doc2
.pdf110 |
X. Динамика материальной системы |
Подставим выражения vA и vB в это равенство и получим:
К = Л/,со-2г + М2со-5г = сог(2М, +5 М2).
Вектор К направлен перпендикулярно стержню OA.
О т в е т : главный вектор количества движения направлен перпендикулярно стержню OA и по модулю равен (2 А/, + 5 М 2 ) т х
Задача 36.4
Определить модуль и направление главного вектора количества движения механизма эллипсографа, если масса кривошипа равна Mi, масса линейки АВ эллипсографа равна 2Ми масса каждой из муфт А и В равна М2, даны размеры ОС = АС = СВ = 1. Центры масс кривошипа и линейки расположены в их серединах. Кривошип вращается с угловой скоростью со.
Р е ш е н и е
Количество движения системы
|
к=JK£+к |
у, |
(1) |
где Кх = |
Ку = ^mkvky. |
|
|
Определим координаты центров масс тел, входящих в систему, и найдем проекции скоростей этих точек на оси хи у (см. рисунок). Из рассмотрения равнобедренных треугольников ОАС и ОСВ следует, что
хк |
/ |
|
/ш |
= — • cosco/, |
= Vfo = —— sin со/; |
||
Ух |
/ . |
. |
/со |
= - • sin со/, |
yK = v^ |
= — cos со/; |
|
хс |
- 1 cosco/, |
хс = vCx - |
-l&sin со/; |
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения |
111 |
Ус = I sin со/, |
Ус = vcy - 'coeos со/; |
|
|
хА |
vAx =0; |
ул |
= 21 sin со/, |
уА = vAy = 2/cocosco/; |
хв |
= 21cosсо/, |
xB = vBx = -2/cosinco/; |
|
Ув — |
J>s = 0 . |
С учетом полученных выражений скоростей запишем
^х = Л / ^ - у sino3/j+2A/I(-/cosinco/) + A/2(~2/cosinco/) =
=sin со/(Mi
Ky = M\~ cos C0/+2M, /cocos со/ + Л/2 • 2/cocosсо/ =
= —cosco/(A/i +4Mi Тогда согласно формуле (1)
~ |
VL |
2 |
J + L |
2 |
J |
= |
p L + i ^ j |
/roVsin2ro/ + cos2co/ = ^(SM, |
+4M2). |
||
Направление главного вектора перпендикулярно кривошипу ОС.
Примечание. Можно было также воспользоваться формулами (36.3) и (26.4).
От в е т: модуль главного вектора равен К = ~(5МХ +4Л/2); направление главного вектора перпендикулярно кривошипу.
112 |
X. Динамика материальной системы |
Задача 36.5
Определить главный вектор количества движения центробежного регулятора, ускоренно вращающегося вокруг вертикальной оси. При этом углы <р изменяются по закону ф = ф(/) и верхние стержни, поворачиваясь, поднимают шары А и В. Длины стержней: OAОВ= AD= BD= /. Центр масс муфты D массы М2 лежит на оси z-
Шары А и В считать точечными массами массы Л/] каждый. Массой стержней пренебречь.
Р е ш е н и е
Количество движения системы
Шары совершают сложное движение:
v = vr + ve, vr = ф/, ve = со/этф.
Вектор vr направлен перпендикулярно OA (OB), вектор ve — по касательной к траектории переносного движения (см. рисунок) (ve||Ox).
Скорость точки D найдем, взяв производную от ее координаты z.
ZO =2/С08ф,
тогда
ZD = vD = -2/<psin ф.
Проекции количеств движения на оси х, у и z равны соответственно:
Кх = Mivej-Ml veB = 0, veA = v,ев>
Ку = M\VrB cosф — Af\ соБф = 0, так как vrR = vr ;
Кг --My v,A sinф—MyvrB sinф — M2Vj) = —(2M,(p/sin9 + Л/22/фз1Пф) =
= -2 (My + M2)l<psm<f>.
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения |
113 |
О т в е т : Кх = Ку =0, Kz =-2(Л/, +Л/2)ЛИПФ> К = \Кг\, где К~ |
глав- |
ный вектор количества движения; плоскость yz совпадает с плоскостью расположения стержней регулятора.
Задача 36.6
В механизме, изображенном на рисунке, движущееся колесо радиуса г имеет массу М, причем центр масс колеса находится в точке О,; центр масс прямолинейного стержня АВ массы кМ находится в его середине. Кривошип 00\ вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью со. Определить главный вектор количества движения системы, пренебрегая массой кривошипа.
Р е ш е н и е
Количество движения системы
к—Кх+ку.
Стержень АВ совершает поступательное движение, а колесо — плоскопараллельное. Скорость точки Oi v0i = г со (направление v0i см. на рисунке).
Так как точка Д — МЦС, то
т
о
у- 1 х
MgS lkMg
гАР'
где АР„ =2rsincp; vA _ vq dPv _ rco-2rsincp _ 2rcosincp.
Тогда
Kx - Mv0< coscp = -Mrcocosco/,
Ky = MvQ] sinq>+ kMvA - A/nosinШ + kM-2rcosin(p = A/rco(l+2A:)sinco/.
О т в е т : проекции главного вектора количества движения системы на оси координат: 1) на ось Ox: -Mrcocosof; 2) на ось Оу: A/rco(l+2A:)sinco?.
114 |
X. Динамика материальной системы |
Задача 36.7
Масса ствола орудия равна 11 т. Масса снаряда равна 54 кг. Скорость снаряда у дульного среза v0 = 900 м/с. Определить скорость свободного отката ствола орудия в момент вылета снаряда.
Р е ш е н и е |
|
|
Так как проекция главного вектора внеш- |
J? |
|
них сил на ось х равна нулю, то можем запи- |
|
|
сать закон сохранения импульса в проекции |
|
|
на ось х: |
|
|
|
|
7 7 7 7 7 |
(/И, +/WQ)v = -W|V, +/WqV0, |
(1) |
mil |
где v — скорость механической системы в начальный момент времени, v = 0.
x Тгтт
m0g
С учетом того, что v = 0, уравнение (1) перепишем в виде
0 = -W|Vi +/яь%
Откуда
Vl _otqVQ^ 54-900 = 4,42 (м/с).
Щ ~ 11000
О т в е т : скорость отката ствола орудия равна 4,42 м/с и направлена в сторону, противоположную движению снаряда.
Задача 36.8
Граната массы 12 кг, летевшая со скоростью 15 м/с, разорвалась в воздухе на две части. Скорость осколка массы 8 кг возросла в направлении движения до 25 м/с. Определить скорость второго осколка.
Р е ш е н и е
Направим ось х по направлению скорости, тогда все силы будут перпендикулярны этой оси (см. рисунок). Поэтому проекция главного вектора внешних сил на ось х будет равна нулю. Запишем закон сохранения импульса в проекции на эту ось:
mv = m1v1 +m2v2.
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения |
115 |
|
img |
|
|
Откуда |
|
|
|
v2 |
= mv-mjvx |
_ 12-15-8-25 |
= - 5 (м/с). |
|
т 2 |
4 |
|
Знак минус указывает на то, что скорость второго осколка направлена в сторону, противоположную движению первого осколка.
Ответ: 5 м/с в направлении, противоположном движению первого осколка.
Задача 36.9 |
|
|
По горизонтальной платформе А, |
в |
|
движущейся по инерции со скоро- |
XI гт |
|
стью v0, перемещается тележка В с по- | |
||
стоянной относительной скоростью й0. |
7 7 7 7 7 " |
|
В некоторый момент времени тележ- |
||
|
||
ка была заторможена. |
|
Определить общую скорость v платформы с тележкой после ее остановки, если М — масса платформы, т — масса тележки.
Р е ш е н и е
Тележка В совершает сложное движение (см. рисунок), ее абсолютная скорость
Va6c=«0 + V0-
Так как проекция главного вектора внешних сил на ось х равна нулю (тележка движется по инерции), можно записать закон сохранения импульса в проекции на эту ось:
т(и0 + v0) + Mvо = (т + M)v.
116 |
|
|
|
X. Динамика материальной системы |
||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
Y_m(u0 |
|
+ v0) + Mvо |
тщ +Qn + M)v0 |
т |
«о- |
|
|
|
т + М |
|
т + М |
• = Vq +т + М |
|
О т в е т : v = v0 |
+ |
т |
«о- |
|
|
|
М+т |
|
|
|
|||
Задача 36.10
Сохранив условие предыдущей задачи, определить путь s, который пройдет тележка В по платформе А с момента начала торможения до полной остановки, и время торможения т, если считать, что при торможении возникает постоянная по величине сила сопротивления F.
Указание.В дифференциальном уравнении движения тележки использовать соотношение Mv + т(и + v) = const, где и и v — переменные скорости.
Р е ш е н и е
После того, как начнется торможение тележки, ее относительная скорость и за время торможения т изменится от и0 до нуля.
Скорость v движения платформы будет возрастать. При этом в соответствии с указанием в условии задачи количество движения системы в проекции на ось х:
Р |
з г |
|
L |
I E |
|
J ^ U |
||
77777У/У/У; rT. |
77777777777" |
|
N.
Mg\
Mv+m(u + v) = const. |
(1) |
Так как скорость платформы меняется, то платформа будет двигаться с ускорением, которое для тележки является переносным ае ускорением, и, следовательно, будет действовать переносная сила инерции Фе тележки. Поэтому для тележки следует составить дифференциальное уравнение относительного движения в проекции на ось х:
m-du |
= -F-Ф„ |
(2) |
dt |
|
|
dv
где | Ф„ I = mae = m dt'
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения |
117 |
|||||
Продифференцируем уравнение (1) по времени: |
|
|||||
М— |
du |
dv |
_ |
|
|
|
+т— +т— |
= 0. |
|
||||
dt |
|
dt |
dt |
|
|
|
Откуда |
|
|
du |
|
|
|
dv |
m |
|
(3) |
|||
dt |
|
M +m dt |
|
|
||
|
|
|
|
|||
Подставив выражение (3) в уравнение (2), получим |
|
|||||
du |
„ |
+ |
т2 |
du |
. |
(4) |
т— |
= -F |
|
dt |
|||
dt |
|
М+т |
|
|
||
После преобразований уравнение (4) примет вид |
|
|||||
тМ |
du |
= -F.„ |
|
|
(5) |
|
М+т |
dt |
|
|
|
|
|
Разделим переменные и проинтегрируем уравнение (5), получим
I |
тМ |
|
(fn + M)Fl |
m + M F |
|
|
Для определения пути s, пройденного тележкой до полной оста-
новки, уравнение (5) запишем в виде |
|
|
||
тМ |
udu |
= |
~F. |
(6) |
М+т |
ds |
|
|
|
Разделим переменные и проинтегрируем уравнение (6), получим
|
|
f ds = - |
тМ |
j |
I |
тМ |
UQ |
|
|
|
|
J udu => s = - |
|
|
|||
|
|
l |
|
(m + M)F«о |
2 |
m+M |
F |
|
„ |
|
1 |
тМ |
и} |
mM Uf) |
|
|
|
О т в е т : |
s = |
2 |
M+m |
F т = |
m + M |
F |
|
|
Задача 36.11
Из наконечника пожарного рукава с поперечным сечением 16 см2 бьет струя воды под углом а = 30° к горизонту со скоростью 8 м/с. Определить силу давления струи на вертикаль-
£
I
118 |
X. Динамика материальной системы |
ную стену, пренебрегая действием силы тяжести на форму струи и считая, что частицы жидкости после встречи со стеною приобретут скорости, направленные вдоль стены.
Р е ш е н и е
Согласно теореме Эйлера запишем
M v , - M v 2 + % 6 + ^ 0 B = 0, (1)
где — главный вектор поверхностных сил (сил тяжести); Rn0B — главный вектор поверхностных сил (сил реакций стенки); Л/v, — количество движения массы воды, втекающей сквозь сечения I - I за единицу времени; Mvr — количество движения массы воды, вы-
текающей сквозь сечения II—II за единицу времени. Запишем векторное равенство (1) в проекции на ось х (см. рисунок):
Mvx cos 30°+0+0 + |
, = 0. |
|
Откуда |
|
|
~ К о п Х = Щ cos 30°= Л |
(2) |
|
где Р — сила давления струи на стену. Масса струи воды
М = оVjYj g
где у = МО3 кг/м3 — плотность воды; ст — площадь поперечного сечения пожарного рукава.
Тогда согласно формуле (2)
Р =ст1 |
V,2 cos 30°= 16 • 10"4 • |
64 0,866 = 88,8 (Н). |
g |
9,8 |
|
О т в е т : 88,8 Н.
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения |
119 |
||
Задача 36.12 |
|
|
|
Определить горизонтальную состав- |
|
|
|
ляющую N возникающей при движении |
|
|
|
воды силы давления на опору колена |
|
|
|
трубы диаметром d = 300 мм, по которой |
|
|
|
течет вода со скоростью v = 2 м/с. |
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
Запишем теорему Эйлера в вектор- |
77Т7777777 |
~7 |
|
ном виде: |
|||
|
|
||
Л/V] — Мх>2 + Дэб + Лпов = 0, |
(1) |
|
|
где R0Q — главный вектор объемных сил; Лпоп — главный вектор поверхностных сил.
В проекции на ось х (см. рисунок), получим
~Mv2 + 0 + 0 + Rn |
:0. |
|
Откуда |
|
|
Rn<™* = Mv2 |
nd2 vy |
_ 7id2, |
= |
4 |
|
|
g |
|
где у = МО3 кг/м3 |
— плотность воды. |
|
Так как|Лповх| = ЛГ, то
pj _ 3,14-103(300-10~3)2-4 _284 (Н) 4-9,8
Ответ: N -284 Н.
Задача 36.13
Вода входит в неподвижный канал переменного сечения, симметричный относительно вертикальной плоскости, со скоростью v0 = 2 м/с под углом а = 90° к горизонту; сечение канала при входе 0,02 м2; скорость воды у выхода из канала v { = 4 м/с и направлена под углом а] = 30° к горизонту.
MV2 >Л