к*С4 =k2v0. Отсюда

Г

- vo

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда полное решение уравнения (2) имеет вид

 

 

y = C2sink2t+CiCO$k2t+\

(61

 

 

 

 

 

 

 

к2

 

 

Для определения постоянных интегрирования С2 и С, найдем

производную по времени

 

 

 

 

 

 

 

 

у = С2к2 cosk2t -С3к2

sin k2t.

(7)

 

Из уравнений (6) и (7) при начальных условиях движения: t = 0,

Уо = 0, у0 =0, получим: С2 = 0, С3

= - ~ . Тогда уравнение движения

частицы вдоль оси у

 

 

к2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ^ ~ c o s k 2 t ) .

 

(8)

 

 

к1

 

 

 

 

 

 

 

Продифференцируем уравнение (8) по времени и подставим по-

лученное выражение в уравнение (1):

 

 

 

 

 

y = v0smk2t,

 

 

(9)

 

Jc = -/c2v0 sin А:2/.

(10)

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

Сделаем замену: х - — , разделим переменные в уравнении (10)

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

и

проинтегрируем:

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

-k2v0smk2tdt,

 

 

dx

0

 

2

 

4

.

(11)

 

x = — = v

cosk

t+C

Разделим переменные в уравнении (11) и проинтегрируем: dx = v0 cosк2 tdt+C4dt,

x = ^smk2t+C4t+Cs.

(12)

к

 

27. Дифференциальные уравнения движения

151

Найдем постоянные интегрирования С4 и С5 из уравнений (11) и (12) с учетом начальных условий движения: t = 0, х0 = 0, Xq = v0; С4 = О, С5 = 0. Тогда уравнение движения частицы вдоль оси х примет вид

x = -^-sin k2t.

(13)

к

 

При интегрировании уравнения (3) с учетом начальных условий: t = 0, Zo= 0, гь = v0, получим z = 0, т.е. частица будет двигаться в плоскости Оху.

Найдем уравнение траектории в координатной форме, исключив

из уравнений (8) и (13) cos k2t и sin k2t:

 

-cosk2t = ~ ( y - ^ ] , sin k2t =

—.

v0V k2 J

v0

Возведем эти выражения в квадрат и сложим, получим

vj

у0ЧУ к2)

''

или

 

 

„vn mvn „

—окружность радиусом R = -±- = —- , центр которой смещен по оси

кеН

ув положительном направлении оси на величину R в плоскости Оху.

О т в е т : окружность радиуса mv0 / (еН).

Задача 27.60

Определить траекторию движения частицы массы т, несущей заряд е электричества, если частица вступила в однородное электрическое поле с переменным напряжением Е = A coskt (А и к — заданные постоянные) со скоростью v0, перпендикулярной направлению напряжения поля; влиянием силы тяжести пренебречь. В электрическом поле на частицу действует сила F = -еЕ.

152

IX. Динамика материальной точки;

Р е ш е н и е

Выберем декартову систему координат Оху (начало координат — точку О совместим с начальным положением частицы). Составим дифференциальное уравнение движения частицы М в электрическом поле под действием силы F (см. рисунок) в проекции на оси х и у:

тх = О,

ту = -еА coskt

у

m m t*

0

X М{х,у)

И Л И

 

х = 0,

(1)

-

е А

и

(2)

у

т

cos kt.

 

 

 

Решим уравнение (1):

х = Ср x-Cxt+C2.

Исходя из начальных условий: t = 0, Хо =0, х0 = v0, найдем постоянные интегрирования: С, = v0, С2 =0. Тогда

 

 

 

х = V .

 

(3)

 

 

 

 

 

 

dy

Решим уравнение (2). Сделаем замену: у = —, разделим перемен-

ные, возьмем определенный интеграл

 

dt

 

 

у

 

—еА '

 

 

-еА . . .

jdy

=

jcosktdt

=>у

тк

smw

№

 

 

 

 

 

 

и получим

 

 

 

 

 

 

 

 

у =

тк

smkt.

 

 

Аналогично определим у:

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

\dy =

т к

—\smktdt.

 

 

 

>•(0)

о

 

 

27. Дифференциальные уравнения движения

153

Откуда

(4)

Из уравнения (3) найдем t = —, подставим это значение в формуле

лу (4). Уравнение траектории примет вид

 

 

у =

еА (,

кх

 

 

тк

1-cos

 

Ответ: у =

еА (

кх^

 

 

тк 2

1-cos — I, где ось у направлена по напряжению

 

"о

 

 

 

поля, начало координат совпадает с начальным положением точки в поле.

Задача 27.61

По негладкой наклонной плоскости движется тяжелое тело М, постоянно оттягиваемое посредством нити в горизонтальном направлении, параллельно прямой АВ. С некоторого момента движение тела становится прямолинейным и равномерным, причем из двух взаимно перпендикулярных составляющих скорости та, которая направлена параллельно АВ, равна

12 м/с. Определить вторую составляющую v, скорости, а также натяжение Г нити при следующих данных: уклон плоскости tga = 1/30, коэффициент трения / = 0,1, масса тела 30 кг.

Р е ш е н и е

Возможны два способа решений.

Первый способ. Так как материальная точка движется по наклонной плоскости прямолинейно и равномерно, то действующие на нее в плоскости силы Т, mg sin а и Flp (рис. 1) образуют уравновешенную систему.

154

IX. Динамика материальной точки;

mg sin а fVp=fmg cos а"

Рис.2

 

 

 

Рис. 1

 

 

 

 

 

 

 

Рис.3

Из силового треугольника (рис. 2) найдем натяжение нити:

Т =

(fmg cos a)2-(mg

sin а)1

= mg-Jf2 cos2 a - s i n 2 a =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Vl + tg2 a

l+tg 2 a

g F

^ f

*

a

= 30-9,8-

100

900 -27,7 (H).

V 1 + tg

 

 

 

 

1 + -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

900

Определим вторую составляющую скорости (рис. 3):

v, =v

tg<p= v

/ngsina

 

.

I l + tg2 a

= v

(

tg2 a

 

= v sin a

 

 

»

 

s

2

 

2

2

V/ - t g ct

 

2

 

 

 

^

 

 

 

 

V/ - t g a

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 2 -

1

1_ =4,24 (м/с).

 

 

 

 

 

 

 

100

900

 

 

 

 

 

 

 

Второй способ. Запишем дифференциальные уравнения движе-

ния тела в проекциях на оси х н у (рис. 4):

 

mx = /wgsina-/vpsin<p,

(1)

 

my = T-Fx v coscp,

(2)

где сила трения Fw -fN

= fmg cosa,

 

simp: V

X

у

ЛJx2 + y ; cos<p =

 

27. Дифференциальные уравнения движения

 

 

 

 

 

155

Тогда дифференциальные

урав-

 

 

 

 

 

 

нения (1) и (2) примут вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = g s i n a - / g

 

г cosa,

(3)

 

 

 

 

 

 

V*2 + У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

my = T-fmg ~Jx2 +У'.cosa.

 

(4)

 

 

 

 

 

 

Так как с некоторого момента дви-

 

 

 

 

 

 

жение равномерное и прямолиней-

 

 

 

 

 

 

ное, то х = 0 и у = 0. Тогда из уравне-

 

 

 

 

 

 

ния (3) найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

4

 

 

tga =

 

J*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^2x22

- s v ^

 

2

"

 

 

2 ~ = f**

 

 

У

 

 

tg a

= -fj—rr

 

=> ** =

/

2 - tg2 a '

 

 

 

 

x2

+y1

 

 

 

 

 

где у = 12 м/с; tga = 1/30; /

= 0,1.

 

 

 

 

 

 

 

С учетом этого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х = V,

=

 

144

1/900

 

= 4,24 (м/с).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/1/100 — 1 / 900

 

 

 

 

Так как у = 0, то из формулы (4) определим натяжение нити

,

У

. cosa

-

ОД • 30 • 9,8 -12

1

 

Т = fmg , /

 

V4^42 +122

-v/l + tg2

a

Vx2

+у2

 

 

 

 

36-9,8

 

 

30

= 27,7 (H).

 

 

VI 7,98+144 л/901

 

 

 

 

 

 

О т в е т : v. = 4,24 см/с;

T - 27,7 H.

 

 

 

 

 

 

 

156

IX. Динамика материальной точки;

 

Задача 27.62

 

 

 

Точка М массы т

находится под дейст-

 

У

 

вием двух сил притяжения, направленных

 

м

 

к неподвижным центрам О, и 02 (см. рису-

-

У \f2

 

нок). Величина этих сил пропорциональна

0

 

расстоянию от точек О, и 02. Коэффициент

А0,

\°2

X.

пропорциональности одинаков и равен с.

а

2о

 

Движение начинается в точке А0 со скоростью v0, перпендикулярной линии 0,02. Оп-

ределить, какую траекторию опишет точка М. Найти моменты вре- мени, когда она пересекает направление линии О,02, и вычислить ее! координаты в эти моменты времени. Расстояние от точки А0 до оси у равно 2а.

Р е ш е н и е

Составим дифференциальные уравнения движения точки в про* екции на оси х и у:

 

тх = -с[(х - а)+(х

+ а)],

 

ту = -с(у + у)

или

 

 

 

х + &2х = 0,

(О

 

у + к2у = О,

(2)

где к2 =

2с

 

 

т

 

Решение уравнение (1) имеет вид

 

 

х = С, coskt +С, sin kt.

Тогда

 

 

 

х = -C}ks\nkt+С2к

cos kt.

Используя начальные условия: / = 0, х0 = - 2а, х0 =0, определим; С, = - 2а, С2 = 0.

27. Дифференциальные уравнения движения

157

С учетом значений постоянных интегрирования С, и С2 запишем

решение уравнения (1):

 

x = -2acoskt.

(3)

Аналогично решим уравнения (2):

 

7 = Съ coskt+Ct,

sinkt,

у = ~C3ksinkt+C4kcoskt.

Исходя из начальных условий: t = 0, у0 = 0, у0 = v0, найдем: С3 = О,

С4

= —. Тогда

 

 

 

 

/Г

 

 

 

 

у = — sin/:/.

 

(4)

 

к

 

 

 

 

Из уравнений (3) и (4) найдем

х

 

 

 

coskt

,

(5)

 

 

2 а

 

 

 

s i n * / Л

 

(6)

 

 

VO

 

 

Возведем обе части выражений (5) и (6) в квадрат, сложим их и, учитывая, что sin2 kt + cos2 kt = 1, получим уравнение траектории точки в координатной форме:

•X2

V2

 

+ —-—— = 1, — уравнение эллипса,

(2я)2

(v0 Л)2

где £ = 2с

" т

Точка будет пересекать линию 0,02, т.е. ось х, когда у - 0. В этом случае из уравнения (4) следует, что

sin kt = 0

kt = тк =>t = — , т = 0, ], 2,3,....

 

 

 

к

Если т - 0 ,

то /„ = 0, х0 = -2acos0°= -2a, у0 =0;

если т = 1, то

 

= —, х. = ~2a cosn = 2a, у, = 0;

 

 

к

 

если т = 2, то t2

2 л

х2 = -2a cos7t = -2a, у2 = 0 и т.д.

= —,

 

 

к

 

158

 

 

IX. Динамика материальной точки;

Следовательно, при четных т

 

 

 

 

хт =~2а, ут =0,

 

 

при нечетных

 

 

 

 

 

 

 

=2а, УтМ =0.

 

 

Период обращения точки при ее движении по эллипсу

 

 

Т = —

 

 

 

х2

у2

-1, где к -

—, /=0,хд= -2а, уь = ^

О т в е т : эллипс - — - + -

(vjk)2

 

(2а)2

 

 

 

=n/k,xl

= 2а,

у, =0;/2 = 2п/к,х2

=-2а,у2

= 0ит.д. Время,

в течение которого точка описывает эллипс, Т = 2п/ к.

Задача 27.63

 

На точку А массы т , которая начинает

£А>

движение из положения г - г0 (где г — ради-

ус-вектор точки), со скоростью v0, перпен-

дикулярной г0, действует сила притяжения,

направленная к центру О и пропорциональ-

 

ная расстоянию от него. Коэффициент пропорциональности равен тс,. Кроме того, на точку действует постоянная сила тсг0. Найти уравнение движения и траекторию точки. Каково должно быть отношение с,/с, чтобы траектория движения проходила через центр О? С какой скоростью точка пройдет центр 01

Р е ш е н и е

Составим дифференциальные уравнения дви- у жения в проекции на оси х и у:

тх = -/J + F,

ту = -Ц

или с учетом условий задачи

тх = -тс)х+тсх0,

ту-- тс{ у.

27. Дифференциальные уравнения движения

159

Откуда

 

 

х+<\х

= схй,

(1)

У +

=

(2)

Решение уравнения (1) ищем в виде х = jc + x*

где х — решение однородного уравнения, х = Л, cos Jc\t+B, sin Jc^t, x* - D — частное решение, подставив которое в уравнение (1), най-

п

с

 

 

 

 

дем D - — х 0 .

 

 

 

 

 

с>

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

х = Л, cos *Jc^t+Bi sinJ(\t+—x0 ,

 

 

 

 

<h

 

 

х =

sinJc^t

cos Jc\t.

Используя начальные условия: t = 0, х = х0, х0

=0, определим по-

стоянные А, и В{. Ах = jc0

Q

х0, Вх =0.

 

 

 

 

ci

 

 

 

С учетом значений А, и В, решение уравнения (1) примет вид

 

X = Xq

1 - — \cOsJcf

+ — Xq.

(3)

 

 

V

<\)

<л

 

Аналогично решим уравнение (2):

у= А3 cos -Jqt+В3 sin -Jc^t,

у= -A3J<\sin fit +B3Jc^ cos

Используя начальные условия: t = 0, ya =0, ya = v0, найдем посто-

янные интегрирования: A3 =0, B3 = - = .

Jc,

Тогда

У =

(4)

 

V4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности