doc2
.pdf200 |
X. Динамика материальной системы |
Уравнение (4) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний.
Общее решение дифференциального уравнения (4) ищем в виде суммы общего решения ф однородного дифференциального уравнения ф+Л2ф = 0 и частного решения ф*:
Ф = ф+ф*.
Общее решение однородного дифференциального уравнения:
ф = A coskt+Bsin kt.
Частное решение в случае, когда pit к, имеет вид
Ф*= Dsinpt.
Продифференцируем дважды это уравнение:
ф* = Dp cos pt,
§*=-Dp2 sinpt.
Найдем значение постоянной интегрирования D. Подставим значения ф и ф в дифференциальное уравнение (4):
- Dp2 sinpt + Dk2 sin pt - h sin pt,
откуда получим
Тогда общее решение уравнения (4) примет вид:
Ф = A coskt +Bsinkt + Dsinpt.
Продифферинцируем это выражение по времени:
ф =—Ак sin kt+Вк coskt + Dp cos pt.
Постоянные интегрирования А и В найдем из начальных условий: t = 0, фо =0, фо = coq. Получим
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
201 |
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
<р = -If |
С О о - |
к |
,- |
,, sin^ |
+ —^ ^ sinpt. |
|
н |
|
-р |
) |
к2-р2 |
|
|
Найдем частное решение в случае резонанса, т.е. когда р = к:
ф* = Et cospt,
ф* = Е cos pt - Ept cos pt,
ф* = -Ep sinpt - Ep sinpt-Ep2t cos pt.
Определим постоянную интегрирования Е. Подставим значения Ф* и ф* в дифференциальное уравнение (4):
- 2 Ер sin pt - Ep2t cospt + к2Et cospt — h sin pt
и получим
я - A . 2p
Тогда общее уравнение вынужденных колебаний примет вид
ф= A coskt + 5sin kt + Et cos pt,
ф= -Ak sin kt+В к coskt + E cospt - Ept sin pt.
Постоянные интегрирования найдем из начальных условий: t = О, ФО =0, ф0 = COQ. Получим
А = ф0 = 0,
Запишем уравнение малых колебаний с учетом полученных значений в случае резонанса:
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
203 |
Главный момент внешних сил, приложенных к маятнику, отно-
сительно оси х: |
|
Y,Mx(Fk) = -Mga sinasincp = -Afgmpsina, |
(2) |
так как sin ф = ф.
Главный момент количеств движения относительно оси х найдем, определив момент инерции маятника относительно оси подвеса по
теореме Гюйгенса — Штейнера: |
|
|
|
|
4 = /xO) = ( / c + MJ2)ox |
(3) |
|||
Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1): |
|
|||
(7С + Ma2)— |
= -Mag (psin а |
|
||
dt |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
(1С + Ma2) ф = -Mag фБШ a. |
|
|||
После преобразований получим |
|
|
|
|
„ Mag sinа |
Л |
|
||
ф + — |
|
5-ф = 0 |
|
|
1С + Ма |
|
|
|
|
или
ф+к2(р = 0,
т е к2 = M a g s k i a
1С + Ма2'
Это уравнение является дифференциальным уравнением колебаний маятника с круговой частотой
[Mag sin ос
""1С + Ма2'
Определим период колебаний
|
к |
IMag sin a |
\ Mag sin a |
|
|
Ic + Ma2 |
|
„ |
. \IC + Ma |
|
|
Ответ: |
T = 2k V Mag sin a. |
|
|
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
205 |
Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1):
I z ~ = ~{Mgh + c)4>
z
или
ф+к22<р = 0,
Это уравнение является дифференциальным уравнением свободных колебаний, к — круговая частота колебаний маятника.
Найдем период колебаний маятника:
Задача 37.42
Виброграф (см. предыдущую задачу) закреплен на фундаменте, совершающем горизонтальные гармонические колебания по закону х = a sin со/. Определить амплитуду а колебаний фундамента, если амплитуда вынужденных колебаний маятника вибрографа оказалась равной ср0.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной механической системы. На систему действуют силы: сила тяжести маятника Mg, момент сил упругости спиральной пружины/Иупр =— сц>, реакция N фундамента. Покажем
206 |
X. Динамика материальной системы |
на рисунке положение вибрографа, когда угол отклонения стержня OA равен ф и направлен против часовой стрелки, а фундамент движется вправо со скоростью vnep.
Применим теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы относительно оси Zi •'
%at = |
(1) |
Найдем сумму моментов внешних сил, приложенных к вибрографу, относительно оси Z\.
ZMZl(Fke) = -Mghsmq>-cy = -(Mgh + c)<p, |
(2) |
где sin ф = ф, и кинетический момент вибрографа относительно этой оси:
Виброграф совершает сложное движение: относительное — вращение вокруг оси Z\, переносное — поступательное вместе с фундаментом со скоростью vnep = х = acocosco/.
Кинетический момент в переносном движении:
L™? = MZj (Mvnep) = Macocosco/ • h • соэф = Maa>h costot,
так как соэф = 1.
Кинетический момент в относительном движении
/ отн |
|
Тогда |
|
LZ[ = 11{ ф+ Л/дсой cosсо/. |
(3) |
Значения (2) и (3) подставим в уравнение (1):
d(IZ{ ф + Ma(dh cos со/)= -(Mgh + c) ф dt
и получим
Iz, ф - MaaTh sin со/ = -{Mgh + с) ф.
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
207 |
После преобразований запишем |
|
|
||
_ |
Mgh л-с |
|
Ma(x)2h . |
|
ЙН |
2I |
ф = |
I |
Sin©/ |
или |
|
|
|
|
|
ф+/:2 ф= Я sin cor, |
(4) |
||
где к - / ^ + С — круговая частота собственных колебаний системы;
vк, JJ _ Maa?h
ТГ'
Уравнение (4) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний. Общее решение ф этого уравнения ищем в виде суммы общего решения ф однородного дифференциального уравнения ф+Л2ф = 0 и частного решения ф*, т.е.
ф = ф + ф * ,
где ф = Acoskt+Bsinkt, ф* = Z)sinco/.
Тогда уравнение движения примет вид
ф= Acoskt + Bsmkt + Dsina>t.
Продифференцируем выражение ф* дважды и подставим ф* и ф* в уравнение (4), откуда найдем
D = -к 2Я- со2"
Вынужденные колебания описываются частным решением:
Л П • - |
И |
т Sin СО/ = |
Ma<s?h |
|
т sin со/, |
ф* = Dsinco? = -г; |
7 |
2 |
|||
|
к2~(02 |
|
f Mgh + с |
|
|
М / — f f l
значит, амплитуда вынужденных колебаний
Mau>2h
Фо = Mgh, , + с— с2ог/
208 |
X. Динамика материальной системы |
Тогда амплитуда колебаний фундамента
|
а = -<Po(Mgh + c-(i>2Iz') |
|
Mhar |
О т в е т : а = |
(pQ(Mgh + c-a>2IZi) |
|
Mha2 |
Задача 37.43
При пуске в ход электрической лебедки к барабану Л приложен вращающий момент твр, пропорциональный времени, причем те^ = at, где а — постоянная. Груз В массы Af, поднимается посредством каната, навитого на барабан А радиуса г и массы М2. Определить угловую скорость барабана, считая его сплошным цилиндром. В начальный момент лебедка находилась в покое.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной механической системы. К системе приложены внешние силы: сила т>р. тяжести M\g груза В, сила тяжести M2g барабана А, вращающий момент тър, реакции Х0 и Y0 опоры О.
Применим теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы:
at |
(1) |
|
Найдем момент внешних сил относительно оси z-
lMz(Fke) = тър - Mxgr = а/ - Mxgr. |
(2) |
Момент количеств движения системы
LZ=L* + LBZ.
Определим момент количеств движения барабана А
а
со
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
209 |
||
и момент количества движения груза В |
|
||
|
Lf =mz(M]VB) = Mxr2ox |
|
|
Тогда |
|
г2 |
|
|
|
(3) |
|
|
4=(2Л/, + Л/2 )у(й |
||
Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1) и получим |
|
||
|
QMx+M2)~~2 |
at = at-Mxgr. |
(4) |
В уравнении (4) разделим переменные и проинтегрируем его: |
|||
|
„2(0 |
/ |
|
|
(2 Л/, +Мг)—\с1(л = \{at-M{gr)dt, |
|
|
|
2 0 |
о |
|
|
2 |
2 |
|
Откуда угловая скорость барабана Л |
|
||
|
at2 |
_(at_2Mlgr)t |
|
|
~-Mxgrt |
|
|
|
(0 = |
|
|
О т в е т : со = -Ц |
i^--. |
|
|
г (2Mi + M2) |
|
|
|
Задача 37.44
Для определения момента инерции / махового колеса Л радиуса Л относительно оси, проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой проволокой, к которой привязали гирю В массы и наблюдали продолжительность Tj опускания гири с высоты h. Для исключения трения в подшипниках проделали второй опыт с гирей массы М2, причем продолжительность опускания оказалась равной Т2 при прежней высоте. Считая момент силы трения постоянным и не зависящим от массы гири, вычислить момент инерции /.