doc2

Откуда

E-JL.

2 р

Подставим выражения (5) и (8) с учетом значения постоянной интегрирования Е в уравнение (4) и получим

с учетом начальных условий движения: /= 0, <р0 =0, ф0 = <% Тогда

5 = 0.

к

Подставим значения А и В в уравнение (9) и получим закон движения тела для второго случая:

Задача 37.24

Однородный круглый диск массы М и радиуса R, подвешенный на упругой проволоке, совершает резонансные крутильные колебания в жидкости под действием внешнего момента mBZ = щ sinpt, где тймр — положительные постоянные, а г — ось, направленная вдоль проволоки; момент упругости проволоки ту п рг = -сф, где с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания; момент сопротивления

( С - / ; Р 2 ) + Ф Р ) 2 '

где I.z MR2

В случае резонанса, когда р-к =

А= 0, Я =

Рр

Следовательно, уравнение вынужденных резонансных колебаний диска с учетом сопротивления среды имеет вид

Ф = — р- c o s

Щ pt.

р

Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части этого уравнения на Iz, получим

Задача 37.25

Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного к упругой проволоке в жидкости. К диску приложен внешний момент, равный MQ sin pt (М0 = const), при котором наблюдается явление резонанса. Момент сопротивления движению в жидкости равен аSco, где а — коэффициент вязкости жидкости, S — сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, со — угловая скорость диска. Определить коэффициент а вязкости жидкости, если амплитуда вынужденных колебаний диска при резонансе равна ср0.

Р е ш е н и е

Рассмотрим крутильные колебания диска в жидкости. Покажем на рисунке действующие на диск силы: силу тяжести Mg диска, момент /Яупр сил упругости проволоки, внешний момент тв, момент тс сопротивления движению, реакцию N проволоки.

Запишем дифференциальное уравнение вра-

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением крутильных колебаний диска.

Закон вынужденных колебаний найдем как частное решение неоднородного дифференциального уравнения в виде

Ф = A sin pt + Beospt.

174 X. Динамика материальной системы

Найдем производные по времени

ф = Ар cos pt - Bp sin/tf, ф = - Ар2 sinpt -Bp2 cos pt.

Для определения постоянных интегрирования значения ф, ф и ф

Вслучае резонанса р = к = у — . Тогда

А- 0, В = - М0

aSp

Амплитуда вынужденных колебаний

Фо

Мп aSp

Откуда коэффициент вязкости жидкости

а= М0

Фо^Р

гл Мп

О т в е т : а = — — . Ф0 5^

Задача 37.27

Для определения ускорения силы тяжести пользуются оборотным маятником, который представляет собой стержень, снабженный двумя трехгранными ножами А и В. Один из ножей неподвижен, а второй может перемещаться вдоль стержня. Подвешивая стержень то на один, то на другой нож и меняя расстояние АВ между ними, можно добиться равенства периодов качаний маятника вокруг каждого из ножей. Чему равно ускорение силы тяжести, если расстояние между ножами, при котором периоды качаний маятника равны, АВ = I, а период качаний равен 7?

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение оборотного маятника. Покажем на рисунке действующие на него силы: силу тяжести Mg, реакцию N опоры А.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения маятника относительно оси z, проходящей через точку А:

Лцф = —Mgdsiny

или

l ^ q + M g d sin(p = 0,

где d — расстояние от точки А до центра масс С.

Считая колебания малыми (sin ф = ср), получим

(1)

Дифференциальное уравнение (1) является уравнением колебаний маятника относительно опоры А.

Период колебаний

Подвесим маятник на другом ноже в точке В. Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения маятника относительно оси z, проходящей через точку В:

hi Ф = ~Mg(l - d) sin(p

или

/ & ф + Mg(/-</) sin ср = 0. Считая колебания маятника малыми, получим

<2)

hi

Дифференциальное уравнение (2) является уравнением колебаний маятника относительно опоры В.

Найдем период колебаний в этом случае:

hi

Определим момент инерции маятника относительно точек подвеса А и В:

IAz=Ic + Md2,

JBz =Ic + M(l-d)2.

Приравняем периоды колебаний: ТА = Тд = Т, и найдем значение момента инерции маятника относительно центра масс С, выразив его через период колебаний Т.:

Определим значение ускорения силы тяжести:

4тЛ

8тт2

Т2

Ответ: g = Т2

Задача 37.29

Часть прибора представляет собой однородный стержень длины L, свободно подвешенный одним концом на горизонтальной оси О. Для регистрации качаний к его нижнему концу приклеивается небольшое зеркало массы т . При этом, чтобы частота колебаний не изменилась, на нем в другом месте укрепляется груз А. Рассматривая зеркало и груз как материальные точки, найти минимальную массу, которую должен иметь груз А. На каком расстоянии от оси О его следует прикрепить?

Р е ш е н и е

Рассмотрим колебания однородного стержня с зеркалом и грузом и без них. Покажем на рисунке силы, действующие на систему: силу тяжести mAg груза, силу тяжести Mg стержня, силу тяжести mg зеркала, реакции осей Х0 и Y0 в точке О.

Найдем приведенную длину стержня:

ML2

/ = -/!,* - - — 3

Ma мк 3

2

иприведенную длину /2 системы, состоящей из стержня, зеркала

игруза А:

гсист

/— z

Мсас

где Мс — масса системы, Мс = М +m+mA.