doc2
.pdf150 |
X. Динамика материальной системы |
После подстановки получим
/ г ф = - сф
или
ф + у - Ф = 0.
Запишем это уравнение в виде
ф + £ , 2 ф = 0. |
( 1 ) |
Уравнение (1) является дифференциальным уравнением крутильных колебаний тела А на упругом стержне ООх с круговой частотой
1 7
'" Л
и периодом
2 тс |
. [77 |
С |
V с |
Откуда
4гс2/,
ч
Прикрепим к телу А диск радиусом г и рассмотрим их совместное движение.
Запишем дифференциальное уравнение вращения этой системы вокруг оси v
' п Р Ф = i M z m - |
(2) |
Найдем приведенный момент инерции системы:
I |
= I |
г т |
+1 |
•'пр |
|
-* г д > |
|
г. т |
|
|
т |
где 1г — момент инерции тела относительно оси z\ Iz д мент инерции диска относительно оси z-
Mr2 |
|
= — |
мо- |
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
151 |
Тогда
/ П Р = h + Mr2
Главный момент внешних сил относительно оси z:
IMz(Fke) = -ap.
Следовательно, дифференциальное уравнение (2) примет вид
|
Mr2 |
|
|
|
|
) = -Сф. |
|
Преобразуем это уравнение: |
|
|
|
Ф+ |
|
Mr•2\ |
ф = 0 |
|
|
|
|
и запишем его в виде |
|
|
|
|
ф+Агз <р = О, |
||
где к2 = |
|
|
|
Mr.2 ' |
|
|
|
Найдем период крутильных колебаний системы |
|||
т2 = 2п |
2к |
|
L + Mr2 |
• = 27С" |
|||
Мг2
Л +
Откуда
АпIr + Mr.2 Л
С =
t?
Приравняем значения коэффициента с для системы, состоящей из тела А и диска, и для одного тела А, получим
4к' |
т |
Mr, 2 Л |
/ , + |
— |
|
4 k2L |
J |
2 |
152 |
X. Динамика материальной системы |
Откуда определим значение момента инерции тела А:
I - |
М г * |
1 |
2. x l - x l |
г, |
, |
= |
Mr2 |
. |
xf |
.,• |
О т в е т : 17 |
2 |
|
||||
|
|
|
x22-xf |
|||
Задача 37.16
Бифилярный подвес состоит из однородного стержня АВ длины 2а, подвешенного горизонтально посредством двух вертикальных нитей длины /, отстоящих друг от друга на расстоянии 2Ь. Определить период крутильных колебаний стержня, полагая, что стержень в течение всего времени движения остается в горизонтальном положении и натяжение каждой из нитей равно половине веса стержня.
//{////sy////^//
1 . ь . . ь . I
У к а з а н и е . При определении горизонтальной составляющей натяжения каждой из нитей, считая колебания бифиляра малыми, заменить синус угла между направлением нити и вертикалью самим углом.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение бифилярного подвеса под действием внешних сил (см. рисунок): силы тяжести Mg стержня, реакций NA и NB нитей подвеса.
Запишем дифференциальное уравнение вращения стержня вокруг оси z'
(1)
Найдем главный момент внешних сил относительно оси г:
ХВДО = -Nub - N2xb = ~(Nlx + N2x)b
и горизонтальные составляющие реакций NA и NB соответственно:
Nlx = Nt sin а,
Nb - N2 sin a.
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
153 |
По условию задачи
Nx=N2 = Mg |
|
тогда |
|
(Ni + JV2)sina = Mg sin a. |
(2) |
Выразим угол a через угол ф:
£ s i i ^ = / s i n a
или
Ъ . sma = уБШф.
Подставим это выражение в формулу (2):
Mgsina = Mgysiny. Для малых колебаний втф= ф, тогда
ZMz(Fke) = -Mg^- Ф .
Момент инерции стержня относительно оси z
I.Гт =М{2а2) = Ма2 •
г12 3
Подставим полученные значения в уравнение (1):
Ма2 . Ъ2
и запишем его в виде
§ + к 2 ф = 0,
Ч Ь 2 |
|
|
где к2 =; la2 ' |
|
|
Найдем период крутильных колебаний стержня: |
||
2п |
2п |
2па 2па ГГ |
164 |
X. Динамика материальной системы |
Задача 37.17
Диск, подвешенный к упругой проводке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции диска относительно оси проволоки равен I. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен с. Момент сопротивления движению равен aSco, где а — коэффициент вязкости жидкости, S — сумма площадей верхнего и нижнего основания диска, со — угловая скорость диска. Определить период колебаний диска в жидкости.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение диска (см. рисунок) под действием внешних сил: силы тяжести G, момента щ = - с ф сил упругости проволоки и момента щопр = ос5ф сил сопротивления, реакции N проволоки.
Запишем дифференциальное уравнение вращения диска вокруг оси г:
# = 2 |
(1) |
Найдем сумму моментов внешних сил относительно оси Z-
Х А / г Ш = - с ф - а 5 ф
и подставим ее значение в уравнение (1):
/ф = - с ф - а Л р
или
„_ а5 |
. с |
. |
ф+ |
«р+ |
ф = 0. |
Полученное уравнение запишем в виде
|
|
|
|
|
ф+2лф+Л:2ф = 0, |
(2) |
' |
а 5 |
, |
2 |
= |
с |
|
где 2п = —; |
к |
|
|
|
||
|
Уравнение (2) |
является дифференциальным уравнением затухаю- |
||||
щих крутильных колебаний. |
|
|||||
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
155 |
Если
V/ 2
то диск будет совершать затухающие колебания с периодом
„
О т в е т :
„
T =
Т = |
2к |
2к |
4л/ |
|
Jk2-n2 |
|
V4c/ - a |
2 S 2 ' |
|
|
|
4тil
- = = = = = .
-J4cl -o?S
Задача 37.18
Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента тъ, причем mBZ —щ sin т / +w3 sinЗсо/, где т ь т ъ и со — постоянные, а z — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки равен тупр, причем mynpi = -сср, где с — коэффициент упругости, а ср — угол закручивания. Определить закон вынужденных крутильных колебаний твердого тела, если его момент инерции относительно оси z равен Iv Силами сопротивления движению пренебречь. Считать, что 4 Щ 1 ф 03 и -Jc /h * 3ca
Р е ш е н и е |
|
Рассмотрим движение твердого тела, подве- |
|
шенного на упругой проволоке, под действием |
|
внешних сил (см. рисунок): силы тяжести Mg, |
|
внешнего тЬ г момента, момента ту п р сил упруго- |
|
сти, реакции N проволоки. |
|
Запишем дифференциальное уравнение вра- |
|
щения тела вокруг оси с |
|
(1) |
|
Найдем главный момент внешних сил отно- |
х> |
сительно этой оси: |
Mg |
£ A f j ( f / ) = m,j -tffynp ~ m i sin ю/ + /я3 sin Зсо/ - сф. |
|
156 |
X. Динамика материальной системы |
Полученное значение подставим в уравнение (1):
Izф = Ш) sin cor + тъ sin3co/ - сф. Приведем дифференциальное уравнение к виду
|
|
ф+А:2ф = Л, sin со/ + А3 sin3co/, |
(2) |
где к = Jj- |
— круговая частота собственных крутильных колебаний |
||
тела; k = — ; h2 |
= — . |
|
|
I |
|
I |
|
Уравнение (2) является неоднородным дифференциальным уравнением вынужденных колебаний.
Общее решение уравнения (2) состоит из общего решения однородного уравнения ф+&2ф = 0 и частного решения неоднородного уравнения, которое описывает вынужденные колебания. Запишем частное решение в виде правой части уравнения (2):
ф = A sin со/ +2?sin3co/.
Найдем значения постоянных Л и б. Для этого определим производные по времени фиф:
ф= Acocos со/+35cocos3co/,
ф= - Асо2 sin со/-92?со2 sin3co/.
Подставим их в дифференциальное уравнение (2):
-Лео2 sin со/ - 9Всо2 sin3co/ + Ак2 sin Ш+Вк2 sin3co/ = h{ sin со/ + h2 sin3co/.
Решим систему уравнений:
ЛЛ2 sin оэ/ — У4СО2 sin со/ = sin со/, 1
5&2sin3co/-9Z?co2sin3co/ = A2sin3co/J
и найдем
А
к2- со2'
В = |
Аз |
к2 -9со2
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
157 |
Тогда закон вынужденных крутильных колебаний примет вид:
sin 3(0/.
где к2 = с//г ; А, = т , / / г ; А3 =m2 //z .
Задача 37.19
Решить предыдущую задачу с учетом момента сопротивления тс, пропорционального угловой скорости твердого тела, причем тсг = —Эф, где Р — постоянный коэффициент.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение тела, подвешенного на упругой проволоке. На рисунке покажем силы, действующие на тело: силу тяжести тела Mg, реакцию N проволоки, момент тупр сил упругости проволоки, момент mcz сил сопротивления, внешний mBZ момент.
Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения тела относительно оси z:
(1)
mynP а
Найдем главный момент внешних сил относительно оси Z-
=От]sin со/+/Из sinЗсо/ - Рф - сф.
Подставим это выражение в уравнение (1):
Izф = -Рф - сф+гп\ sin (о/+/п3 sin3co/
или после преобразований получим
ф+2 лф+к2<р = А| sin со/+h3 sin Зсо/, |
(2) |
158 |
X. Динамика материальной системы |
Уравнение (2) является дифференциальным уравнением вынужденных крутильных колебаний с учетом сопротивления среды.
Уравнение вынужденных крутильных колебаний тела ищем в виде частного решения неоднородного дифференциального уравнения
Ф = Z)sin(®r - £ , ) + £sm(3co/ - е3). |
(3) |
Дважды продифференцируем уравнение (3) по времени:
ф= Dcocos(co/ - £i)+3.£cocos(3otf - е3),
Ф= -Dcо2 sin(co? - £])—9£со2 sin(3aW - е3 ).
Подставим значения ф, фи фв дифференциальное уравнение (2):
—Dap' sin(cot - £[)-9Е(Л2 sin(3co/ - е3)+2«Z)cocos(ow - е , ) +
+ 6n£cocos(3oj/ - £3) + k2Ds'm((x>t - в,) + k2Esm(3at |
- е3) = |
= hi sin[(oW - 8i) + e,J+/i3 sin[(3cor - e3) + e3], |
(4) |
Найдем значения постоянных интегрирования D и Е и величины сдвига фаз Е] И Е2, раскрыв синус суммы двух углов в правой части равенства (4) и приравняв коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в правой и левой частях равенства:
и
D = -
|
|
|
|
л/(А2-(О2)2+4Л2со2' |
|
|||
|
|
Е = - |
|
Аз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
V(£2 -9а>2)2 +36и2со2' |
|
||||
|
|
|
2лсо |
^ |
|
бисо |
|
|
|
t 8 £ i = T ? |
2'v |
t g"Je 3 = -,2 n 2' |
|
||||
|
|
|
|
-or |
|
|
Л - 9 o r |
|
С учетом найденных значений уравнение (3) примет вид |
||||||||
Ф = -< л |
о |
•> sin(co?-el) + -7 == |
Аз |
. sin(3cof-e3). |
||||
*J(k — а>) +4«2со2 |
|
|
|
|
-9со ) +36п со |
|||
О т в е т : |
ф = /4, sin(co/-e,) + Л3 sin(3co/-e3), где А, =D; |
А3 = Е; |
||||||
|
. 2псо |
р |
|
^ |
бисо |
|
||
|
е, = arctg—j |
|
е3 = arctg |
- |
9ог |
|
||
|
к - o r |
|
|
к |
|
|||
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
|
|
159 |
|
Задача 37.20 |
|
|
|
|
Диск D, радиус которого равен R, а масса — М, |
I |
, в |
I |
|
подвешен на упругом стержне АВ, имеющем жест- |
|
|
|
|
кость на кручение с. Конец стержня В вращается |
|
|
|
|
по закону ФД = С0(/ + <J>sinpt, где COQ, Ф, р — постоян- |
|
с | > |
|
|
ные величины. Пренебрегая силами сопротивле- |
|
|
||
|
|
|
||
ния, определить движение диска D: 1) при отсут- |
|
|
|
|
ствии резонанса, 2) при резонансе. В начальный |
|
|
|
|
момент диск был неподвижен, а стержень — не- |
I |
ъ |
I |
|
деформирован. |
|
|||
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
Рассмотрим движение данной системы. Пока- |
|
|
|
|
жем на рисунке силы, действующие на систему: |
|
|
|
|
силу тяжести Mg диска, момент тупр сил упруго- |
|
|
|
|
сти стержня и реакции N опоры. |
|
|
|
|
Запишем дифференциальное уравнение враща- |
|
|
|
|
тельного движения диска относительно оси z, |
про- |
|
|
|
ходящей вдоль стержня АВ: |
|
|
|
- - Т Ф |
/ г Ф = Х В Д < ) . |
(1) |
|
|
|
|
|
|
||
Найдем главный момент внешних сил относительно оси вращения z'-
J,Mz(Fke) = -ffiynp = - с ( ф - ф д ) = (coo? + Фзт/>0с - сф
имомент инерции диска относительно этой оси:
*7_ М Я 2
Полученные значения подставим в уравнение (1):
MR7 - |
/ , ж • л |
После преобразований получим
ф+ - ^ г ф = ——-^-(юп/ + Osin pt) MR MR