doc2
.pdf210 |
X. Динамика материальной системы |
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение механической системы, состоящей из махового колеса А и гири В. Покажем на рисунке внешние силы, которые действуют на систему: сила тяжести махового колеса Mg, сила тяжести гири Mxg или M2g, реакции Y0 и Х0 опоры махового колеса, момент силы трения тс в опоре О.
Применим теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы:
at |
Mzm |
(1) |
|
|
Найдем момент внешних сил системы относительно оси z, когда подвешена гиря Мх:
ZMz(Ff) = MlgR-mc.
Момент количеств движения системы
1**14+1;.
Определим момент количества движения барабана А
14 = ко
и момент количества движения гири В
L?=mi(MlvB) = MlR2(o.
Тогда
^ = ( / + М,Д2)(а
Подставим найденные значения в уравнение (1) и получим
(I + MXR2)— = MxgR~mc. |
(2) |
dt |
|
Разделим переменные и проинтегрируем уравнение (2):
(/ + Мх Л2)/ da = (Л/, gR - mc)J dt,
(/ + MxR2)a = (<MxgR-mc)t+Cx. |
(3) |
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
211 |
Постоянную интегрирования С, найдем из начальных условий: ©о = О при / = О, тогда С, = 0.
С учетом значения Сх уравнение (3) примет вид |
|
(I + MxR2)m = (MlgR-mc)t, |
|
dm |
|
где со - — . |
|
dt |
|
Тогда |
|
(/ + M{R2)~dt = (M[gR-mc)t. |
(4) |
Разделим переменные и проинтегрируем уравнение (4): |
|
(/ + MxR2)]dv? = (M,g/?-mc)\tdt,
оо
Найдем угол поворота колеса за время Тх:
JMxgR-mc)T2
2 (I + MtR2)
Заменим гирю массой М\ на гирю массой М2. Рассмотрим движение этой системы. Рассуждая аналогично, получим
ZMz(Fke) = M2gR-mc,
Ll^(I + M1R1)(0.
Тогда
(I+M2R2)^ dt = M2gR-mc.
Проинтегрируем это выражение дважды и найдем угол поворота
колеса за время Т2: |
|
|
(I + M2R2)(a = |
(M2gR-mc)t, |
|
(I + M2R2)<p = |
^ R - |
^ T 2 ; |
(M2gR-mc)T22 |
(6) |
|
2 (I + M2R2) |
' |
|
212 X. Динамика материальной системы
Так как гиря В оба раза проходит один и тот же путь, то, вычитая из уравнения (5) уравнение (6), получим
2(7 + Л/|/г2)ф |
2(I + M2R2)<? |
- |
M\gR-mc -M2gR+mc |
Т\ |
т? |
|
|
или |
|
|
|
2 / ф | Д г - Д н + |
|
TiJ |
|
J? |
Т22)'"^{Тх2 |
|
|
Тогда момент инерции махового колеса
5
J1_
Т2 Г22
или с учетом того, что ф = —,
R
I = R |
j |
i_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
т2 |
т22 |
|
|
|
|
|
Ответ: 1 = R2 |
1_ |
|
|
|
|
|
|
_1 |
|
|
|
|
|
|
|
т 2 |
г22 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 37.45 |
|
|
|
|
|
|
К валу I присоединен |
электрический |
. |
|
ш y Z |
Ч ш . |
||
|
|
|
|
||||
мотор, вращающий момент которого рапн |
т |
W |
UI |
||||
вен гп\. Посредством редуктора скоростей, |
|
|
|
х |
|
||
|
|
|
Ш |
|
Г\ |
4^ |
1 |
2, J и 4, этот вращающий момент переда- |
|
СЛт |
|||||
т |
|
т1 >7 |
\}т |
1 |
|||
|
|
т2 |
|
||||
ется на шпиндель III токарного станка, к |
|
|
|
|
|
||
которому приложен моменты сопротивления т 2 |
(этот момент воз- |
||||||
никает при снятии резцом стружки с обтачиваемого изделия). Опреде-
214 |
X. Динамика материальной системы |
|
так как S = 5", то, сложив эти уравнения, получим |
|
|
Еш| h — |
Ъ + 1\\-г\ \ = ЩЪ-3\Щ. |
( 5 ) |
т |
гъ |
|
Умножим уравнение (3) на г3ги а уравнение (5) на г4 и сложим уравнения (3) и (5), учитывая, что 5, = S{.
Тогда |
|
|
|
|
£ш |
ГА |
ггГ2 ^ |
= w,r2r4 |
-т2щ. |
I\\№ + I\\—t\+h |
2 4 |
|||
|
Ъ |
т у |
|
|
Откуда угловое ускорение вала III:
Г2Гл е ш ПЪ
|
|
II R J + YIII |
|
|
или |
|
|
|
|
|
Ш |
(Л*1*2+ /н)*3,4 +1Ш |
|
|
где fcu = —; къл |
= |
|
|
|
О т в е т : е,„ = |
1 |
1 , где ки2 = -1; кЗА |
= -±. |
|
|
(Iikf<2 + Iu)kfA+Im |
/I |
IJ |
|
|
|
Задача 37.46 |
|
|
Барабан А массы Л/, и радиуса г приво- |
|
|
||
дится во вращение посредством груза С мас- |
|
|
||
сы М2, привязанного к концу нерастяжи- |
|
|
||
мого троса. Трос переброшен через блок В |
_ |
|
||
и намотан на барабан А. К барабану А при- |
I Iс |
|
||
ложен момент сопротивления тс, пропорциональный угловой скорости барабана; коэффициент пропорциональ-
ности равен а. Определить угловую скорость барабана, если в начальный момент система находилась в покое. Массами каната и блока В пренебречь. Барабан считать сплошным однородным цилиндром.
216 |
X. Динамика материальной системы |
Разделим переменные и проинтегрируем полученное выражение (4):
ю |
da |
|
2а |
' |
|
J |
|
|
|
[dt, |
|
от-МЖ. |
|
г1(М]+2М2)0 |
|
||
|
а |
|
|
|
|
|
M2gr\ |
2at |
|
|
|
IN |
0 3 - |
ot J |
r (M\ +2M2) |
|
|
или |
|
|
|
|
|
co- M2gr |
2 at |
|
|
||
In |
a |
|
|
|
|
r\M\ +2 M2) |
|
|
|||
|
M2gr |
|
|
||
2a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где p = r\M{+2M2) |
|
|
|
|
|
После преобразований найдем угловую скорость барабана |
|||||
|
|
а |
|
|
|
О т в е т: со = ^ ( 1 |
- е~*), |
где р = |
|
; lim со = ^ |
= const. |
а |
|
|
г\Мх +2 М2) /-*» |
ос |
|
Задача 37.47
Определить угловое ускорение ведущего колеса автомашины массы М и радиуса г, если к колесу приложен вращающий момент /ивр. Момент инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости материальной симметрии, равен / с ;/ к — коэффициент трения качения, FTp — сила трения. Найти также значение вращающего момента, при котором колесо катится с постоянной угловой скоростью.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение колеса под действием внешних сил: силы тяжести колеса Mg, силы трения FTp, вращающего момента твр, момента Мтр сопротивления качению, нормальной реакции N опорной поверхности.
218 |
X. Динамика материальной системы |
Задача 37.48
Определить угловую скорость ведомого автомобильного колеса массы М и радиуса г. Колесо, катящееся со скольжением по горизонтальному шоссе, приводится в движение посредством горизонтально направленной силы, приложенной в его центре масс С. Момент инерции колеса относительно оси С, перпендикулярной плоскости материальной симметрии, равен / с ;/ к — коэффициент трения качения,/— коэффициент трения при качении со скольжением. В начальный момент колесо находилось в покое.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение ведомого колеса под действием внешних сил, приложенных к нему: силы тяжести колеса Mg, силы трения FJp скольжения, движущей силы G, момента Mjp сопротивления качению, реакции NA связи.
Применим теорему об изменении главного момента количеств движения системы:
^at = |
(1) |
Найдем момент количеств движения колеса
4= /с со
имомент внешних сил относительно оси Z'-
= V-^тр |
= Nfr-NfK |
= Mgifr - /к). |
Подставим эти значения в уравнение (1): |
|
|
Ic~at |
= Mg(fr-/K). |
(2) |
Разделим переменные и проинтегрируем уравнение (2):
(0 |
г |
/ с J Л0= Mg(fr-fK) |
jdt. |
оо
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
219 |
Определим угловую скорость ведомого колеса
со = ¥ l ( f r - f j t .
lc
О т в е т : со = М ( / г - / к ) г .
'с
Задача 37.49
Изменится ли угловая скорость колеса, рассмотренного в предыдущей задаче, если модуль силы, приложенной в его центр масс С, увеличиться в два раза?
Р е ш е н и е
Смотрим решение задачи 37.48. Сила приложена к центру масс колеса С и не создает момента относительно оси, поэтому изменение модуля силы не влияет на угловую скорость колеса.
О т в е т : не изменится.
Задача 37.50
Через блок, массой которого пренебрегаем, перекинут канат; за точку А каната ухватился человек, к точке В подвязан груз одинаковой массы с человеком. Что произойдет с грузом, если человек станет подниматься по канату со скоростью v относительно каната?
Р е ш е н и е
На механическую систему, состоящую из человека, груза и невесомых блока и каната, действуют внешние силы: сила тяжести человека mg, сила тяжести груза mg, реакция RQ опоры блока.
Применим теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы: