doc2

Найдем угловую скорость крестовины сос0 в начальном положении. Абсолютная скорость vB ползуна В в начальном положении (по-

ложение £?о) равна переносной скорости v|:

vB = ув = ®о 'ОВо = со/.

Тогда

Найдем угол поворота ползунов Aw В относительно их шарниров. Из Д А0\0 найдем: LO£)A - ф — по построению;

2

Тогда

9,4=90 ° - Z O O , A = ^ .

Аналогично найдем

Ф

Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме:

Найдем кинетическую энергию системы в начальном положении:

То = ТАВ + ТС.

Кинетическая энергия стержня АВ, совершающего вращательное движение,

Кинетическая энергия крестовины С, совершающей вращательное движение,

движения, которые в совокупности с уравнением (39.4) будут описывать динамику плоскопараллельного движения тела.

Таким образом, дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения тела имеют вид

Уравнения (39.5) позволяют решать две задачи динамики плоского движения:

•при известных внешних силах определить закон движения центра масс тела и закон его вращения вокруг центра масс;

•при известном законе движения центра масс определить главный вектор Re внешних сил, при известном законе вращательного движения — главный момент Мсг внешних сил.

Эти уравнения также позволяют определить одну из неизвестных внешних сил.

Последовательность решения задач данного параграфа:

1. Выбрать систему отсчета (систему координатных осей). Оси направить по, направлению движения.

2.Изобразить тело в произвольном положении и определить начальные условия движения.

3.Показать все внешние силы, действующие на тело.

4.Записать дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения и решить их, определив искомую величину в общем виде,

сучетом начальных условий движения.

5.При необходимости подставить в полученное выражение числовые значения и подсчитать результат.

356 X. Динамика материальной системы

вправо, а осьх — вниз, будет описываться дифференциальными уравнениями вида:

С учетом начальных условий: хс(0) = 0, хс(0) = 0, определим С] =

=С2 = 0. Следовательно,

gt2

Из уравнения (3) следует, что со = const, т.е.

со = со(/ = 0) = 6 рад/с.

О т в е т : тело равномерно вращается с угловой скоростью 6 рад/с вокруг своего центра масс, который описывает параболу ус = 117,5лгс (начало координат в точке В, ось у направлена по горизонтали вправо, ось х — вниз).

Задача 39.2

Диск падает в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. В начальный момент диску была сообщена угловая скорость COQ, а центр масс С, находившийся в начале координат, имел горизонтально направленную скорость v0. Найти уравнения движения диска. Оси х, у изображены на рисунке. Силами сопротивления пренебречь.

Р е ш е н и е

Запишем дифференциальные уравнения для диска, совершающего плоскопараллельное движение под действием силы тяжести, в проекциях на оси х и у:

где М — масса диска; 1С — момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс.

Из уравнения (1)следует:

хс=0,

С учетом начальных условий: хс = v0, хс(0) = 0, определим постоянные интегрирования С, й С2.

Подставим значения С, и С2 в выражение (4) и получим

*с = V -

Из уравнения (2) найдем

9c = g,

Rt2

Ус =—~+С3/+С4.

В соответствии с начальными условиями: ус Ф) = 0, ус(0) = 0, определим постоянные интегрирования С3 и С4:

С 3 = С 4 = 0 .

Тогда

v

Т '

Из уравнения (3) следует, что

<Р = 0,

Ф = С5 /+С6 .

Так как ф(0) = щ , ф(0) =0, то С5 = COQ, С6 =0. Тогда ф = сооЛ

О т в е т : х с = v0/, ус = у - , Ф = «о?, где ф — угол поворота диска, образованный осью х и диаметром, занимавшим в начальный момент горизонтальное положение.

Задача 39.3

Решить предыдущую задачу, считая, что момент тс сопротивления движению относительно подвижной горизонтальной оси, проходящей через центр масс С диска перпендикулярно плоскости движения его, пропорционален первой степени угловой скорости диска ф, причем коэффициент пропорциональности равен р. Момент инерции диска относительно этой оси равен /с .