doc2

80 X. Динамика материальной системы

Подставим значения постоянных интегрирования в формулу (6)

Задача 35.13

Электрический мотор массы М{ установлен на балке, жесткость которой равна с. На вал мотора насажен груз массы М2 на расстоянии / от оси вала. Угловая скорость мотора со = const. Определить амплитуду вынужденных колебаний мотора и критическое число его оборотов в минуту, пренебрегая массой балки и сопротивлением движению.

Тогда

Мхс - М\ х+М2 х - M2l(s? cos to/.

Это выражение подставим в уравнение (I):

(Mi + М2)х - М21ы2 cosco? ~-сх

и получим неоднородное дифференциальное уравнение относительно х:

Дифференциальное уравнение (2) — это уравнение вынужденных колебаний без сопротивления. Его решение х - х + х*. При к Ф со х* = A cosco/.

Найдем амплитуду вынужденных колебаний. Возьмем вторую производную:

х* = -Лео2 cosco/.

Подставим выражения х* и х* в уравнение (2):

-Лео2 cosco/ + к2(А cosco/) = h cosco/

Критическое число оборотов мотора икр в минуту определим из условия резонанса, когда к - со:

ны / с привязанным к нему грузом С2 массы М2. Трос с грузом совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости. Определить:

1) суммарную вертикальную реакцию балки BD, считая ее жесткой;

2) закон движения точки С| в вертикальном направлении, считая балку упругой с коэффициентом упругости, равным с.

В начальный момент балка, будучи недеформированной, находилась в покое в горизонтальном положении. Считая колебания троса малыми, принять: sin <р — ф, cos(p = l. Начало отсчета оси у взять в положении статического равновесия точки Cj. Массой троса и размерами тележки по сравнению с длиной балки пренебречь.

Ре ш е н и е

1)Определим суммарную вертикальную реакцию балки BD, считая

еежесткой.

На механическую систему, состоящую из тележки А и груза С2, действуют сила тяжести M\g тележки, сила тяжести M2g груза, суммарная вертикальная реакция Ry (рис. 1).

Найдем

ф = ^ • к coskt = фо coskt.

к

Слагаемое М21 ф2 в выражении (7) будет иметь максимальное значение при ф = фтах, т.е. при t — 0. Отсюда следует, что ф = фтах = ф0. Тогда

Запишем теорему о движении центра масс в проекции на ось у:

Поскольку начало координат выбрано в положении статического равновесия (в точке О), то у, = уи у2 = у +/coscp. Тогда уравнение движения центра масс системы по оси у

Учитывая, что в положении статического равновесия сила упругости равна силе тяжести, т.е. (М, +M2)g = cfcr, уравнение (12) примет вид

Уравнение (13) — дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, т.е. центр масс Сх будет совершать вынужденные, а не свободные, колебания, как указано в ответе в сборнике.

Чтобы решить уравнение (13), нужно задать начальные условия колебаний груза С2. Если принять начальные условия, приведенные при определении Ry, уравнение колебаний маятника будет таким:

Фп . . m = — sin А:/,

к

тогда

ф = ф о coskt,

ф= - ^к sin kt.

После преобразований уравнение (13) примет вид

Введем обозначения:

==И, 2к = р.

Решение неоднородного уравнения (15) представим в виде

У1 =У\ +У\,

где ух - /lcos£1/+2?sin&1? — решение однородного дифференциального уравнения.

Коэффициенты при sinpt и cospt должны быть одинаковыми, следовательно, получим два уравнения. Первое уравнение

88 X. Динамика материальной системы

С учетом начальных условий движения при t = 0 из уравнения

из уравнения j>1(0) =0 определим В:

0 = Вкх ^> В = 0.

Подставим значения постоянных интегрирования А и В в формулу (16) и запишем уравнение движения точки Сх:

Ответ: 1) Ry = (М, + M2)g + М21ф20;

2) точка С, совершает вынужденные колебания по закону