doc2
.pdf\ |
|
|
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
301 |
|
Определим работу внешних сил: |
|
|
ХД? ~Аав |
+ Авс + An. |
(4) |
Работа силы тяжести лестницы АВ |
|
|
Лав = |
Mg^. |
|
Работа силы тяжести лестницы ВС |
|
|
Лвс = |
|
|
Работа Ay сил реакций связей NA и NB равна нулю. |
|
|
Тогда согласно формуле (4) |
|
|
A[=2Mg^ |
= Mgh. |
(5) |
Подставим выражения (3) и (5) в уравнение (2):
М(р2 + / V |
. . , |
4/l2 |
= Mgh |
и найдем скорость точки В: |
|
|
gh |
v = 21 р 2 +/ 2 ' |
|
2) Найдем скорость шарнира В в момент, когда расстояние до пола будет И/2. Покажем на расчетной схеме (рис. 2) начальное и конечное положения стремянки ABC.
В/
302 |
X. Динамика материальной системы |
|
Применим теорему об изменении кинетической энергии меха- |
||
нической системы: |
|
|
|
T-TO^AS+4 |
|
или |
т = Ъ4- |
(6) |
|
||
Так как система неизменяема, то работа внутренних сил равна |
||
нулю, т.е. £ 4 |
= 0, а стремянка ABC приходит в движение из состоя- |
|
ния покоя, т.е. Т0 = 0. |
|
|
Найдем кинетическую энергию лестницы АВ в момент, когда шарнир В опустится на Л/2. Скорость шарнира В направлена по вертикали вниз, скорость vA конца лестницы А, скользящего по гладкому полу, направлена вдоль пола, по горизонтали влево. Мгновенный
центр скоростей лестницы АВ лежит в точке Р. Угловую |
скорость |
||||
(йАВ лестницы АВ найдем из соотношения |
|
|
|||
|
Уд _ |
VA |
|
|
|
или |
В'Р |
А'Р |
АВ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
vB _ |
vB |
|
vB |
2vB |
|
а>АВ = В'Р |
-J(А'В')2 -(А'Р)2 |
л/4/2 -(ft2/4) |
Vl6 |
l2-h2' |
|
Кинетическая энергия лестницы АВ, совершающей плоскопарал- |
|||||
лельное движение, |
|
|
|
|
|
Tab =\h<&лв = у | > + m(D'P)2] |
<о2в = 1(Мр2 + |
|
' |
||
_ 2(р2 +l2)MvB 16l2-h2 '
Аналогично найдем кинетическую энергию лестницы ВС\
Тес |
2(р2 +l2)MvB |
|
- - |
|
|
|
1 6 / 2 - А 2 |
|
Тогда кинетическая энергия стремянки |
|
|
|
э2 +/2 |
(7) |
T = TAR + T B C = 4 p ' + l 2 } M v l |
||
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
303 |
|||||||||
Определяем работу внешних сил: |
|
|
|
|
||||||
2 A ^ A a b |
|
+ Ab c + An . |
|
|
(8) |
|||||
Работа сил тяжести лестниц АВ и ВС |
|
|
|
|||||||
|
Алв = Mgll |
= |
Mg~ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Авс = Mgff |
= |
Mg~. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Работа АА/ сил реакций связей NA |
и NB равна нулю. |
|
||||||||
Следовательно, согласно формуле |
(8) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(9) |
Подставим выражения (7) и (9) в формулу (6): |
|
|||||||||
4(р2 +12) . . |
2 |
h |
|
|
|
|||||
16/ |
—А |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
и найдем скорость точки В: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
I |
, |
|
\6l2-h2 |
|
|
|
|
VB=2 |
r |
^ V ) " |
|
|
|
|||||
О т в е т : 1) v = 2 / J - ^ ; |
2) v* Л |
|
|
[g/I; l6/2 |
^ |
|
|
|||
/2 + р2 |
' |
' * |
|
2 V |
2(/2 + p2) |
|
|
|||
|
|
Задача 38.34 |
|
|
|
|||||
Стержень ЛВ длины 2д падает, сколь- |
|
|
|
|||||||
зя концом А по гладкому горизонтально- |
|
ТА-* |
\В |
|||||||
му полу. В начальный момент стержень |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
занимал вертикальное положение и на- |
|
|
|
|||||||
ходился в покое. Определить скорость |
|
|
|
|||||||
центра масс стержня в зависимости |
от |
|
|
|
||||||
его высоты h над полом. |
|
|
|
|
|
7 7 7 / V |
/////////У//У |
|||
304 |
X. Динамика материальной системы |
Р е ш е н и е
Покажем на рисунке начальное
иконечное положения стержня. Для определения характера дви-
жения стержня АВ во время падения применим теорему о движении центра масс системы в проекции на горизонтальную ось х:
Mxc = %Fxek.
Так как ^Fxek = 0 и хс = 0, то координата хс центра масс стержня будет постоянной и точка С будет двигаться по вертикали вниз.
Для определения скорости центра масс, точки С, применим теорему об изменении кинетической энергии материальной системы:
= |
(1) |
Так как стержень АВ абсолютно твердое тело, то ]Г |
= 0. В на- |
чальном положении стержень АВ находился в покое, поэтому его кинетическая энергия была равна нулю, т.е. Т0 = 0.
С учетом этого выражение (1) примет вид |
|
Т = |
(2) |
Определим значение кинетической энергии стержня АВ в конечном положении. В этот момент стержень совершает плоскопараллельное движение, и скорость точки С направлена вертикально вниз, а скорость конца стержня А, скользящего по гладкому полу, — вдоль пола влево.
Мгновенный центр скоростей найдем как точку пересечения перпендикуляров, восстановленных к векторам скоростей v^ и vc. Он находится в точке Р. Угловую скорость стержня юлВ найдем из соотношения
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
305 |
|||||||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VC |
|
|
Vc |
|
Vc |
|
|
|
|
|
CP |
|
-J(A'C')2 -(C'P)2 |
-Ja -h2 |
|
|
||
|
Найдем кинетическую энергию стержня, рассматривая его движе- |
|||||||||
ние как мгновенное вращательное вокруг точки Р: |
|
|
||||||||
|
|
Т = |
]-WAB |
= I [ / r + М(РС')2) со2* = |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
V? |
_ '4а 2 - ЗА 2 " |
Mv2c. |
(3) |
|
|
|
12 |
|
|
|
( а 2 - А 2 ) |
6(а2 - А2) |
|||
|
Определим работу внешних сил: |
|
|
|
|
|||||
|
|
2Ак = аав |
+ 4v |
= Алв = MgH = Mg(a ~ А), |
|
( 4 ) |
||||
так как работа AN силы реакции связи NA |
равна нулю. |
|
|
|||||||
|
Подставим выражения (3) и (4) в уравнение |
(2): |
|
|
||||||
|
|
|
'Аа2-ЗА2 |
MVQ = Mg(a - А) |
|
|
|
|||
|
|
|
6(a2-h2) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и найдем скорость центра масс стержня: |
|
|
|
|
||||||
v |
= \6g(a-h)(a2-h2) |
|
_ |
I6g(a -h)(a- h)(aTh) |
_ |
Гбф~-+ A) |
||||
C |
V 4a2-3h2 |
|
|
V |
4a2 -ЗА2 |
|
|
V4 a 2 -ЗА2 ' |
||
Ответ: vc = |
(a-A). |
6|(a + A) |
|
|
|
|
|
|||
4о2 -ЗА 2 ' |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Задача 38.35 |
|
|
|
|
|
|
В дифференциальном вороте два жестко соединенных вала К, и К7 |
|||||||||
с радиусами |
и г2 и моментами инерции относительно оси 0\02 |
со- |
||||||||
ответственно 1\ и 12 приводятся во вращение рукояткой АВ. Подвижный блок С подвешен на невесомой нерастяжимой нити, левая ветвь которой навита на вал Ки а правая ветвь — на вал К2. При вращении рукоятки АВ левая ветвь нити сматывается с вала К\, а правая ветвь наматывается на вал К2. К рукоятке АВ приложен постоянный вращающий момент т . К блоку С подвешен груз D массы М. Найти угловую
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
307 |
Так как система неизменяема и нить нерастяжима, то |
=0. |
В начальный момент система находилась в покое, т.е. Г0 = 0. |
|
С учетом этого выражение (1) примет вид |
|
Т = £Аек. |
(2) |
Определим скорость всех частей системы и выразим их через угловую скорость о вращения рукоятки:
V, = Щ ,
V2 = CO/J.
Блок С совершает плоскопараллельное движение. Составим пропорцию:
V 1 _ |
v 2 |
V C |
R-(PC) |
R+(PC) |
PC |
отсюда
PC^^LR^HZIR.
V2 + V, /J + ^
Тогда |
|
|
|
V| PC |
= - |
|
ъ-г, |
Vr = — |
2 |
-(A |
|
R-(PC) |
|
|
Скорость груза D равна скорости блока С:
VD = vc =
Найдем кинетическую энергию системы в конечный момент, когда груз D поднялся на высоту s:
Г = 7J + Г2 + 7}). |
(3) |
Кинетическая энергия вала Кх
Кинетическая энергия вала К2
Т2 = 2-/2(о2.
308 X. Динамика материальной системы
Кинетическая энергия груза D |
|
|
|
|
||
|
Л |
M(r2 |
-г{) |
|
2 |
|
In |
MvD |
|
|
|||
2 |
8 |
(О . |
|
|||
|
|
|
|
|||
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|
|
|
r = [ 4 ( / 1 + / 2 ) + |
M t e - / 0 2 ] i |
(4) |
||||
Определим работу внешних сил: |
|
|
|
|
||
|
Y,Aek=AD |
+ Am+AN. |
|
(5) |
||
Работа силы тяжести груза D |
|
|
|
|
|
|
|
Ad = -Mgs. |
|
|
|
||
Работа вращающего момента |
т |
|
|
|
|
|
|
л |
|
2 s |
. |
|
|
|
Ат = тф = т |
|
|
|
||
Работа Адг реакций связей 77, и N2 равна нулю. |
|
|||||
Тогда согласно формуле (5) |
|
|
|
|
|
|
2Л' |
= [2т - Mg(r2 |
- / ] ) ] — . |
(6) |
|||
|
|
|
|
ъ-ч |
|
|
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение (2): |
|
|||||
[4(/, +12) + М(г2-П)2] |
= [2m-Mg{r2-r,)-\ |
— |
||||
|
J 8 |
|
|
|
|
ъ - r , |
и найдем угловую скорость вращения рукоятки: |
|
|||||
со = 2 l2s |
2т- Mg(r2-ri) |
|
|
|||
О т в е т : а, = 2 lis |
fm-Mg^-r,) |
|
|
|
|
|
(г2-ч)[4(1]+12)+М(ъ-ц)2]