360 |
X. Динамика материальной системы |
Представим со как — и запишем выражение (2) в виде dt
diр = ще ' с dt.
Проинтегрируем и получим
t
J</<p=<UbJe 'с dt,
оо
<= _ / c p e V
|
ф = 1сЩ 1-е |
гс' |
О т в е т : х с = v0f; у с = |
Ф = |
1-е ' с |
Задача 39.4
Ведущее колесо автомашины радиуса г и массы М движется горизонтально и прямолинейно. К колесу приложен вращающий момент т. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно его плоскости, равен р. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен /. Какому условию должен удовлетворять вращающий момент для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.
Р е ш е н и е
Покажем действующие на колесо силы (см. рисунок), а также угловую скорость и скорость центра масс.
Запишем дифференциальные уравнения движения колеса:
39. Плоскопараллельное движение твердого тела |
361 |
Myc=G-N, |
(2) |
Ic$ = m-Fcnr, |
(3) |
где Fcu — сила сцепления колеса с поверхностью; 1 = Мр2 ~ момент инерции колеса относительно центра масс.
Чтобы колесо катилось без скольжения, должно выполняться условие
Fcn<fG = fMg. |
(4) |
Во время движения колеса у с = R, значит, у с |
= 0. Тогда из уравнения |
(2) следует, что N =G. Зная, что качение колеса происходит без про- |
скальзывания, т.е. х с — '"фо запишем уравнения (1) и (3) в виде |
|
Мг$с = Fcu, |
(5) |
Мр2(рс =m-Fmr. |
(6) |
Из уравнения (5) найдем
F Мг
и подставим это выражение в уравнение (6). Откуда
т = |
f |
Р2Л Р - Г 2 + Р 2 |
Г |
|
г с ц ~ |
'civ |
У' У
Сучетом формы (4) окончательно получим
m<fMg
г2 + р
Ответ: т< /Mg———.
г
Задача 39.5
Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен /к .
Ре ш е н и е
Вэтом случае к силам, показанным на рисунке в решении задачи 39.4, добавится момент сопротивления качению (см. рисунок),
362 |
|
|
|
X. Динамика материальной системы |
Как и при решении предыдущей задачи, полу- |
т |
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mr$ = Fm, |
|
(1) |
ш| |
Mp2(p = |
m-Fwr-MgfK |
(2) |
|
|
|
|
|
к - |
|
Из уравнения (1) найдем |
|
|
|
подставим это выражение в уравнение (2). Откуда |
|
|
|
m = Fcur + р |
+MgfK. |
|
|
|
|
г |
|
|
|
Принимая во внимя »н р итг> р |
< Ш п |
окончательно получим |
|
|
|
г |
|
|
|
Ответ: т < fMg |
г2 |
+ р 2 |
MgfK. |
|
|
|
|
— + |
|
|
|
Задача 39.6
Ось ведомого колеса автомашины движется горизонтально и прямолинейно. К оси колеса приложена горизонтально направленная движущая сила F. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен р. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен / . Радиус колеса равен г, масса колеса равна М. Какому условию должна удовлетворять величина силы F для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.
Р е ш е н и е |
|
Запишем дифференциальные уравнения |
гаюс- |
копараллельного движения колеса под действи- |
ем внешних сил (см. рисунок): |
|
|
(1) |
Myс = N— Mg, |
(2) |
Мр2ф= Fw г. |
(3) |
39. Плоскопараллельное движение твердого тела |
363 |
Так как ус = 0, то /V = Mg. Тогда
Fip=fN = fMg.
Из условия отсутствия скольжения следует, что х с = гф, поэтому уравнения (1) и (3) запишем в следующем виде:
Мхс - F-fMg,
Л/р2 — = /Mgr.
г
Тогда
F-fMg = f*t
Р
Откуда получим, что предельное значение силы, при котором отсутствует скольжение,
-2 ^
F_fMg(rz + р2)
X
Р2 " Следовательно, отсутствовать скольжение будет при
F < / M g ^ .
Р
О т в е т : |
г2 + р2 |
F<fMg— |
Задача 39.7
Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен /к .
Р е ш е н и е
С учетом трения качения изменится только |
У |
|
уравнение (3) в решении задачи 39.6, зная, что мо- |
|
мент сопротивления качению тс - fKN, это урав- / |
г, / Л ? |
нения примет вид |
J |
|
Mp2<p = fNr-fKN. |
|
364 |
X. Динамика материальной системы |
Выполнив те же действия, что и в предыдущей задаче, получим |
Fc/Mg(r2 |
+ p2)-fKMgr |
Ответ: F < fMg(r2 + р2) - fKMgr
Задача 39.8
Автомобильный прицеп движется замедленно с ускорением vv0 до остановки. При этом тормоз в одном из его колес не включается. Давление колеса на дорогу равно N. Коэффициент сцепления колеса с дорогой равен /. Дано: г — радиус колеса, т — его масса, р — радиус инерции. Определить силу горизонтального давления S колеса на его ось.
Р е ш е н и е
Запишем дифференциальные уравнения плоского движения колеса автомобильного прицепа под действием внешних сил (см. рисунок):
mw0 = 5 - fN,
/яр2ф = /Nr.
1) При отсутствии проскальзывания должно выполняться условие: и>0 < гф.
.N
Следовательно, при w0 < / - л
т р
, 2 \
S = тщ +/N = mw0 |
г - mwQ 1 + - |
2) При наличии проскальзывания |
|
|
fN* |
/ир2(р |
N |
г2 |
• |
|
т.е. если щ > / — |
—, давление S = mw0+fN. |
т |
р- |
|
|
39. Плоскопараллельное движение твердого тела |
365 |
О т в е т : 1) w0 < / |
N г |
S -тщ 1 + |
р ) |
; |
|
т |
р-2 |
V |
И |
|
|
т |
р' |
|
|
|
Задача 39.9
Колесо радиуса г катится по прямолинейному горизонтальному
рельсу под действием приложенного вращающего момента твр = ^ fMgr,
где/ — коэффициент трения скольжения, М — масса колеса. Определить скорость точки колеса, соприкасающейся с рельсом (скорость проскальзывания). Масса колеса равномерно распределена по его ободу. Трением качения пренебречь. В начальный момент колесо находилось в покое.
Р е ш е н и е
Запишем дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения колеса под действи*"»* приложенных к нему сил (с. рисунок):
(3)
Так как у с - 0, то согласно уравнению (2) N = Mg. Тогда
F^=fMg.
При отсутствии проскальзывания хс
366 |
X. Динамика материальной системы |
Такую скорость имеют точки обода колеса. Из уравнения (1) следует, что хс = fgt. Поэтому возникает проскальзывание, скорость которого
v = |
fgt
О т в е т : v = — .
2
Задача 39.10
Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэф-
фициент трения качения |
fK=-fr. |
|
4 |
Р е ш е н и е
В этом случае по сравнению с решением задачи 39.9 изменится лишь дифференциаль- щ ное уравнение (3) вращения колеса. Трение качения:
Щ=fKMg.
Тогда
Mr2ф = твр -FTpr- |
fKMg, |
. |
5 |
|
- fMgr -fKMg = |
Mr2 |
ф = -fMgr |
|
AfMgr-*MgJ-№. |
4 |
|
2 |
4 |
6 |
Откуда
39. Плоскопараллельное движение твердого тела |
367 |
Следовательно, скорость проскальзывания с учетом трения качения
v J f g t - m J j L .
4 4
О т в е т : fgt4
Задача 39.11
Однородный цилиндр с горизонтальной осью скатывается под действием силы тяжести по. наклонной шероховатой плоскости с коэффициентом трения/ Определить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра, предполагая, что при движении цилиндра скольжение отсутствует. Сопротивлением качения пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассмотрим плоскопараллёльное движение цилиндра под действием приложенных к нему сил (см. рисунок). Составим дифференциальные уравнения:
тхс |
= £ F & |
= Gsinа |
- |
Fcll, |
|
туе = Y.Fky = N - G cosa, |
|
|
/сФ |
= 1Жс |
= |
Fcar. |
|
|
Так как |
/ с |
: |
тг |
.. |
хс |
|
|
, |
2 |
, <р = — , то уравнение (3) примет вид |
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тг2 |
хс |
= Fmr. |
|
|
|
|
|
|
~2~ |
~7 |
|
Откуда |
|
|
|
|
|
тхс - |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 СЦ* |
С учетом выражения (4) уравнение (1) примет вид
тхс - mg sin a тхс
368 |
X. Динамика материальной системы |
или
-тхс =mg sin а.
Откуда
Хс = а с = -2g s i.n a .
Тогда согласно формуле (4) |
|
|
|
г. |
т х с |
1 |
sin a. |
Fcll = -^±- |
= -mg |
Для определения наклона плоскости, при котором начнется скольжение, используем зависимость
Fen —Fcц = fcuN,
где N = С cos а.
Тогда
l/w^sina <fcllmgcosa
или
tga <3/, a < arctg 3/.
О т в е т : a < arctg 3/; a c - - g s i n a .
Задача 39.12
Однородный сплошной круглый диск катится без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту. Ось диска образует угол (J с линией наибольшего ската. Определить ускорение центра масс диска, считая, что его качение происходит в одной вертикальной плоскости.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение диска под действием приложенных сил (см. рисунок).
39. Плоскопараллельное движение твердого тела
Запишем дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения диска:
т х с = J J F £ x = Gsma.sm$-Fcll, |
( 1 ) |
туе = Y*Fky = - N + G c osa, |
(2) |
/сФ = 1 Mfc = Fcar. |
(3) |
Так как момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр
|
тг 1 |
. х с |
|
|
,,ч |
масс, 1С : |
2 ) |
ф = ——г ? то уравнение (3) |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
гЦЦ^-р |
|
, |
|
|
~ |
г |
- |
г с и г - |
Откуда |
|
2 |
|
|
|
тхс |
|
|
|
|
|
= |
F |
|
|
|
|
1 |
сц- |
Из уравнения (1) имеем
т х с = mgsina sinP -
Сложим почленно уравнения (4) и (5) и получим
= mgsina sinp.
Отсюда найдем ускорение центра масс диска
хс = а с - j £ sin a sinp.
О т в е т : a c = - g s i n a sinp.
Задача 39.13
Однородный цилиндр с горизонтальной осью скатывается под действием силы тяжести со скольжением по наклонной плоскости при коэффициенте трения скольжения/ Определить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра.
