doc2
.pdf37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
221 |
Найдем момент внешних сил относительно оси г, проходящей через ось блока:
£Mz(Fke) = mgr-mgr = 0.
Поэтому главный момент количеств движения остается постоянным, т.е. Lz = const.
Первоначально система была в покое, значит, LQz = 0.
Когда человек стал подниматься по канату с относительной скоростью v, то канат вместе с закрепленным на нем грузом начал перемещаться со скоростью ы, а блок поворачиваться с угловой скоростью
и
(0= —.
г
Найдем главный момент количеств движения системы:
LZ = L?»+U? + L\.
Момент количества движения человека Цс л , совершающего сложное движение, состоящее из относительного движения вверх по канату со скоростью vOTH = v и переносного — вместе с канатом вниз со скоростью vnep = й, равен
Ц™ = Mz(mva6c) = Mz(mvTKp) + Mz(mv0TH) = mur-mvr.
Момент количества движения груза П?, поднимающегося вместе с канатом со скоростью м,
|
L[p = Mz{mU) = mur. |
|
||||
Момент количества движения блока |
|
|
||||
,б |
. |
тгг |
и |
|
1 |
|
L, = /,со = |
4 |
г |
= |
4-тиг. |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
L, =mur-mvr |
+ -mur+mur |
|
-т\2-и |
- v V = 0. |
||
г |
4 |
|
|
|
{ 4 |
J |
222 |
X. Динамика материальной системы |
Откуда скорость груза
4
«V
т.е. груз будет подниматься.
О т в е т : груз будет подниматься со скоростью -4 v.
Задача 37.52
Круглая горизонтальная платформа может вращаться без трения вокруг неподвижной оси Oz, проходящей через ее центр О; по платформе на неизменном расстоянии от оси Oz, равном г, идет с постоянной относительной скоростью и человек, масса которого равна М{. С какой угловой скоростью со будет при этом вращаться платформа вокруг оси, если массу ее М2 можно считать равномерно распределенной по площади круга радиуса R, а в начальный момент платформа и человек имели скорость, равную нулю?
Р е ш е н и е |
|
Рассмотрим движение данной системы. |
2t |
На нее действуют силы: сила тяжести M2g платформы, сила тяжести M\g человека, реакции Na и NB опор (см. рисунок).
Применим теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы:
м г т
at
Главный момент сил, действующих на систему, относительно оси z
о,
так как векторы внешних сил либо пересекают ось z, либо параллельный ей, следовательно, Lz = const.
В начальном положении система была в покое и поэтому Цг = 0.
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
223 |
Главный момент количеств движения системы, когда по ней идет
человек: |
|
|
|
4 |
= Дш +4ч е л . |
(1) |
|
Найдем момент количества движения платформы |
|
||
гпл |
, |
M2R2 |
|
Ц* = Iz со = —-—со |
|
||
и момент количества движения человека с учетом того, что он участвует в сложном движении,
4чел = M,(M,va6c) = Mz[M\{ve-и)]= Mz[Mx(m-u)\ = M,r2co- Л/, га.
Найденные значения подставим в равенство (1) и приравняем его нулю:
4 = — с о н - М]Г2со-М\ги = 0.
Откуда искомая угловая скорость вращения платформы
|
со = |
2 М,г |
ги. |
|
M2R +2М\Г |
||
О т в е т : со = |
2М\Г |
|
|
M2R2 + 2М]Г |
|
|
Задача 37.53
Круглая горизонтальная платформа вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр масс, с постоянной угловой скоростью coo; при этом на платформе стоят четыре человека одинаковой массы: два — на краю платформы, а два — на расстояниях от оси вращения, равных половине радиуса платформы.
224 |
X. Динамика материальной системы |
Как изменится угловая скорость платформы, если люди, стоящие на краю, будут двигаться по окружности в сторону вращения с относительной линейной скоростью и, а люди, стоящие на расстоянии половины радиуса от оси вращения, будут двигаться по окружности в противоположную строну с относительной линейной скоростью 2м? Людей считать точечными массами, а платформу — круглым однородным диском.
Р е ш е н и е
На данную механическую систему действуют внешние силы (см. рисунок): сила тяжести G платформы, силы тяжести четырех человек, каждая равная mg, реакции RA и Яр опор.
Применим теорему об изменении главного момента количеств движения системы:
dLz dt
Суммарный момент внешних сил относительно оси вращения z
так как векторы внешних сил либо пересекают ось z, либо параллельны ей. Поэтому
I% - L0z = L]z = const. |
(1) |
Главный момент количеств движения в начальный момент времени
Ate - Алл + |
+ A j 2 + А з + L4 4- |
Найдем момент количества движения платформы
, |
, |
GR2 |
Am = |
|
= - г — <°0 |
|
|
2 g |
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
225 |
и момент количеств движения людей:
а) неподвижно стоящих на краю платформы: L41 = Z,42 -mR2coq;
б) на расстоянии Л/2 от оси вращения:
А,з = А,4 = |
Wo- |
|
|
Тогда |
|
|
|
Lqz = ^—(Oq +2тЯ2щ |
+2m(—1 |
coq = |
(2) |
2 g |
\2J |
2g |
|
Главный момент количеств движения при перемещении людей по платформе:
hz ~ Aw + A1i + ЬЧ2 + L4i + Хч4. Найдем момент количества движения платформы
, |
, |
GR2 |
|
|
2g |
и момент количеств движения людей:
а) идущих по краю платформы в сторону ее вращения:
A,i = А,2 = Mz(mva6c) = m(v„ер + VqTH)Я - т(щ Я+и)Я = тЯ2ю, +mRu,
где Vnep = |
VQTH = и; |
б) движущихся на расстоянии Л/2 от оси вращения в противоположную сторону:
А,з = ЬчА = Afj(wva6c) = m(v„ер - v"TH) =
=m(C°1f_2")f = Ш(|) Wl_2mMf'
Л
где v„ep = coj —; v£.H = 2м. |
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
. |
GR2 |
|
Я^ |
„ i? |
|
+2(т/?2сО) +mRu)+2 |
m| y j |
CO] -2mu ^ |
|
Liz = 2я |
|
|
||
|
|
(ZVp- |
|
(3) |
|
|
: — co,+2,5mi?2co,. |
||
|
|
2g |
|
|
226 |
X. Динамика материальной системы |
Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1) и получим |
|
^-(i)o+2£mR2(Oo |
GR2 |
А с о , +2$mR2(ol, |
|
2g |
2g |
т.е. (OQ = СО).
О т в е т : платформа будет вращаться с той же угловой скоростью.
Задача 37.54
Решить предыдущую задачу в предположении, что все люди двигаются в сторону вращения платформы. Радиус платформы R, ее масса в четыре раза больше массы каждого из людей и равномерно распределена по всей ее площади. Выяснить также, чему должна быть равна относительная линейная скорость и для того, чтобы платформа перестала вращаться.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной механической системы, на которую действуют внешние силы: сила тяжести G платформы, силы тяжести четырех человек, каждая равная mg, реакции RA и RB опор.
Применим теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы:
Главный момент сил, действующих на систему, относительно оси z
%Mz(Fke) = 0 = > 4 = const.
Главный момент количества движения в начальный момент времени:
LQZ — Цт + + L42 + L4 з + £Ч4.
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
227 |
||||
Найдем момент количества движения платформы |
|
||||
, |
|
, |
MR2 |
|
|
Атл = |
|
Шо |
|
|
|
и момент количеств движения людей: |
|
|
|||
а) неподвижно стоящих на краю платформы: |
|
||||
L4 J =L4 2 =mR2coq; |
|
|
|||
б) стоящих на расстоянии R/2 от оси вращения: |
|
||||
Z43 = Z4 4 ^ |
I j j <»о- |
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
АOz'- MR2 |
(£>о +2тЛ2Юо |
j COQ. |
|
||
2 |
|
|
|
|
|
С учетом того, что М = Am, получим |
|
|
|||
Zoi = 2тЯ.2щ +2тЯ2щ |
+ )^тЯ2щ = |
^тЯ2щ. |
|
||
Главный момент количеств движения в момент перемещения людей по платформе:
А г = Аи + A,i + ЬЧ2 + А,з + Ьч4 . Найдем момент количества движения платформы
, Г MR2 AmR2 . d2
Lm - Iz co = -y—co = —— co = 2m/cco
имомент количеств движения людей (см. решение задачи 37.53): а) идущих по краю платформы:
L4l = L42 = Mz(mv35c) = Mz\m((£>R+u)] = mR2(a+mRu;
б) на расстоянии — от оси вращения:
•2
Аз = £Ч4 = Mz(mva6c) = Мг т\ со—+2и mR' lo+mRu.
2
228 |
X. Динамика материальной системы |
|
Тогда |
|
|
fmR2 |
_ ^ |
= —mPPa+AmRu. |
Цг = 2mR (0+2(mR (x)+mRu) + 2 |
to+mRu |
|
I 4 |
|
|
Найдем угловую скорость платформы, приравняв L0z и Lu :
|
|
Ц. - £QZ - |
hz |
или |
|
|
|
9 |
, |
9 |
, |
—mRrion = -mR'w+AmRu. |
|||
2 |
^ |
2 |
|
Откуда |
|
|
|
|
|
£ 0 = COn |
8и |
|
|
. |
|
|
|
|
9Л |
Определим значение скорости и, при которой платформа остановится, т.е. когда <о = 0:
|
|
|
|
9 |
D |
|
|
|
|
U = -KGV. |
|
|
|
|
|
8 |
|
„ |
8 и |
;u |
9 |
D |
|
О т в е т : a>=(0n |
9 R |
= -R(Ho. |
|
||
|
|
8 |
|
|
|
Задача 37.55
Человеку, стоящему на скамейке Жуковского, в то время, когда он вытянул руки в стороны, сообщают начальную угловую скорость, соответствующую 15 об./мин; при этом момент инерции человека и скамейки относительно оси вращения равен 0,8 кг • м2. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамейка с человеком, если, приблизив руки к туловищу, он уменьшит момент инерции системы до 0,12 кг - м2?
Р е ш е н и е
На данную механическую систему действуют внешние силы: сила тяжести Р человека, сила тяжести С скамейки, реакций RA и Rg опор скамейки (см. рисунок).