doc2
.pdf
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
ДИНАМИКА
П Р А К Т И К У М
Рекомендовано Учебно-методическим центром «Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений
Допущено |
Министерством |
образования |
||
Республики |
Беларусь в качестве |
учебного |
||
пособия |
для студентов высших |
учебных |
||
заведений |
по техническим |
специальностям |
||
Под общей редакцией профессора А.В. Чигарева и доцента Н.И. Горбача
В двух частях
Часть 2 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
«НОВОЕ ЗВАНИЕ» |
«ЦУИЛ» |
2010
У ДК 531(076.5)(075.8) Б В К - 2 £ т М « 1 а
ТЗЗ
А в т о р ы :
В.А. Акимов, Г.Н. Алехнович, Н.И. Горбач, |А.Е. Крушевский|, О.Н. Скляр, Г.С. Соколовский, В.Д. Тульев, Т.Ф. Богинская, Г.И. Беляева, JI.H. Беляцкая, А.В. Чигарев
Р е ц е н з е н т ы :
кафедра теоретической и прикладной механики Белорусского государственного университета (зав. кафедрой — доктор физико-математических наук, профессор МЛ. Журавков);
ответственный за цикл дисциплин по механике, доктор технических наук, профессор В.М. Сурин
Теоретическая механика. Динамика. П р а к т и к у м : учеб.
ТЗЗ пособие . В 2 ч. Ч . 2. Д и н а м и к а материальной |
с и с т е м ы . |
Аналитическая механика / В . А . А к и м о в [и др . ] ; под общ . |
|
ред. проф. А . В . Чигарева и доц. Н . И . Горбача. — |
Минск : |
Новое знание ; М. : Ц У П Л , 2010 . — 863 с. : ил. ISBN 978-985-475-368-3 (Новое знание). ISBN 978-5-91889-003-5 (ЦУПЛ) .
Учебное пособие содержит типовые задачи по динамике материальной системы и аналитической механике с решениями, взятые из наиболее распространенного сборника задач И.В. Мещерского (§ 34-48). В начале каждого параграфа приведены основные теоретические положения и методические указания, используемые при решении задач. Решенияданы с подробными пояснениями.
Для студентов и преподавателей технических вузов и естественных факультетов университетов, а также лиц, самостоятельно изучающих теоретическую механику.
УДК 531(076.5)(075.8) ББК 22.21я73
ISBN 978-985-475-368-3(Новое знание) |
© Оформление. ООО «Новоезнание», |
ISBN 978-5-91889-003-5 (ЦУПЛ) |
ООО«ЦУПЛ», 2010 |
X. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции твердых тел
Методические указания к решению задач
Механической системой или системой материальных точек называют такую их совокупность, в которой положение или движение каждой точки зависит от положения или движения всех остальных, т.е. это система взаимосвязанных точек. Поэтому материальное тело, в том числе и абсолютно твердое, может рассматриваться как система материальных частиц, образующих это тело. В свою очередь совокупность взаимосвязанных твердых тел также является механической системой.
При исследовании движения механической системы важно учитывать характер распределения масс всех точек системы.
Для характеристики распределения масс используются такие понятия, как центр масс системы, осевые, планарные и полярный, а также центробежные моменты инерции твердых тел.
Если движение механической системы изучается в декартовой системе координат Oxyz, то центр масс С этой системы представляет собой геометрическую точку с координатами:
ч_ Ъткхк
СЪтк
v |
_ Ъ^кУк |
|
(34.1) |
Ус --= Ътк |
; |
|
|
„ |
Y/HkZk |
|
|
Zc — Ътк > |
|
|
|
где тк — масса к-й точки (или тела); хк, ук, ik — координаты к-й точки или центра тяжести к-го тела, входящих в механическую систему.
4 |
X. Динамика материальной системы |
Арифметическая сумма масс всех точек или тел, образующих систему, есть масса М системы, т.е.
М = X Щ .
Если механическая система представляет собой сплошное тело, то
М = pV, |
(34.2) |
где р — объемная плотность; V — объем тела.
Если масса распределена по поверхности (площади), то вводится понятие поверхностной плотности
P - f |
(34.3) |
где S — площадь поверхности.
Для длинных тонких тел (стержней) вводится понятие линейной плотности
P - f |
(34-4) |
где / — длина тела массы М.
Эти величины используют при вычислении моментов инерции тел.
Осевым моментом инерции твердого тела называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний до оси. Например, осевой момент инерции тела относительно оси z обозначается /г и равен
(34.5)
В формуле (34.5) hk может быть выражено через координаты к-й точки. Тогда выражения осевых моментов инерции тела относительно декартовых осей координат примут вид
1х = |
Ътк(Ук+$\ |
|
1У = |
+ хк), |
(34.6) |
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
5^ |
Формулы (34.5) и (34.6) справедливы как для твердого тела, так
идля любой системы материальных точек.
Вслучае сплошного тела его разбивают на элементарные части,
авычисление сумм в формулах (34.6) в пределе сводится к вычислению определенных интегралов. Причем в зависимости от того, что собой представляют с точки зрения геометрии элементарные части тела, эти интегралы могут быть кратными — тройными и двойными — или обычными однократными вида:
Iz = |
\h2dm, |
(34.7) |
|
(Ю,(ЯШ) |
|
которые вычисляются по всему объему V, по всей площади S или по всей длине / тела. Тогда соответственно масса элементарной части тела
dm = рdV, dm = рdS, dm = pdl.
Момент инерции твердого тела относительно оси z
(34.8)
где iz, или рг — радиус инерции тела относительно оси.
Радиус инерции тела относительно оси представляет собой расстояние от этой оси до такой точки тела, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.
В заключение отметим, что осевой момент инерции является мерой инертности твердого тела при вращательном движении.
Планарныемоменты инерции — это скалярные величины, равные сумме произведений масс всех точек тела на квадраты расстояний от этих точек до соответствующих плоскостей.
В случае декартовых осей планарные моменты инерции опреде-
ляются по формулам |
|
' Оху — |
|
loyz = И,ткхк> |
(34.9) |
lov = |
|
6 |
X. Динамика материальной системы |
Полярный момент инерции — момент инерции тела относительно начала координат:
1 о ^ т к { х 1 + у 1 + т 1 ) . |
(34.10) |
Из формул (34.6) и (34.10) следует, что
210 = Ix + Iy + I7. |
(34.11) |
Если твердое тело симметрично относительно осей координат и
/JX = / у = 1/Z =*ос>/
что имеет место для сферического тела, то
2/о = 3/о с ,
откуда
2
где /ос — осевой момент инерции.
Приведем формулы для вычисления моментов инерции некоторых однородных тел относительно главных осей тензора инерции.
Тонкий диск (рис. 34.1):
MR2
4 '
MR2
Круглый цилиндр (рис. 34.2):
|
, |
MR2 |
|
|
|
|
Jr. = |
— : — , |
|
|
|
, |
, |
MR2 |
+ |
Mh2 |
• |
Ir |
= J С = |
4 |
j2 |
||
|
^y |
|
|
(34.12)
Рис. 34.1
R
Рис. 34.2
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
7^ |
|
Тонкий стержень (рис. 34.3): |
г |
1/2 |
1/2 |
||
h = |
Ml2 |
С |
|
12 |
|||
|
Iy= 0. Круговой конус (рис. 34.4):
/ г -—MR2.
10
Шар (рис. 34.5):
I,
r0 = -Ioc=~MR2.
2 5
Прямоугольная тонкая пластинка (рис. 34.6):
1с |
= |
Mb2 |
' |
|
|
1 2 |
|
Ir. |
= |
Ma2 |
|
12 |
' |
Iс. - Iе.: +1 г.. = |
M{a2 +b2) |
|
12 |
Момент инерции тела относительно оси так же, как и центр масс тела, не полностью характеризует распределение масс системы. В частности, эти характеристики распределения масс не учитывают асимметрию в их распределении. Поэтому в качестве характеристик, учитывающих асимметрию в распределении масс, дополнительно вводят центробежные моменты инерции.
Рис. 34.3
Рис. 34.5
Рис. 34.6
8 |
X. Динамика материальной системы |
Центробежные моменты инерции определяются относительно пары координатных осей по формулам
1уг=ЪткУк1к, • |
(34.13) |
или по аналогии с формулой (34.7) для сплошных тел
1ху= \xydm, |
1уг = \yzdm, I№= |
jzxdm. |
(34.14) |
V,s,l |
V,SJ |
V,S,l |
|
Центробежные моменты инерции в отличие от осевых могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Это зависит от выбора начала осей координат и их направления.
Ось, относительно которой центробежные моменты инерции, содержащие в своих индексах обозначение этой оси, равны нулю, называется главной осью инерции тела. Главная ось инерции, проходящая через центр масс тела, называется главной центральной осью инерции.
Зная осевые и центробежные моменты инерции тела, можно определить момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через начало координат и образующей с осями х, у, z соответственно углы а, Р, у:
// = Ix cos2 а +1у cos2 Р + 1г cos2 у - 2 cos а cos р |
- |
- 2 I n cos р cosy - 2 c o s y cos а. |
(34.15) |
Если оси координат являются главными осями инерции, то
Iху ~ Iуг ~ Iw = 0 •
Тогда
11 = Ix cos2 а +1у cos2 р + Iz cos2 у. |
(34.16) |
Пусть в некоторой точке О твердого тела выбрано начало координат Oxyz. Если в этой точке известны главные моменты инерции относительно главных осей инерции Ox'y'z' и ориентация осей Oxyz относительно главных осей, то при определении центробежных моментов инерции возможны три случая.
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
9^ |
1. Ось Ох совпадает с главной осью инерции Ох? (рис. 34.7, а).
Тогда
IХу ~ Ix'y "
=о,
ацентробежный момент инерции при повороте против часовой стрелки осей Oyz вокруг оси Ох на угол а < 90° до совпадения с осями Оу' z' от оси Оу к оси Oz
Iv l |
= I z ' ~ Ту' sin2«, |
(34.17) |
у |
2 |
|
а при повороте по часовой стрелке |
|
|
1 п |
= 1 у ' ~ 1 г ' sin2a. |
(34.18) |
к |
2 |
|
2. Ось Оу совпадает с Оу' (рис. 34.7, б) и при повороте осей Oxz вокруг оси Оу на угол Р <90° до совпадения с осями Ox' z' от оси Oz к оси Ох против часовой стрелки имеем
Ixy ~~ Ixy' = 05
= |
sfn2p. |
-(34.19) |
3. При совпадении оси Oz с осью Oz! (рис. 34.7, в) и повороте вокруг оси Oz на угол у <90° от оси Ох к'оси Оу против часовой стрелки
1x7 = hi' = 0 ,