doc2
.pdf90 |
X. Динамика материальной системы |
Продифференцируем выражение (3) дважды:
М21
х с = —7-cos<p<p,
М
M-i |
_ М21 |
.2 |
xc = - fcoscp - (j> —- i - sin9V -
ММ
Сучетом формулы (4) выражение (2) примет вид
Rx = Мхс = M2l (coscp-(p-sin(p-ф2).
(4)
(5)
Трос с подвешенным на нем грузом М совершает колебания по закону <р = фо cosсо/. Продифференцировав это выражение, получим
ф = - Фо со sin со/, |
(6) |
|
ф = - ф 0 со2 cosco/. |
(7) |
|
С учетом формул (6) и (7) равенство (5) примет вид |
|
|
Rx = Л/2/[со5ф(- фо со2 cosco/) - |
sin ф- фо со2 sin2 со/] = |
|
= - М2/фо со2(со5фсо5Ш/ + |
ф0 sincpsin2 со/). |
(8) |
Из выражения (8) следует, что горизонтальная составляющая реакции рельсов зависит от угла ф. Найдем значение Rx для двух значений ф.
1) Трос занимает вертикальное положение. В этом случае ф = 0. Тогда
Rx = -Л/2/ф0со2 cosco/. |
(9) |
Примечание. Такой ответ приведен в сборнике. Однако значению угла ф =0, как следует из уравнения колебаний груза, соответствует cosco/ =0, так как ф0 *0. Следовательно, при этом положении троса Rx =0.
2) Трос отклоняется на максимальный угол ф= ф0. В этом случае cosco/ = 1, откуда следует, что со/ = 0 или / = 0, так как со Ф 0.
С учетом этого согласно выражению (8)
Rx = -M2l ф0со2со5ф0. |
(10) |
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
91 |
Итак, ответ должен быть таким:
Rx = 0 при ф = 0;
=—Л/2/фоС02С05фо при ф=фо-
2. Определение закона движения центра масс Сх тележки А вдоль оси х в предположении, что тележка не заторможена.
В этом случае Rx = 0, следовательно, выражение (2) примет вид
Мхс= О,
отсюда хс = 0, хс = const.
Так как в начальный момент система неподвижна, то хСо =0 = х с или хс = const, т.е. центр масс системы покоится.
Выберем начало оси х в начальном положении центра масс С| тележки.
Найдем уравнение движения центра масс системы
М]ХХ + М2х2 |
|
||
хс = |
|
> |
|
|
Мх+М2 |
|
|
где jc, = Х\; х2 - хх + / sin ф; Мх+М2 |
= М. |
|
|
Тогда |
|
|
|
_ (Л/j + М2)хх |
+ Л/2/8Шф |
|
|
|
мх+м2 |
|
|
или |
|
|
|
ХС = Х\+ |
М21 . |
(11) |
|
, , |
, , sin ф. |
||
М\ + М2 |
|
||
Продифференцировав уравнение (11), получим выражение для
скорости движения центра масс по оси х: |
|
|
*с = *|+ „ |
М21 . . |
(12) |
, , ^шф ф. |
||
М1 +М, |
|
|
Зная, что хс = const, а хС() = 0, уравнение движения точки Сц можно найти двумя способами.
92 |
X. Динамика материальной системы |
Первый способ. Найдем хСо, т.е. координату центра масс в начальный момент:
Хс° |
_ МХ ХЙ Х + M 2 X Q 2 _ М\ - 0 + A / 2 / s i n c p 0 _ A / 2 / s i t i ( p 0 |
. . . . |
|
Мх +М2 ~ Мх +м2 |
~ мх+м2' |
|
|
Координату центра масс системы, когда трос составляет с вертикалью некоторый угол ф, определим по формуле (11). Приравняв выражения (13) и (11), получим
М2 |
/ |
. |
|
М21 . |
|
||
|
|
-втфо = X] + |
|
— в т ф . |
|
||
Мх +М2 |
|
Мх + М2 |
|
|
|||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= „ |
М2\, , (sin фд — sin ф). |
|
( 1 4 ) |
||
|
|
Мх +М2 |
|
|
|
|
|
Для малых углов отклонения втф^ф, вшфо = фоТогда |
|
||||||
Щ = t , M l [ , |
(Фо - |
Фо c o s c o / ) |
= ^ / |
ф о |
( 1 _ C 0 S ( I ) , ) |
( 1 5 ) |
|
Мх +М2 |
|
|
|
Мх |
+ Мг |
|
|
Второй способ. Так как х с = 0, то |
|
|
|
|
|||
|
|
+ „ |
М21 |
. . |
|
|
|
|
|
, , С О 8 ф - ф = 0, |
|
|
|||
|
|
М1 + М2 |
|
|
|
|
|
а с учетом малости углов отклонения, когда cos9 = 1, выражение для хх примет вид
М21 . .
— s i n q >
Мх +М2
или с учетом выражения (6)
хх =—- = |
1 |
т |
sin со/. |
( 1 6 ) |
dt |
Мх |
+ М2 |
|
|
Разделим переменные и проинтегрируем выражение (16):
х\ , |
М21 Фосо'г . |
, ,, |
If dx, |
= — 2мх+т м-2{I sinrn/ |
dt |
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
93 |
и получим
X, = |
W < P o t a , l ( - C o s o J ' |
= М21 фр |
(1 -cosco/)- |
|
|
Мх + М2 со |
о |
Л / , +М2 |
|
О т в е т : 1) ^ |
= -Л/2/фоЮ2(со8фсо8со/ + фо5тф5т2со/), / ^ О п р и |
|||
Ф = 0, Rx = -M2l<p0u)2cosyQ |
|
при ф = ф 0 ; |
||
2) точка С, совершает колебания с амплитудой ^ 1 ^ /ф0 |
||||
и круговой частотой со по закону х, = |
М7 —/ф0(1-cosco/). |
|||
|
|
|
|
А/, +М2 |
Задача 35.16
На средней скамейке лодки, находившейся в покое, сидели два человека. Один из них, массы Мх = 50 кг, переместился вправо на нос лодки. В каком направлении и на какое расстояние должен переместиться второй человек массы М2 = 70 кг для того, чтобы лодка осталась в покое? Длина лодки 4 м. Сопротивлением воды движению лодки пренебречь.
Р е ш е н и е
На данную механическую систему действуют внешние силы: силы тяжести M\g, M2g и M3g, выталкивающая сила Тл воды (см. рисунок). Запишем теорему о движении центра масс в векторной форме и в проекции на ось х:
Мас = M,g + M2g + M3g + Fa,
Mtc = lF£c= 0.
Тогда
x c = С, = const.
В начальный момент система покоилась, поэтому
х 0 с = 0 , С , = 0 .
94 X. Динамика материальной системы
Следовательно,
xr |
dxc |
_ |
= —i- = о Xr = const. |
||
|
dt |
|
Запишем координату центра масс системы для первого и второго положений:
1) хС) =2 м (оба человека сидят на средней скамейке лодки);
2 ) Х |
_ 4 М 1 + ( 2 - Х ) М 2 + 2 М } |
|
|
|
|
|
|
||||
СЗ |
|
М]+М2 |
+ |
М3 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как xCl |
= xCl, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 _ 4 М 1 + ( 2 - Х ) М 2 + 2 М 3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
М\+М2 |
+ |
М3 |
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2{МХ + |
М2 + |
М3) = |
4М\ |
|
+2М2-М2Х+2М3. |
|
|
||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4МХ+2М2-2М1-2М1+2М3-2М3 |
± |
1 |
i = |
2 М , |
1 0 0 |
, |
, . |
||||
х• = - |
! |
i |
! |
|
L = |
70 |
= 1 43 |
(м). |
|||
|
|
|
М2 |
|
|
|
М2 |
|
|
|
|
О т в е т : |
влево на корму лодки на расстояние |
1,43 м. |
|
|
|||||||
Задача 35.17
На однородную призму А, лежащую на горизонтальной плоскости, положена однородная призма В', поперечные сечения призм — прямоугольные треугольники, масса призмы А втрое больше массы призмы В.
Предполагая, что призмы и горизонтальная плоскость идеально гладкие, определить длину /, на которую передвинется призма Л, когда призма В, спускаясь по А, дойдет до горизонтальной плоскости.
Р е ш е н и е
На механическую систему действуют силы тяжести МА g, MBg и реакция N опоры (см. рисунок). Аналогично решению задачи 35.16 получим, что хс = const.
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
95 |
Запишем координату х центра масс механической системы для двух положений призм. Для начального положения
|
|
|
МА-а |
1 |
|
2 |
|
|
|
Ъ |
+ М a—b |
||
|
|
= |
А |
В |
3 |
|
|
|
МА + МВ |
|
|||
|
|
|
|
|||
или, так как МА |
= 3Мв, |
|
|
|
|
2 /3Ь |
ЪМв-\а |
+ Мв±Ь |
_ |
За+2Ь |
|
|
|
3 |
3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для конечного положения, когда призма В дойдет до горизонтальной плоскости,
MA\±a-IYMB{a-l-U
=
МА + м в
|
ъ-т |
4 Мв |
12 |
Так как хс = const, то хС] = хСг, т.е. |
|
З а + 2 6 |
6 а - 6 - 1 2 / |
12 |
12 |
Откуда |
|
/ = а - 6
О т в е т : 1 = а-Ь
Задача 35.18
По горизонтальной товарной платформе длины 6 м и массы 2700 кг, находившейся в начальный момент в покое, двое рабочих перекатывают тяжелую отливку из левого конца платформы в правый. В какую сторону и на сколько переместится при этом платформа, если общая масса груза и рабочих равна 1800 кг? Силами сопротивления движению платформы пренебречь.
96 X. Динамика материальной системы
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
Покажем на рисунке внешние силы, дей- |
|
6 м |
||
ствующие на систему: силу тяжести платфор- |
|
N |
||
мы M\g, силу тяжести груза с рабочими |
M2g, |
|
||
|
|
|
||
реакцию N опорной поверхности. |
|
М28 |
|
V, |
Запишем теорему о движении центра масс |
|
|||
|
|
|||
системы в векторной форме: |
|
|
|
|
Мас = (М\ + M2)g + N |
|
|
Ni |
Л |
|
|
|
|
|
и в проекции на ось х: |
|
VtA G |
||
Мхе = О |
|
|||
(см. решение задачи 35.16), х с = const. |
|
|
|
Мгё |
|
|
|
|
|
Определим координату хс для начального положения, когда плат- |
||||
форма находится в покое: |
|
|
|
|
<с, = т х + о м 2 _ |
зл/, |
|
|
|
М\ +м2 |
+ м2 |
|
|
|
Для конечного положения, когда рабочие перекатят отливку на правый конец платформы,
(3 - х)М\ + (6 - х)М2
|
хс2=- |
Mi + М2 |
|
|
|
||
Так как хс< = хс%, |
то |
|
|
|
3М\ |
(3 - x)Mi + (6 - х)М2 |
|
Mi +М2 |
Mi + |
м 2 |
|
или |
|
|
|
3Ml = 3Ml -MiX+6M2- |
М2х. |
||
Откуда |
- 6М2 |
|
|
х = |
6-1800 |
= 2,4 (м). |
|
|
Mi+M2 |
4500 |
|
Платформа переместится влево. О т в е т ; влево на 2,4 м.
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
97 |
Задача 35.19 |
|
Два груза М\ и М2, соответствен- |
А |
но массы М\ и М2, соединенные не- |
|
растяжимой нитью, переброшенной |
|
через блок А, скользят по гладким |
|
боковым сторонам прямоугольного |
|
клина, опирающегося основанием ВС |
|
на гладкую горизонтальную плоскость.
Найти перемещение клина по горизонтальной плоскости при опускании груза М\ на высоту h = 10 см. Масса клина М- 4Мх = 1бЛ/2; массой нити и блока пренебречь.
Р е ш е н и е
На данную механическую систему (см. рисунок) действуют силы тяжести Mg, Mxgu M2g, реакция N опорной поверхности. Рассуждая так же, как в задаче 35.16, получим хс = const, т.е. хС] = xCl.
Запишем координату центра масс системы
= Ътк хк = М\ х, + М2х2 + Л/3х3 М + M ] + M 2
98 |
X. Динамика материальной системы |
Тогда координата центра масс хС| для начального положения системы
i |
Мх1 + Мх-> + — Мхт. |
||
_ 4 |
1 |
16 |
_ |
1м+—м+м
4 16
„ , , |
, |
л |
. |
с |
+16х2 |
+ х3 |
_ 4xj +16*2 + х3 |
||
4 + 1+16 |
|
21 |
|
|
Координата центра масс хСг в конечном положении, когда груз Мг опустился на 10 см:
|
*С2 ,_4 |
+ х, - |
ъ) |
+ М(1 + х2) + 16 |
+ х3 - |
х5) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
-М+—М+М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
16 |
|
|
|
|
|
|
л, |
л |
л |
|
2 +/ |
/ |
+ x 3 - x 5 _ |
21/+4*] +16х2 |
+ х3 - 4 |
tga |
А |
||||
4/+4Х]-4х»+l6/+16x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
||
где х4 |
= |
tg30°= - L |
х5 |
= - ^ - c o s (90°- a) = А. |
|
|
|
|
||||||
|
tga |
|
л/3 |
|
|
|
sina |
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку х с = ХС2 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4х, + 1бх2 + х3 |
— 21/ +4xj +16х2 + х3 |
- 1 0 |
4л/3 +1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 1 |
|
|
|
или
21/= 79,2 =»/ = 3,77 (см).
Клин переместится вправо.
О т в е т : клин переместится вправо на 3,77 см.
Задача 35.20
Три груза массы Мх = 20 кг, М2= 15 кг и Мз = 10 кг соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижные блоки L и N. При опускании груза М\ вниз груз М2 перемещается по верхнему
основанию четырехугольной усеченной А пирамиды ABCD массы М= 100 кг впра-
во, а груз М3 поднимается по боковой
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
99 |
грани АВ вверх. Пренебрегая трением между усеченной пирамидой ABCD и полом, определить перемещение усеченной пирамиды ABCD относительно пола, если груз М\ опустится вниз на 1 м. Массой нити пренебречь.
Р е ш е н и е
На механическую систему, состоящую из пирамиды массы М, трех грузов массы А/,, М2 и А/3, действуют внешние силы (см. рисунок): силы тяжести Mg, Mtg, M2g и M3g, реакция N* гладкой горизонтальной поверхности.
Рассуждая так же, как в задаче 35.16, получим хс = const, т.е.
Запишем координату центра масс соответственно для начального и конечного положения системы:
_ М\ |
+ М2х2 + Mjx3 + Мх0 |
X q |
М] + М2 + М3 + М ' |
_Mj(x| - / ) + М2{х2 + h-1) + М3(х3 + h cos60°-/) + М(х0 - / )
Хс2 ~ |
М]+М2+М3 + М |