doc2

Определим положение центра масс системы:

M—+mL+mAb

а с = — 2

М+т+тА

и момент инерции системы относительно оси z, проходящей через точку О:

Частота колебаний не изменится, если приведенная длина маятника будет постоянной, т.е. при / = 1г:

b = ^L. Так как f"(b) = - 2 <0, то при этом значении b f(b) будет максимальной, а тА — минимальной:

1

-mL

Ответ: тА = 3т; b = OA =3- L.

Задача 37.30

Для регулирования хода часов к маятнику массы Мх, приведенной длины / с расстоянием а от его центра тяжести до оси подвеса прикрепляют добавочный груз массы М2 на расстоянии х от оси подвеса. Принимая добавочный груз за материальную точку, определить изменение А/ приведенной длины маятника при данных значениях М2 и х и значение х = хх, при котором заданное изменение Д/ приведенной длины маятника достигается при помощи добавочного груза наименьшей массы.

Определим положение центра масс системы

ас

Мха + М2х

Mi + М2

Определим значение х = хх, при котором масса добавочного груза будет наименьшей. Для этого

dxd [хЦ + Д./) - х2] = О

или

1 + А1—2Х] =0.

Тогда

* ! = " ( / + А/).

Примечание. См. пояснения решения задачи 37.29.

О т в е т : приведенную длину маятника надо уменьшить на

Задача 37.31

Для определения момента сил инерции / D, данного тела относительно некоторой оси

АВ, проходящей через центр масс G тела, его подвесили жестко скрепленными с ним стержнями AD и BE, свободно насажанными на неподвижную горизонтальную ось DE, так, что ось АВ параллельна DE] приведя затем тело в колебательное движение, оп-

ределили продолжительность Т одного размаха. Как велик момент инерции /, если масса тела М и расстояние между осями АВ и DE равно А? Массами стержней пренебречь.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение тела, подвешенного на невесомых стержнях. Покажем на рисунке для положения, когда стержни AD и BE составляют угол ф с вертикалью, действующие силы: силу тяжести Mg,

Это дифференциальное уравнение является уравнением колебаний тела относительно оси zf. Найдем полупериод колебаний

определим момент инерции тела относительно оси i :

Iz- = It + Mh2

и момент инерции стержня относительно оси ??

Тогда

Полученное значение подставим в уравнение (1):

I z + 3 M + 2 M i h 2 ^ _ { M + M i ) g h ( ?

Задача 37.33

Для определения момента инерции шатуна его заставляют качаться вокруг горизонтальной оси, продев через втулку цапфы крейцкопфа тонкий цилиндрический стержень. Продолжительность ста размахов 100Г = 100 с, где Г — половина периода.

Затем для определения расстояния АС = h центра масс С от центра Л отверстия шатун положили горизонтально, подвесив его в точке А к талям и оперев точкой В на платформу десятичных весов; давление на нее оказалось при этом равным Р. Определить центральный момент инерции / шатуна относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка, имея следующие данные: масса шатуна М, расстояние между вертикалями, проведенными через точки Ан В (см. правый рисунок) равно /, радиус цапфы крейцкопфа г.

Р е ш е н и е

Рассмотрим равновесие шатуна при его взвешивании на весах (рис. ! ) • . • _ _

На него действуют силы: NA — реакция нити, Mg — вес и Ng — реакция платформы весов, которая равна силе давления Р.

188 X. Динамика материальной системы

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением колебаний шатуна.

Найдем полупериод колебаний:

и определим из этого равенства центральный момент инерции шатуна

Задача 37.34

Маятник состоит из стержня АВ с прикрепленным к нему шаром массы m и радиуса г, центр которого С находится на продолжении стержня. Определить, пренебрегая массой стержня, в какой точке стержня нужно поместить ось подвеса для того, чтобы продолжительность одного размаха при малых качаниях имела данную величину Т.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение маятника. Покажем на рисунке действующие силы: силу тяжести mg, реакции Х0 и Y0.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения маятника относительно оси z, проходящей через Точку О подвеса:

/ г ф = -mgh sin ф,

где h — расстояние от точки подвеса до центра масс С шара.

Так как для малых колебаний sin<p = <p, то можем записать

/г ^

или

ф+£2ф = 0,

где А:г _ mgh h

Найдем момент инерции шара относительно оси г.

Iz=Jc+m{OC)2=^mr2+mh2.

Определим полупериод колебаний или продолжительность одного

Возведем в квадрат правую и левую части этого равенства и получим

Решение квадратного уравнения (1) имеет вид