doc2
.pdf250 X. Динамика материальной системы
Определим кинетическую энергию всего механизма:
|
1 |
1 |
1 |
-2,. |
ч2 |
sin2cp |
T = TOA + TB=---mxrW |
+ -m2 r2a>' sincp+ |
2/ ^\-(rjl)2 sin2cp |
||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
sincp-f |
|
sin2cp |
л21 |
|
|
|
||||
~ \ - m x |
+ m 2 |
21 л/l—(r//)2 sin2 <p >r2co2. |
||||
О т в е т : ^ = ~ |
j + |
m 2 |
sincp+ |
r |
sin2(p |
2 • /-2co2. |
|
|
|
27Vl-(///)2 sin2 cp. |
|||
Задача 38.6
Решить предьщущую задачу для положения, когда кривошип (Х4 перпендикулярен направляющей ползуна; учесть массу шатуна т 3 .
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение кривошипноползунного механизма. Покажем заданные силы: mxg, m2g, m2g (см. рисунок).
Определим движение всех звеньев механизма.
Кривошип OA совершает вращательное движение
ул = юг-
Шатун АВ совершает мгновенное поступательное движение, следовательно,
Va = VB = Vc= СОГ, а>АВ=0.
Ползун В также совершает поступательное движение. Кинетическая энергия всего механизма:
Т = Т0А + т АВ + ТВ,
где ТОА = I /Осо2 - 1 • Unxr2со2, ТАВ = ~mABvl = 1/я3/-2со2,
Тв = ~m1 BvB2 = -1m2r 2со2.
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
251 |
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т , 1 1 |
1 |
+-m2r |
?? |
1 I 1 |
|
1 9 |
||
Т |
2 |
3 |
mxr <й +-m3r£® |
(й =-\-щ |
+т2+гпт, г or. |
|||
|
2 |
2 |
|
2 \3 |
|
/ |
||
О т в е т : ^ = ~ + m 2 + w 3 I/'2®2
Задача 38.7
Планетарный механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение кривошипом OA, соединяющим оси трех одинаковых колес 1,11 и III. Колесо I неподвижно; кривошип вращается с угловой скоростью со. Масса каж-
дого из колес равна Мх, радиус каждого из колес равен г, масса кривошипа равна М2.
Вычислить кинетическую энергию механизма, считая колеса однородными дисками, а кривошип — однородным стержнем. Чему равна работа пары сил, приложенной к колесу III?
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение планетарного механизма. Определим характер движения всех частей механизма.
Кривошип OA совершает вращательное движение, при этом (см. рисунок)
Vg = (йОВ = 2сог,
vA = (й-ОА = 4сол
Колесо II совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей колеса II лежит в точке Р. Угловую скорость колеса II
Щ = |
vB _ 2сог |
= 2са |
|
BP |
|
Скорость точки К
vK = со2-Ж = 2со-2г = 4со/-.
252 X. Динамика материальной системы
Рассмотрим движение колеса III. Скорости точек К и А этого колеса vK и vA равны и параллельны, следовательно, это колесо совер-
шает поступательное движение со скоростью |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
VK - VА - 4(£>r. |
|
|
|
|
|
Кинетическую энергию механизма |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Т = Т0А + Тп + Тт, |
|
|
(1) |
||
где ТОА — кинетическая энергия кривошипа; |
Гц; Г ш |
— кинетиче- |
|||||||
ская энергия соответственно колеса II и III. |
|
|
|
||||||
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
1 |
г ,2 |
1 |
2 |
M2 l6rW |
8 M 2 r W |
; |
||
Toa |
1 |
1 |
= - |
~M2(OA) (о = — |
О |
= — \ |
3 |
||
|
5 |
|
|
|
|
||||
7h = IaT.VI |
|
= 1д/г 4г2 со2 |
+ | |
|
4o>2 = 3M,r2(o2; |
||||
|
|
Tm |
= ^ М У А = Х-Мх\Ьгг(£ = 8Л/,Г2со2. |
|
|
||||
Тогда согласно формуле (1) |
|
|
|
|
|
||||
т J-M^+m^v1+%М\г1о)1 |
|
= ^(ззл/, |
+ш2). |
||||||
г1со2 О т в е т : Т = -у—(33Л/] +8Л/2); работа равна нулю.
Задача 38.8
Мельничные бегуны /1 и 5 засажены на горизонтальную ось CD, которая вращается вокруг вертикальной оси EF; масса каждого бегуна 200 кг; диаметры бегунов одинаковы, каждый равен 1 м; расстояние между ними CD равно 1 м. Найти кинетическую энергию бегунов, когда ось CD совершает 20 об/мин, допуская, что при вычислении моментов инерции бегуны можно рассматривать как однородные тонкие диски.
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
253 |
|
Р е ш е н и е |
|
|
Мельничные бегуны участвуют в двух |
|
|
вращениях вокруг пересекающихся осей. |
|
|
Сначала рассмотрим движение только |
|
|
одного из них, например В (см. рисунок). |
|
|
Применим теорему о сложении вра- |
|
|
щений твердого тела вокруг пересекаю- |
|
|
щихся осей: |
|
|
«а = ®пер отн- |
|
|
На рисунке покажем параллелограмм |
|
|
угловых скоростей. Переносная угловая |
|
|
скорость |
|
|
2кп |
2 л-20 = 2,09 (рад/с). |
|
60 |
60 |
|
Найдем скорость точки D в центре бегуна В:
vD = сопер • OD = 2,09-0,5 = 1,045 (м/с).
Так как качение происходит без скольжения, то мгновенный центр скоростей в относительном движении лежит в точке К. Найдем относительную угловую скорость соотн этой точки:
COfYTM " Уо _ 1,045 :2,09 (рад/с). DK 0,5
Вектор мгновенной (абсолютной) угловой скорости бегуна В лежит на мгновенной оси Q, проходящей через точки ОтлК. Векторы (опер и шотн взаимно перпендикулярны, поэтому
|юа| = + «отн = л/2,092 +2,092 = 2,95 (рад/с). Кинетическая энергия бегуна
где / п — момент инерции бегуна относительно мгновенной оси вращения.
Рассчитаем момент инерции
Ia = (/„ +mh2) = [(/у cos245°+ Ix cos2 90°+ Iz cos2 45°+mh2)\ =
mr |
•J2 V |
mr2 n |
mr2 |
(V2 Y (г-Л |
' 2 |
= |
|
+ |
0 + |
— |
+m\ |
= —mr |
|
|
|
|
|
I 2 |
|
|
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
257 |
||
Тогда |
|
|
|
Т =2M,v02 +-M2v% |
+iAr2v02(5+4sincp) = ^[16Л/, + М2 (9+4sinq>)]. |
||
2 |
8 |
8 |
|
О т в е т : Т = ^[16М, + М2 |
(9+4sintp)]. |
|
|
Задача 38.11
Автомобиль массы М движется прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v. Коэффициент трения качения между колесами автомобиля и дорогой равен fK, радиус колес г, сила аэродинамического сопротивления воздуха пропорциональная квадрату скорости: Д, = [iMgv2, где ц — коэффициент, зависящий от формы автомобиля. Определить мощность N двигателя, передаваемую на оси ведущих колес, в установившемся режиме.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение автомобиля под действием приложенных сил. Покажем на рисунке заданные силы: силу тяжести Mg автомобиля, суммарную силу реакции дороги F, суммарный момент сил Мк трения качения, силу сопротивления Д. воздуха, а также перемещение автомобиля s и его скорость v. Угловая скорость колес автомобиля ю = v/r и при движении колеса повернутся на угол ф = s/r.
Применим теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме:
T-To = 2A(Fke) + ^A(F/<) = 0, |
(1) |
так как автомобиль движется равномерно, то Т-Т0 =0.
Найдем работу внешних сил, приложенных к автомобилю. Работа силы сопротивления, с учетом того, что автомобиль движется с v = const,
Д; = -J J^ds = xMgv2s.
о
258 |
X. Динамика материальной системы |
Работа момента трения качения
г
Работа остальных внешних сил равна нулю. Тогда
Найдем работу внутренних сил, действующих на автомобиль. Единственной не уравновешенной внутренней силой является движущая сила мотора. Следовательно,
YJA(Fi) = AaB,
где Адв — работа движущей силы мотора.
Подставим найденные значения в уравнение (1) и получим
или
AaB = Mg\^г + iivl]s.
Для определения мощности двигателя продифференцируем это равенство. Тогда
|
d A m |
_ |
|
. „ „ 2 У * |
_ |
м„(/к л ,.„2 |
jv. |
|
N = ^ - |
= M g ^ |
+ \ i v z |
= |
Mgy-^ + w 1 |
||
О т в е т : |
f* |
, ,,„2 |
v. |
|
|
|
|
N = Mg\ — + \ivl |
|
|
|
|
|||
Задача 38.12
Машина массы Мдля шлифовки льда движется равномерно и прямолинейно со скоростью v по горизонтальной плоскости катка. Положение центра масс С указано на рисунке. Вычислить мощность N двигателя, передоваемую на оси колес радиуса г, если/к — коэффициент