doc2
.pdf120 X. Динамика материальной системы
Определить модуль горизонтальной составляющей силы, с кото-
рой вода действует на стенки канала. |
|
Р е ш е н и е |
|
Запишем теорему Эйлера |
Мил |
где Ro6 — главный вектор объемных сил; |
|
Я т ъ — главный вектор поверхностных |
|
сил. |
|
В проекции на ось х (см. рисунок), |
MV |
получим |
|
~Mvlx - 1{ювх = 0,
где vu = - vj cos30°. Тогда
Mv\ cos 30°- Д,овх = 0. |
|
Откуда |
|
Д.ОВ, = щ cos30°. |
(1) |
Масса струи воды |
|
М = а Мg
где о — площадь сечения канала; у = МО3 кг/м3 — плотность воды.
Тогда согласно формуле (1) |
|
|
|||
D |
у |
, п о |
0,02 -1-Ю3-2-4 0,866 , . 0 / „ ч |
||
|
= a-vov, cos 30°= -г |
— |
? — = 138 (Н). |
||
|
8 |
|
|
9,8 |
|
Горизонтальная составляющая давления N воды на стенки канала равна
N - Дтовх =138 (Н).
О т в е т : 138 Н.
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения |
121 |
Задача 36.14
Определить модуль горизонтальной составляющей силы давления струи воды на неподвижную лопатку турбинного колеса, если объемный расход воды Q, плотность у, скорость подачи воды на лопатку Vj горизонтальна, скорость схода воды v2 образует угол а с горизонтом.
Р е ш е н и е
Запишем теорему Эйлера в векторном виде
Щ - М У 2 + Доб + Дпов = 0 . |
(1) |
где Rod — главный вектор объемных сил; 7?пов — главный вектор поверхностных сил.
В проекции на осьх (см. рисунок) получим |
Mv, |
|
МЛх -MV 2 x +Д,О В Х =0, |
|
|
где vlx = —V], v ^ - v j cosa. |
|
Mvl |
|
|
|
Тогда |
|
|
-Mv\ - Mv2 cosa + RnOBX = 0. |
|
|
Откуда |
|
Mv„ |
|
|
|
M |
cosa. |
(2) |
Дюв* = Mv] + y v 2 |
||
Масса струи воды M = yQ, тогда выражение (2). примет вид
Дюв* = N = YQV\ + уQv2 cosa = y£>(v, + v2 cosa),
где N — модуль горизонтальной составляющей силы давления струи воды.
От в е т : N = y(2(vt + v2 cosa).
Примечание. Задачи 36.11-36.14 можно решить, применив теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме в проекции на осьх, т.е. воспользовавшись формулой (36.9), приведенной в методических указаниях.
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения материальной системы.
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
Методические указания к решению задач
Различают главный момент количества движения материальной системы относительно центра и оси.
Главным моментом количеств движения или кинетическим моментом механической системы относительно некоторого центра называется геометрическая сумма моментов количества движения всех материальных точек системы относительно того же центра:
1о = 11ю- |
(37.1) |
Кинетическим моментом механической системы относительно некоторой оси называется алгебраическая сумма моментов количества движения всех материальных точек относительно этой оси, например относительно оси z:
4 = £ lkl. |
(37.2) |
Определения моментов количества движения материальной точки относительно центра и оси даны в параграфе 28.
Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг не-
подвижной оси с
4 = /г со, |
(37.3) |
где 1г — момент инерции тела относительно оси z\ со — угловая скорость тела.
Теорема об изменении кинетического момента системы относительно некоторого центра:
векторная производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого центра О гео-
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения |
123 |
метрически равна главному моменту внешних сил, действующих на систему, относительно этого же центра, т.е.
(37.4)
Следствие из этой теоремы:
если главный момент внешних сил относительно некоторого центра равен нулю, то кинетический момент относительно этого центра остается постоянным, т.е. при MQ =0, L0 = const.
Уравнению (37.4) соответствуют три уравнения в скалярной форме:
dL. |
(37.5) |
I |
которые выражают теорему об изменении кинетического момента си-
стемы относительно некоторой оси:
производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равна главному моменту внешних сил относительно этой оси.
Следствие из теоремы: если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается величиной постоянной, например, при М' = %Mz(Fk) = 0, Lz = const.
Следствия из теорем выражают закон сохранения кинетического момента.
Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси под действием внешних сил, главный момент которых относительно этой оси не равен нулю, то с учетом формул (37.3) и (37.5) получаем дифференциальное уравнение вращения тела относительно оси.
Пусть осью вращения является ось z, тогда
Z • |
( 3 7 . 6 ) |
124 |
X. Динамика материальной системы |
Если Iz = const, то дифференциальное уравнение (37.6) примет вид:
— = |
|
(37.7) |
1 dt |
1 |
|
Так как |
|
|
dcо _ |
|
|
~dt~Z |
|
|
или |
|
|
d(o _ d2ф _ |
|
|
то уравнение (37.7) можно записать в виде |
|
|
Izt=Mez |
|
(37.8) |
или |
|
|
]z<p= Mz . |
(37.9) |
|
В зависимости от постановки задачи применяют одну из этих форм записи дифференциального уравнения вращения тела. Например, если задано угловое ускорение е, а нужно определить момент внешних сил, то уравнение следует записать в виде (37.8). При определении закона изменения угловой скорости или закона вращения применяют уравнение соответственно в виде (37.7) или (37.9).
Таким образом, дифференциальное уравнение вращательного движения позволяет решать следующие типы задач:
•при известных законе вращения тела и моменте инерции тела относительно оси его вращения требуется определить момент внешних сил;
•при известных моменте инерции тела и моменте внешних сил требуется определить закон вращения этого тела.
Используя дифференциальное уравнение вращательного движения применительно к физическому маятнику, можно получить формулу для определения периода колебаний маятника:
т = 2л Ж |
(37.10) |
\иа |
|
где d — расстояние от оси подвеса до центра тяжести маятника; 1Х — момент инерции маятника относительно оси подвеса; G — вес маятника.
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения |
125 |
формула (37.10) позволяет экспериментально определить момент и н е р ц и и тела, для этого надо знать вес тела, расстояние от оси подвеса до центра тяжести тела и период колебаний (время одного полного колебания). Тогда
= |
(37.1,) |
Последовательность решения задач этого параграфа: |
|
1. Изобразить тело или механическую систему, движение |
кото- |
рой исследуется в данной задаче. |
|
2.Показать все внешние силы, действующие на тело (систему), включая и реакции связей.
3.При необходимости изобразить оси декартовых координат, совместив одну из них с осью вращения тела.
4.Определить сумму моментов всех внешних сил относительно оси вращения. При этом возможны два случая.
Главный момент внешних сил относительно оси вращения не равен нулю. В этом случае надо:
•составить дифференциальное уравнение вращательного движения в виде (37.7)-(37.9), решить его и найти искомую величину в общем виде, а затем при необходимости в полученное выражение подставить числовые данные. При определении закона изменения угловой скорости или закона движения тела следует проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение, предварительно определив начальные условия движения;
•при решении задач о движении физического маятника можно непосредственно воспользоваться формулами (37.10) и (37.11).
Если главный момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю, то следует:
•составить выражения кинетического момента механической системы относительно оси для начального и конечного положений системы и приравнять их. Если в начальный момент система покоилась, то кинетический момент механической системы необходимо приравнять нулю;
•выразить в общем виде искомую величину и подставить в полученное выражение числовые данные.
126 |
X. Динамика материальной системы |
Задачи и решения
Задача 37.1
Однородный круглый диск массой т = 50 кг и радиуса Л = 30 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая вокруг своей оси я = 60 об/мин. Вычислить главный момент количеств движения диска относительно осей: 1) проходящей через центр диска перпендикулярно к плоскости движения; 2) относительно мгновенной оси.
Ре ш е н и е
1)Если ось z проходит через центр О диска (см. рисунок), то главный момент количеств движения
h =
где I,, = т К 2 ; со: пп
30'
Тогда
У
1 о
X
mi J
, |
mR2 |
тся = |
50 0,32 |
-60 |
2,ч |
L, = |
2 |
- |
|
= 14,1 (кг • м2 /с). |
|
|
|
60 |
|
|
2) Если ось Z\ проходит через мгновенный центр скоростей, точку А, то
По теореме Гюйгенса — Штейнера найдем
1лц = h +mR2-
Тогда
J30 |
3,14-60 |
= 42,3 (кг • м /с). |
30 |
|
О т в е т : 1) 14,1 кг • м2/с; 42,3 кг • м2/с.
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
127 |
Задача 37.2
Вычислить главный момент количеств движения линейки АВ эллипсографа в абсолютном движении относительно оси z, совпадающей с осью вращения кривошипа ОС, а также в относительном движении по отношению к оси, проходящей через центр тяжести С линейки параллельно оси z• Кривошип вращается с угловой скоростью, проекция которой на ось z равна щ масса линейки равна т ; ОС - АС = ВС =1 (см. рисунок к задаче 34.5).
Р е ш е н и е
Определим скорость точки С, когда она принадлежит кривошипу:
v c = CD< ОС
и шатуну:
vc = Ыав СРав.
Так как ОС = СРАВ, то
<иАВ = сог.
Линейка АВ изображенного на рисунке эллипсографа совершает сложное движение: переносное — враща-
тельное вместе с кривошипом ОС (вокруг оси Oz) и относительное — вращательное вокруг оси Z\-
Найдем главный момент количеств движения линейки АВ в абсолютном движении относительно оси z, проходящей через точку О,
или
Loz = M0z(mvc) + LCzi.
128 |
|
|
X. Динамика материальной системы |
||
Так как векторы £0 г , M0z(mvc) |
и LcZ[ параллельны, то |
||||
т |
, г |
,2 |
т(21)г |
u>z |
2 ,2 |
L0z=mvcl-I |
CZi (oz=ml4ог |
|
=-mH(oz. |
||
Поскольку направление кинетического момента системы совпадает с направлением вектора coz, главный момент L0z имеет положительное значение.
Главный момент количества движения линейки АВ в относительном движении относительно оси z\, проходящей через точку С:
г |
, |
т(2Г)2 |
1 |
/2 |
i<z, = |
Icls соАВ |
= |
з |
^ Ч - |
Так как вектор Lcz направлен в сторону, противоположную оси z, значение главного момента количества движения принимаем со знаком минус.
О т в е т : L0l = ^ml2(az\ LCzx = ~ml2iot.
Задача 37.3
Вычислить главный момент количеств движения планетарной передачи относительно неподвижной оси г, совпадающей с осью вращения кривошипа ОС
Неподвижное колесо 1 и подвижное колесо 3 — одинакового радиуса г. Мас-
са колеса 3 равна т. Колесо 2 массой т2 имеет радиус г2. Кривошип вращается с угловой скоростью, проекция которой на ось £ равна (oz.
Массой кривошипа пренебречь. Колеса считать однородными дисками.
Р е ш е н и е |
|
Определим скорость точек Съ |
D и С3 (см. рисунок): |
vc2 =v2=(r |
+ r2)0Jz, |
vD =2(r |
+ r2)(oz, |
vC3 = уъ-2 |
( r + r 2 ) o v |
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
129 |
Так как получили, что v3 = vD, то колесо 3 совершает круговое поступательное движение и его угловая скорость равна нулю.
Поскольку оси вращения колес планетарной передачи параллельны, то главный момент количеств движения передачи
Loz = L2OZ + ^зог |
(1) |
Главный момент количества движения колеса 2, совершающего сложное движение
LlOz - Ц.Ог + |
' |
где U$z = M0z(m2v2) = m2(r + r,)2al-
гот |
_ |
, |
_ |
г |
r + r2 |
_ m2r2 |
r+r2 |
_m2r2(r+r2) |
<м7 |
|
|
Lioz2 |
~ 1C2Z2 |
^ - |
ic2 |
гг |
©г - — |
|
= |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
2 Л |
2 |
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h o z |
- г ф |
|
2 |
ГП2Г2(Г + Г2) |
_ |
|
2Г + ЪГ2 |
(2) |
|||
+ rtf a>z + |
2 |
= m2(r + г2)юг |
— — |
|
|||||||
Главный момент количества движения колеса 3, совершающего только поступательное движение,
Lioz = M0z(mv3) = 4m(r + r2)2oiz. |
(3) |
Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1) и найдем значение главного момента количества движения планетарной передачи:
Ьог = т2(г + г2) со, |
j+4m(r + r2)2(i>z = |
О т в е т : Loz = ~ |
- |
~{г + гг) coz. |