doc2
.pdf330 |
|
|
|
X. Динамика материальной системы |
||
Тогда согласно формуле (5) |
|
|
|
|||
|
|
|
s |
1 |
|
(6) |
= А/, gs sin a - M3g - |
sinfi = -(2Af| sina-M3sinP),g5. |
|||||
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение (2): |
|
|||||
|
|
|
v2 |
1 |
sinp)gs |
|
(8Л/, +4М2 + ЪМъУ— = - ( 2 Мх sin а-Мъ |
|
|||||
|
|
|
16 |
2 |
|
|
и найдем скорость груза А: |
|
|
|
|
||
|
|
v _ 2 12 |
2М, sina-M3sinj5 |
|
|
|
|
|
V |
8Л/,+4М2+ЗЛ/3 ' |
|
|
|
„ |
С |
2Л/> sin а-АЛ, sin В |
|
|
||
О т в е т : v = 2 |
2gs |
! |
|
2—£-. |
|
|
|
"V |
8М,+4М2+ЗМ3 |
|
|
||
Задача 38.45
Решить предыдущую задачу в предположении, что коэффициенты трения скольжения и качения соответственно равны / и /к . Радиус катка В равен г.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. На рисунке покажем конечное положение системы, отметив начальное.
Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
Т - Г о = £ 4 ? + 1 4 - |
(1) |
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
331 |
Так как система неизменяема, то 2 4 = О- |
|
Вначальном положении система находилась в покое, т.е. Т0 = 0.
Сучетом этого выражение (1) примет вид
|
|
т = 24- |
|
(2) |
|
Кинетическая энергия системы в конечном положении (см. ре- |
|||||
шение задачи 38.44) |
|
|
|
|
|
МУ |
М^ |
ЗМз^ = т + |
Ш 2 + |
(3) |
|
4 |
4 |
|
16 |
' |
16 |
Найдем работу внешних сил с учетом сил трения: |
|
||||
= |
AA + |
AD+AB |
+ AN+ATPA+ATPB. |
( 4 ) |
|
Работа силы тяжести груза А |
|
|
|||
|
|
АА = Л/] g5 sin а. |
|
||
Работа Ad силы тяжести блока D равна нулю. |
|
||||
Работа силы тяжести катка В |
|
|
|||
Ав |
= -M3gsB |
sin|3 = -Л/зЯ-sinp. |
|
||
Работа сил AN реакций связей NA, NB, Х0 и Y0 равна нулю. Работа сил трения скольжения груза А о плоскость
ЛтрА = ~Fws = ~na/s = -M\g/scosa.
Работа сил трения качения катка В
|
S в |
S |
|
|
ЛтрВ = -ГПтрУв = -Нв/к у |
= - M i g f K — cos p. |
|
Тогда согласно формуле5 (4) |
f |
J cos p = |
|
24 |
= M,gssina-M3g-sin[i-М, |
gfs cos a - M3g ^ |
|
|
& |
|
(5) |
|
2 2A/|(sina-/cosa)-A/3 j sinP + — cosP |
||
Подставим выражения (3) и (5) в уравнение (2): |
|
||
(8 Л / , |
,2 |
|
Л , |
+ 4 Л / 2 + З М 3 ) ^ = ^ 2 М] (sin a—/cosa)—Л/3| sinp + — cosp |
|||
332 |
X. Динамика материальной системы |
и найдем скорость груза А с учетом сил трения:
2 Мх (sin а - / cosa) - М3 |
sinji +—cos р |
|
v = 2il2gy |
^ |
^ |
8М,+4Л/2 + ЗА/3 |
|
|
2A/j(sina - /cosa) - Mjj sin(3 + —cos|3
О т в е т : v = 2i2gs
8Л/[ +4M2 +ЗЛ/3
Задача 38.46
Груз массы M подвешен на нерастяжимом однородном тросе длины /, навитом на цилиндрический барабан с горизонтальной осью вращения. Момент инерции барабана относительно оси вращения /, радиус барабана R, масса единицы длины каната т . Определить скорость груза в момент, когда длина свисающей части каната равна х, если в начальный момент скорость груза v0 = О, а длина свисающей части каната была равна х0; трением на оси барабана, толщиной троса и изменением потенциальной энергии троса, навитого на барабан, пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. На рисунке покажем конечное положение системы, отметив начальное.
Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
г-т,9 = 14+14- |
(О |
Так как система неизменяема, то £ Ак = 0. В начальном положении система находи-
лась в покое, т.е. Т0 = 0.
С учетом этого выражение (1) примет вид
г = £ 4 - |
(2) |
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
333 |
Найдем кинетическую энергию системы в конечном положении:
Т -Тгр+Тт +Гб. |
(3) |
Кинетическая энергия груза А, совершающего поступательное движение,
т-Му2
Кинетическая энергия троса, каждая точка которого совершает поступательное движение,
_m/v2
2 '
Кинетическая энергия барабана, совершающего вращательное движение,
|
|
, |
, |
х |
-2 |
|
|
7б |
Ь , , . |
1 г |
V |
|
|
|
= - / ш 2 |
= - / - , . |
|
|||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|
||
г Ж |
+ ^ |
+ 4 |
= |
Г(М + |
+ / ] |
(4) |
2 |
2 |
2Л2 |
L |
|
J 2Л2 |
|
Определим работу внешних сил: |
|
|
||||
|
|
= |
+ |
|
|
(5) |
Работа силы тяжести груза
/1гр = Mgh = Mg(x - х()).
Работа силы тяжести троса
Ат = | mgxdx = — (х2 - Ло).
Работа силы тяжести барабана и работа Ду сил реакций связей равны нулю.
Тогда согласно формуле (5) |
|
I А£ = Mg(x - х0) + ^ ( х 2 - х02) = [2 М +Мх + х0)] |
(6) |
336 |
|
|
X. Динамика материальной системы |
|
Тогда согласно |
формуле (3) |
|
|
|
т МУ |
Мту1 |
ЗЛ/jV2 M2v2 |
.. |
|
Определим работу внешних сил: |
|
|
||
Х ^ Л л |
+ Лд + Лс + А + ^ у + Л р с - |
(5) |
||
Работа силы тяжести груза А
Ал = M)gh.
Работа Ав силы тяжести блока В и работа Ас силы тяжести катка С равны нулю.
Работа силы тяжести каната
/о L l L
= -^(2/0 |
+ h)h = |
|
^-(2l+2r+h)h. |
|
|
|
|||
2 L |
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
Работа AN сил реакций связей NC |
и NB равна нулю. |
|
|||||||
Работа силы трения качения катка С |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
5 |
|
f |
|
|
|
Ajpc = - " V P = - At /к - |
= - A t — h. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
Найдем значение реакции NC катка: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
, , |
, , , |
I 1 |
/ |
h пг |
, |
з Г Г - ' - Г Т | = * |
Мз+М2\ |
|
|
|
|||||
|
|
2 21 41 4 1 1 |
|||||||
Следовательно, |
М3 + М2(--~- |
2L |
— |
-—1 |
к |
|
|
||
|
|
Л2 |
|
4L |
4L)\ г |
|
|
||
£ 4? = Migh + |
2Х |
^(2/+2r+h)h |
|
|
|
||||
Тогда согласно формуле (5) |
|
|
|
|
|
|
|
||
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
|
|
337 |
||||||||
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение (2): |
|
|
|
|
|||||||
|
(М1+М2+2М3)- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
М2 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gh^M]+j+(2l+2r+h)- |
Л2 |
2L |
2L |
4LJ. |
г\ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
и найдем скорость груза А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2gh{Mx +MlQi+2r |
+ |
h)-^ |
Afi + M, |
1-J--EL-А |
4L. |
|
|||||
v = |
2 L |
|
г |
|
|
.2 |
2L |
2 L |
|
||
|
Л/, + |
M2+2M3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2gh\Mx+^-(2l |
+ |
2r+h)~ Л |
M3 +M2 |
f\_ |
/ |
nr_ _h_ |
|
|||
О т в е т : |
a |
2L |
2L |
4L |
|||||||
v=- |
|
Mi |
+Mi+2M-, |
|
|
|
|
I |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Задача 38.48 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Механизм эллипсографа, расположен- |
|
|
|
|
|
|
|||||
ный в горизонтальной плоскости, приво- |
|
|
|
|
|
|
|||||
дится в движение посредством постоянно- |
|
|
|
|
|
|
|||||
го вращающего момента т0, приложенно- |
|
|
|
|
|
|
|||||
го к кривошипу ОС. В начальный момент |
|
|
|
|
|
|
|||||
при ф = 0 механизм находился в покое. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти угловую скорость кривошипа ОС |
|
|
|
|
|
|
|||||
в момент, когда он сделал четверть оборо- |
|
|
|
|
|
|
|||||
та. Дано: М — масса стержня АВ; тА=тв=т |
— массы ползунов А и В\ |
||||||||||
ОС = АС =ВС = 1; массой кривошипа ОС и силами |
сопротивления |
||||||||||
пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. На рисунке покажем конечное положение системы, когда кривошип ОС повернется на угол ф = j ,
отметив начальное положение механизма.
Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
(5)
338 |
X. Динамика материальной системы |
Так как система неизменяема, то 1 4 = 0 .
В начальный момент механизм находился в покое, т.е. Г0 =0.
С учетом этого выражение (1) примет вид
Т = £ 4 - |
(2) |
Механизм расположен в горизонтальной плоскости, поэтому силы тяжести отдельных его частей работы не совершают. Работу совершает только вращающий момент т 0 , т.е.
2 4 =Ато |
= |
(3) |
Найдем кинетическую энергию системы в конечном положении:
Т = ТАВ + ТА + ТВ. |
(4) |
Кинетическая энергия стержня АВ, совершающего мгновенное вращательное движение со скоростью ыАВ = со относительно мгновенного центра скоростей в точке А:
Tab = \Ia<*2ab = \[1 с + М(АС)2] со^ =
= _1 |
М(АБ)2 |
M(AQ2 со' |
2М12а>г |
|
+ |
|
|
~ 2 |
12 |
|
|
Кинетическая энергия ползуна А равна нулю, так как в точке А находится мгновенный центр скоростей звена АВ.
Кинетическая энергия ползуна В, совершающего поступательное движение,
|
2 |
= |
|
2 |
|
= 2 m / V . |
||
Тогда согласно формуле (4) |
|
|
|
|
|
|
||
„ |
2MIW |
. |
; 2 |
|
2 |
= |
2/2со2 |
, . |
Т = |
|
+2mrar |
|
|
(М + 3ш). |
|||