doc2

а искомое значение ОС = h:

h = 1 2ti2

Ответ: ОС = -2п2 gT2+,jg2T*-1,бАг4

Примечание. Так как должно бытьОС > г, то решение возможно, если

Т 2 > 1 , 4 — г ;

8

решение, соответствующее знаку минус перед радикалом, невозможно.

Задача 37.35

На каком расстоянии от центра масс должен быть подвешен физический маятник, чтобы период его качаний был наименьшим?

Р е ш е н и е

Рассмотрим колебания физического маятника относительно оси Oz подвеса. Покажем на рисунке действующие силы: силу тяжести Mg, реакции Х0 и Y0.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения маятника относительно оси z, проходящей через точку О подвеса:

/;ф = -A/g/zsintp.

Так как для малых колебаний втф^.ф, можем записать

Ф + - Mgh-ф = 0

или

ф+/:2ф = 0,

2 _ Mgh

где к =

и найдем минимальное значение Л, когда

d(T2) = 0 dh

или

LC +1 = 0.

Mh2

Откуда

h2 = I*.

М

Отношение момента инерции тела к его массе равно квадрату радиуса инерции. Следовательно, расстояние от центра масс до точки Подвеса маятника равно радиусу инерции маятника.

О т в е т : на расстоянии, равном радиусу инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости качаний.

Задача 37.36

Маятник состоит из стержня с двумя закрепленными на нем грузами, расстояние между которыми равно /; верхний груз имеет массу т ь нижний — массу т2. Определить, на каком расстоянии х от нижнего груза нужно поместить ось подвеса для того, чтобы период малых качаний маятника был наименьшим; массой стержня пренебречь и грузы считать материальными точками.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение системы, состоящей из невесомого стержня АВ и двух точечных грузов массами тх и т2. Покажем на рисунке действующие на систему силы: силы тяжести грузов w, g и m2g, реакции Х0 и Y0 в точке О.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения маятника относительно оси z,

и приведенный момент инерции системы относительно оси г:

h = hz + hz-

Моменты инерции точечных грузов А и В равны соответственно:

\2 h z =щ(!-ху,

h z • т2х2.

Тогда

Ут2х2+щ(/-х)2

Возведем в квадрат это выражение:

Г2 = — т2х2 +m\(l ~ х)2

gm2x-ms(I-x)

ипродифференцируем полученное равенство по х:

Решение этого квадратного уравнения имеет вид

т\ Х\.2=1 т{ +т2

искомое расстояние

mx +т2

Задача 37.37

На каком расстоянии от оси подвеса должен быть присоединен к физическому маятнику добавочный груз, чтобы период качаний маятника не изменился?

Р е ш е н и е

Вначале найдем период колебаний физического маятника без точечного груза А под действием силы тяжести маятника Mg (см. рисунок).

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения физического маятника относительно оси z, проходящей через точку О подвеса:

= -A/g/isincp,

где h=OC.

Так как для малых колебаний ятф^ф, то Ф + - Mgh-ф = 0

или

где к2 - Mgh

Тогда период колебаний физического маятника

Найдем период колебаний системы, состоящей из физического маятника и точечного груза А. Покажем на рисунке силы, действующие на эту систему: силы тяжести маятника Mg и груза mg, реакции Х0 и Y0 в точке подвеса О.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения

где Iz — момент инерции физического маятника относительно точки О подвеса.

Найдем момент инерции точечного груза А:

(Iz +тх2) ср = -(тх + Mh)gq>.

Так как з т ф = ф, то

Iz +тх-

или

ф+А:2ф = 0,

где к2 _ (mx + Mh)g

Iz +тх 2

и тогда искомое расстояние

Mh

которое является приведенной длиной физического маятника.

О т в е т : на расстоянии приведенной длины физического маятника.

Задача 37.38

Круглый цилиндр массы М, длины 21 и радиуса г = 1/6 качается около оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Как изменится период качаний цилиндра, если прикрепить к нему на расстоянии ОК- 85/72/точечную массу ml

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение системы, состоящей из круглого цилиндра и точечного груза К. Покажем на рисунке действующие на систему силы: силы тяжести цилиндра Mg и груза mg, реакции Х0 и Y0 осей.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения системы относительно оси z, проходящей через точку О:

Уберем груз А" и рассмотрим колебания цилиндра. Запишем дифференциальное уравнение колебаний цилиндра:

/»Ф+ЛЦ ф=О

или

Ф+ -71Г( Р = 0-

Сучетом найденного значения момента инерции цилиндра относительно оси z получим

или

ф + 2 ^ ф = о.

У85 Г

Период колебаний цилиндра

85/

Таким образом, получили, что Т = Т*, т.е. период колебаний не изменится.

О т в е т : период качаний не изменится, так как точечная масса добавлена в центре качаний цилиндра.

Задача 37.39

Найти уравнение малых колебаний однородного диска массы М и радиуса г, совершающего колебания вокруг горизонтальной оси Oz, перпендикулярной его плоскости и отстоящей от центра масс С диска на расстоянии ОС -г/2. К диску приложен вращающийся момент тв р , причем ткр7 = щ sin pt, где т0 и р — постоянные. В началь-

ный момент диску, находившемуся в нижнем положении, была сообщена угловая скорость ©о- Силами сопротивления пренебречь. Считая колебания малыми, принять sin(р = <р.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение диска под действием приложенных к нему сил, показанных на рисунке.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения диска вокруг неподвижной оси z:

(1)

Найдем главный момент внешних сил относительно оси z:

h = 4

3 Mr2'