doc2
.pdf70 |
|
|
|
|
|
X. Динамика материальной системы |
|
Подставим значения постоянных А, В, С и D в формулу (8) и за- |
|||||||
пишем решение в виде |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
К2к |
к) |
|
|
или, зная, что к = со, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
xQ |
Vo |
• „ |
h |
|
|
|
|
= — smco/ +—rsincor. |
|
|||
|
|
|
|
со |
|
2co |
|
О т в е т : 1) при мх+м2 |
+ м3 |
* со2 |
|
|
|||
хо |
= ——т |
coskt+—sin |
kt + —^—T cosco/, |
||||
|
к |
- |
at |
|
к |
к -a |
|
г д е |
* = |
I |
' |
|
>h=(M2+2M3) |
act |
|
|
у м } + м 2 + м 3 |
Mx +M2 + M3 |
2 |
||||
2) |
при |
|
с |
|
1 |
Vn |
h |
|
|
+ M3 |
= or х0 = —sincof +—fsincof. |
||||
|
Mi+M2 |
|
со |
2co |
|||
Задача 35.9
Ножницы для резки металла состоят из кри- вошипно-ползунного механизма ОАВ, к ползуну В которого прикреплен подвижный нож. Неподвижный нож укреплен на фундаменте С. Определить давление фундамента на грунт, если длина кривошипа г, масса кривошипа М\, длина шатуна /, масса ползуна В с подвижным ножом М2, масса фундамента С и корпуса D равна М3. Массой шатуна пренебречь. Кривошип OA, равномерно вращающийся с угловой скоростью со, считать однородным стержнем.
Указание. Выражение Jl — sin Ш J следует разложить в ряд и отбро-
сить все члены ряда, содержащие отношение - в степени выше второй.
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
71 |
Р е ш е н и е |
|
Покажем на рисунке действующие актив- |
|
ные силы: силы тяжести всех частей маши- |
|
ны — M\g, M2g, Mjg, и точки их приложе- |
|
ния соответственно С ь С2 С3, а также реак- |
|
цию N грунта. |
|
Запишем теорему о движении центра |
|
масс механической системы в проекции на |
|
ось х: |
|
Mxc = -ZF& = (Ml+M2 + M3)g~N. |
(1) |
Из уравнения (1) выразим N: |
|
N = (Л/, + М2 + M2)g-Мхс. |
(2) |
Для определения N необходимо знать проекцию ускорения центра масс на ось х. Рассмотрим кривошипно-ползунный механизм. Так как со = const, то <р = со/, координаты х{,х2 и х3 центров масс Q , С2 и С3 (см. рисунок):
OA-cosСО/ = — COS со/, |
(3) |
|
2 |
2 |
|
х2 = OA • cos со/ + АВ • cosy+ВС2 (ВС2 = const), |
(4) |
|
х3 = ОС3 = const. |
(5) |
|
Зависимость между углами ср и у определим по теореме синусов
из АОАВ: |
|
siny |
_ г |
sin со/ |
/ |
или |
|
siny = у sin со/.
Тогда
cosy = л/'sin 2 у = Jl -1 j sinco/ |
(6) |
72 |
X. Динамика материальной системы |
Подставим выражение (6) в формулу (4) и получим |
|
х2 = rcoscot+1сощ+ВС2 |
= г cosco/ -н/Лу/1 — j^у^-sisinco/)со/J +ВС2. |
Разложим выражение |
|
1-| ysinco/
г
в ряд. Учитывая, что - — правильная дробь, отбросим все члены ряда,
содержащие у в степени выше второй. Тогда
jl-^ysinco/j = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1-^ysinco/j |
1 |
|
1 Г" • 2 |
, |
||||
= 1 |
|
Т-sin |
со/. |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 / 2 |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
г2 |
ю/ +ВСЪ |
|
||
х2 - гcosco/+/ |
1 —-т-sin2 |
|
||||||
|
ч |
2/2 |
у |
|
|
|
||
зная, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin. |
2 со/„ = l-cos2co/ , |
|
|
|
||||
получим следующее выражение для х2. |
|
|
|
|
||||
г2 |
( |
|
|
1 г |
|
Л |
(7) |
|
Х2 = / + — + /• COSC0/ +—cos2co/ |
) |
\+ВС2. |
||||||
4J |
[ |
|
|
41 |
|
|
|
|
Вычислим вторые производные от выражений (3), (5) и (7): |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Х\ = |
/ТО |
cosco/, |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
х2 = -rco2^cosco/ + ycos2co/j,
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
73 |
|||
Зная, что |
|
|
|
|
|
*с = М\ х, + М2х2 + М3х3 |
|
||
найдем |
|
|
Му+М2 + М3 |
|
|
|
|
|
|
|
хс |
М\Х\ М2х2 + Л/3Х3 _ |
|
|
|
|
|
Mi+м2 + л/3 |
|
.,2 |
|
|
|
|
—М\ |
cos со/ - |
Л/2гсо2 |^cos со/ + у cos2 со/j |
|
|
|
|
Л/, + м2 + л/3 |
|
|
гаг |
(My + 2 Л/2) cosco/+2 Л/2 у cos2 со/ |
|
||
Т " |
|
My+м2 + л/3 |
|
|
|
|
|
||
Подставим значение х с |
в уравнение (2) и найдем |
|
||
N = (My+M2 + M3)g |
+ по |
(М, + 2М2) cosсо/+2 М2 у cos2 со/ |
|
|
О т в е т : JV = (Mi + М2 + M3)g + ГШ (My + 2 М2) cos со/+2 М2 у cos2 со/
Задача 35.10
Электрический мотор массы М\ установлен без креплений на гладком горизонтальном фундаменте; на валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длины 21 и массы М2, на другой конец стержня насажен точечный груз массы Л/3; угловая скорость вала равна со.
Определить: 1) горизонтальное движение мотора; 2) наибольшее горизонтальное усилие R, действующее на болты, если ими будет закреплен кожух электромотора на фундаменте.
74 |
X. Динамика материальной системы |
Ре ш е н и е
1)Покажем на рис. 1 силы тяжести каждой части мотора — M\g, M2g, M3g и суммарную реакцию N фундамента.
1)Если мотор не закреплен на фундаменте, то при движении стержня с точечным грузом корпус электромотора начнет движение, обозначим его перемещение х и запишем координату центра масс по оси х:
_ Иткхк _ Мх(-х) + M2(lCOS(0/ - х) + А/3(2/cosco/ - |
х) |
(1) |
М\ + М2 + мъ |
|
|
|
|
|
Если стержень с точечным грузом зай- |
|
|
мет вертикальное положение, то координа- |
|
|
та центра масс по оси х будет Хс2 =0. |
|
|
Так как проекция главного вектора внеш- |
|
|
них сил на ось х равна нулю, то согласно |
|
|
следствию из теоремы о движении центра |
|
|
масс можно записать хС| = хСг - 0. Прирав- |
|
|
няв выражение (1) к нулю, найдем х (гори- |
|
|
зонтальное движение мотора): |
|
|
Л/, (-х) + M2(l cosa)/ - х) + Л/3(2/ cosco/ - х) = 0 |
|
|
М\ + М2 + My |
|
|
Рис. |
1 |
|
или |
|
|
/ coscot{M2 +2 М3) = х (М\ + М2 + М3). Откуда
х = l(M2 +2A/3)cosco/
м{+м2+м}
т.е. мотор совершает гармонические колебания с амплитудой
1(М2 +2 М3)
Af, + м 2 + м 3
и периодом |
|
I с^^^л |
|
|
|
г |
|
|
2к |
/ / / * |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
75 |
2) Если мотор закреплен на фундаменте, то на болты действует срезывающее усилие R = RI + R2 (см. рис. 2).
Найдем координату центра масс:
*с |
У/я кхк |
Mi0 + M2lcos(ot |
+ M3-2lcoswt |
|
£тк |
Mt+M2 |
+ М3 |
||
|
_ (М2 +2 М3) / cosсо/
Ml+м2 + м3
и проекцию ускорения центра масс на ось х:
Xf |
~(M2 +2A/3)/co2cosco/ . |
(2) |
|
Mi+M2 + M3 |
|
Запишем теорему о движении центра масс механической системы в проекции на ось х:
( М 1 + М 2 + Мз)хс |
= № = Я- |
|
(3) |
Подставим выражения (2) в формулу (3) и получим: |
|
||
-/со2 coscot(M2 +2 М3) = R |
|
|
|
Значение R будет наибольшим, когда cosco/ = 1, т.е. |
|
|
|
R = 1ОЗ2(М2 +2 М3). |
|
|
|
О т в е т : 1) гармонические колебания с амплитудой |
1(М2+2М3) |
||
2п |
1 |
Mi+М2 |
+ М-з |
и периодом Т = — ; 2) R = |
Ы(М2+2М3). |
|
|
со |
|
|
|
Задача 35.11
По условиям предыдущей задачи вычислить ту угловую скорость ю вала электромотора, при которой электромотор будет подпрыгивать над фундаментом, не будучи к нему прикреплен болтами.
Р е ш е н и е
Определим массу всей системы:
М = Mi +М2 + М3.
76 |
|
X. Динамика материальной системы |
Координаты центров масс по оси у (см. |
||
рисунок): |
|
|
|
Усх |
|
уСг |
= Я +/sin со/, |
|
Ус3 = Я +21 sin со/. |
|
|
Тогда |
|
|
Ус, |
=0, |
|
Ус2 = -/со2 sin со/, • |
(1) |
|
3>с3 -2/co2sinco/. |
|
|
Согласно одной из формул (35.1) |
|
|
_ |
Л/| Я + М2(Н + /sin со/) + М3(Н + 21sin со/) |
|
|
Мх+М2 |
+ М3 |
Запишем теорему о движении центра масс механической системы в проекции на ось у:
Откуда |
|
|
N = (Ml+M2 |
+ M3)g - /со2(Л/2 + 2 М3) sin со/. |
|
Наименьшим давление будет при sin со/ =1, т.е. |
||
|
Nmin = (Л/, +М2 + M3)g-l®\M2 +2М3). |
|
Электромотор будет подпрыгивать при Nmin <0: |
||
|
(Л/, +М2 + M3)g-la?(M2 +2М3 ) <0, |
|
т.е. когда |
|
!(М) + M2 + M3)g |
|
со> |
|
|
|
(М2+2М3)1 |
О т в е т : со >I |
\МХ +М2 + |
/Щ |
См2 +2 М3)1 |
||
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
77 |
Задача 35.12
При сборке электромотора его ротор В был эксцентрично насажен на ось вращения С, на расстоянии CtC2 - а, где С| — центр масс статора А, а С2 — центр масс ротора В. Ротор равномерно вращается с угловой скоростью со. Электромотор установлен посередине упругой балки, статический прогиб которой равен Д; М} — масса статора, М2 — масса ротора.
Найти уравнение движения точки Q по вертикали, если в начальный момент она находилась в покое в положении статического равновесия.
Силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси х взять в положении статического равновесия точки Ct.
Р е ш е н и е Запишем теорему о движении цен-
тра масс механической системы: |
|
|
||
mc^(Ml |
+ M2)g-Fynp, |
|
(1) |
|
где Ру,,р = - с ( х + / с т ) = - с(х + А), по усло- |
||||
вию задачи f „ |
= Д. В проекции на ось х |
|||
(см. рисунок) |
|
|
|
|
Мхс = М\ X] + М2х2. |
|
|
||
ПОСКОЛЬКУ Х\ = х; х2 - x + asincor, то |
||||
Х| = х, х2 = |
х-дсо2sincor. |
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
_ А |
_(Ml+M2)g |
|
|
|
Уст — Л — |
|
> |
выражение (1) примет вид |
|
|
||
Л/]Х + М2(х |
- асо2 sin со?) = (Л/, |
+M2)g-c х + (My +M2)g |
||
|
|
|
|
8 |
78 |
|
X. Динамика материальной системы |
|||
или |
|
|
|
|
|
(Л/| + М2)х - |
|
Л/2асо2 sin со/ = |
-сх, |
|
|
с |
х |
М2ааг . |
, |
(2) |
|
А/, + М2 |
= — - |
sin со/. |
|||
|
М] + Л/2 |
|
|
|
|
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
к2 = -Mj +М2 |
|
|
|
||
h |
|
М2а<й2 |
|
|
|
|
Мх +М2 |
|
|
|
|
Подставим их в уравнение (2) и получим |
|
|
|
||
x + k2x = hsir\at. |
|
|
(3) |
||
Рассмотрим два случая. |
|
|
|
|
|
1) Когда к* со, где к = |
|
|
|
|
|
Так как уравнение (3) — неоднородное дифференциальное урав-
нение, то его решение будем искать в виде |
|
|
|
X = Х + X*, |
|
|
|
где х=С, coskt+C2 sin kt; x* = A sin со/. |
|
|
|
Для нахождения постоянных интегрирования определим |
|
||
х* = -Лео2 sin со/. |
|
|
|
Подставим Jc* в уравнение (3): |
|
|
|
-Лео2 sin со/ + к2A sin со/ = h sin со/ |
|
||
и найдем А: |
|
|
|
Л- к2- и |
со2- |
|
|
Тогда |
|
|
|
х = х+х* = С, coskt + С2 sin kt + -J^-—T sin со/, |
(4) |
||
|
к - |
or |
|
х = -С, к coskt + С2к sin kt + J10* |
sin со/. |
(5) |
|
|
fc -CO |
|
|
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
79 |
С учетом начальных условий: t = 0, х0 = 0, х0 = 0, найдем постоянные интегрирования:
из формулы (4)
х0 =0 = С\~,
из формулы (5) |
|
|
|
xq = 0 = С2к + |
Аю |
„ |
Асо |
A:2 -to2 |
|
к(к2-а>2) |
Подставим значения С) и С2 в формулу (4) и получим
х = |
со |
А |
. ,. |
А |
sin cor. |
к |
к2-а2 |
-sulfa+—= |
т |
||
|
|
к2со'--2 |
|
2) Когда к = со. Решение однородного уравнения ищем в виде
х - (At + В) coskt+(СУ + D) sin kt. |
(в) |
Найдем производные х и х:
х= |
Acoskt-k(At+B)sinkt+Cs\nkt+(Ct |
+ D)kcoskt, |
(7) |
||
|
х = -Ак |
sin kt - k2(At+В) |
coskt |
- |
|
- |
кА smkt+Ck |
coskt - k2(Ct + |
D)sinkt+Ckcoskt. |
|
|
Подставим эти выражения в уравнение (3) и после преобразований получим
-2Aksinkt+2Ckcoskt |
= Asinco/. |
Поскольку коэффициенты при sin kt и coskt должны быть одинаковыми, то
-2Ak = |
h=*A=-—, |
|
2к |
2Ск = 0 => С = 0.
Постоянные интегрирования В и D найдем с учетом начальных условий: t = 0, *о =0, х0 =0, из формул (6) и (7) соответственно:
х0=0 = В=>В = 0,
х0 |
= 0 = А + Dk => D = - — = |
2к2 |
0 |
к |