doc2

При плоскопараллельном движении твердого тела его кинетическую энергию можно определять так же, как при вращательном вокруг мгновенной оси вращения:

где 1р — момент инерции тела относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей.

При сферическом движении тела

где 1а — момент инерции относительно мгновенной оси вращения; ю — абсолютная угловая скорость тела.

Кинетическая энергия тела может быть вычислена также по формуле

где 1Х, 1У, lz — осевые моменты инерции; Ixy, Iyv 1 и — центробежные моменты инерции; сот, озу, о\ — проекции вектора абсолютной угловой скорости на оси координат Ох, Оу и Oz, связанные с движущимся телом.

Если за координатные оси Ох, Оу, Oz принять главные оси инерции (частный случай), то lxy = Iyz = 17Х =• 0. Тогда

Формула (38.9) применима для вычисления кинетической энергии тела, участвующего во вращательных движениях вокруг не более трех пересекающихся осей, если они являются главными осями инерции или параллельны им.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы может быть записана в дифференциальной и интегральной формах.

дифференциал от кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ внешних Fk и внутренних Fk сил.

в нулевое положение, в котором потенциальная энергия точек системы равна нулю (так называемый нулевой уровень).

Последовательность решения задач этого параграфа:

1.Изобразить механическую систему в конечном, а иногда и в начальном положении.

2.В случае неизменяемой механической системы показать на рисунке все внешние силы, действующие на систему.

3.Записать в общем виде теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной [формула (38.10)] или интегральной [формула (38.11)] форме.

4.Если механическая система неизменяемая и начинает движение из состояния покоя, приравнять кинетическую энергию в начальном положении и сумму работ внутренних сил нулю. Если система начинает движение с некоторой скоростью и движется до остановки, приравнять нулю кинетическую энергию в конечном положении.

5.Определить кинетическую энергию системы в конечном или начальном положениях как сумму кинетических энергий тел, входящих в данную систему, выразив ее через искомую угловую или линейную скорость указанного в условии задачи тела. Для этого следует показать на схеме направление угловых скоростей тел и линейных скоростей характерных точек тел, установив кинематические связи между этими скоростями.

6.Определить сумму либо элементарных работ всех приложенных к системе внешних сил, либо работу этих сил на конечном перемещении системы, выразив ее на конечном перемещении системы через перемещение (угловое или линейное) того тела, скорость которого по условию задачи следует найти.

7.Подставить выражения кинетической энергии и работы внешних сил в формулу теоремы об изменении кинетической энергии системы, записанную в соответствии с пп. 2 и 3.

8.Выразить из полученного уравнения искомую величину в общем виде, затем подставить числовые данные и выполнить вычисления.

9.При использовании теоремы в дифференциальной форме необходимо выполнить пп. 1—5, составить дифференциальное уравнение движения тела и проинтегрировать полученное уравнение с учетом начальных условий движения.

О т в е т : Г = 2А/, +ЗМ2 [2(йг

Задача 38.2

Однородный тонкий стержень АВ массы U опирается на угол D и концом А скользит по горизонтальной направляющей. Упор Е перемещается вправо с постоянной скоростью v. Определить кинетическую энергию стержня

в зависимости от угла <р, если длина стержня равна 21, а превышение угла D над горизонтальной направляющей равно Н.

Р е ш е н и е

Рассмотрим плоскопараллельное движение стержня АВ. Найдем мгновенный центр скоростей для стержня АВ как точку пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек А и D к векторам скоростей vA\\vD (см. рисунок). Рассмотрим полученные треугольники ADK и APD.

Из Д ADK

246 X. Динамика материальной системы

с угловой скоростью оз. При каких положениях кинетическая энергия достигает наибольшего и наименьшего значений?

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение кулисного механизма, состоящего из кривошипа OA, камня А и кулисы А К. Покажем на рисунке заданные силы. Выразим скорости всех частей механизма через заданную угловую скорость кривошипа OA.

Камень А совершает сложное движение, состоящее из переносного v^

вместе с кулисой и относительного vA вдоль паза кулисы. Абсолютным для камня А является его движение по окружности радиусом а вместе с кривошипом OA:

^абс =

Переносную скорость камня А найдем из плана скоростей

Ч,ер = улабс sin<p = (oasin(p.

Определяем кинетическую энергию кривошипа OA, совершающего вращательное движение:

Гол=А/оа>2.

Поскольку массой камня А пренебрегаем, то его кинетическая энергия равна нулю.

Определим кинетическую энергию кулисы, совершающей поступательное движение:

Гк = imvl = A-m((oasin(p)2.

Тогда кинетическая энергия кулисного механизма

Максимального значения кинетическая энергия кулисного механизма достигнет при sincp = ±1, т.е.

Ф = | + Аяс(Л = 0,1,2, ... ) .

Минимальным значение кинетической энергии кулисного механизма будет при sin9 = 0, т.е.

Ф= Атс (Л: = 0,1, 2, ...).

От в е т : Т = ~(IQ +ma2 sin2 ф)со2. Наименьшая кинетическая энергия —

при крайних положениях кулисы, наибольшая — при прохождении кулисой среднего положения.

Задача 38.4

Вычислить кинетическую энергию гусеницы трактора, движущегося со скоростью v0. Расстояние между осями колес равно /, радиусы колес равны г, масса одного погонного метра гусеничной цепи равна у.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение гусеницы трактора. Отдельные части гусеницы совершают разные движения (см. рисунок).

Часть гусеницы АВ длиной / и массой у/ совершает поступательное движение, скорость которого 2v0, и ее кинетическая энергия

7^=^ S(2V 0 ) 2 =2Y/V 0 2 .

Часть гусеницы ВС длиной кг и массой уп г совершает плоскопараллельное движение. Ее кинетическая энергия

СОЭф

= иг sin ф+- Бт2ф

2/ ^/l — (г//)2 sin2 ф

Кривошип Ш совершает вращательное движение и его кинетическая энергия

со2.

2 2 3

Кинетическая энергия ползуна 5, совершающего поступательное движение: