Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4626 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc2

.pdf
Скачиваний:
108
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
14.26 Mб
Скачать
☆

270

 

X. Динамика материальной системы

Найдем кинетическую энергию нити:

 

Т = 2 -mv2,

где m — масса всей нити; v =

dx

скорость нити; х — длина свеши-

вающейся части нити.

dt

 

 

 

Определим работу внешних сил:

 

=Ар*

+AP + AN.

Работа силы тяжести части нити, лежащей на столе, равна нулю,

т.е.

Ар. =0.

 

Работа силы тяжести свешивающейся части нити

AP=^gxdx

= ^.g(x2-l2).

.

[Li

 

ZjL

 

Работа силы реакции гладкого стола равна нулю.

Следовательно,

 

 

 

 

=

АР.

 

Подставим полученные значения в уравнение (2):

1 2

m

/ 2 »2\

 

-2mv1- =

2L

—*(*-/)

 

или

 

 

 

dt

VI

 

 

Разделим переменные и проинтегрируем

 

dx

Т

Тогда

Ь+ Л П 1

I

Ответ: t = — In L + J I 2 ^

1Is I

38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

271

Задача 38.19

Однородная нить длины 2а, висевшая на гладком штифте и находившаяся в покое, начинает двигаться с начальной скоростью v0. Определить скорость нити в тот момент, когда она сойдет со штифта.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение однородной нити под действием силы тяжести. Сила тяжести участка нити (см. рисунок)

D

Т

-

 

 

 

2а

 

 

 

где т масса всей нити; х — длина участка

 

нити.

 

 

 

 

Применим теорему об изменении кине-

 

тической энергии механической

системы:

17

=

 

+

(О

Так как нить нерастяжимая, то сумма работ внутренних сил равна нулю, т.е.

Х Л ' = 0 .

Определим кинетическую энергию нити в начале движения:

 

1

2

7о = -mv$

и тогда, когда она сойдет со штифта,

r r

1

2

Т = —mv .

 

2

 

Определим работу внешних сил:

 

ЪАк=Алв

+ Авс-

Работа силы тяжести />• поднимающейся ветви АВ нити

AAB=\^XdX:

mga

4 '

„2 а

Работа силы тяжести Р, опускающейся ветви ВС нити

2а

 

3mga

 

 

ARC - f

'^LXDX

•

I

2 a

 

272

 

 

X. Динамика материальной системы

Тогда

 

 

 

2mga

mga _ mga

 

4

4

2

Подставим полученные значения в уравнение (1):

1 2

1

2

tnga

— mv

—mvn

= —2—

2

2

 

2

инайдем скорость нити в тот момент, когда она сойдет со штифта:

v= *Jag + v

Ответ: v = ^Jag + v

Задача 38.20

Транспортер приводится в движение из состояния покоя приводом, присоединенным к нижнему шкиву В. Привод сообщает этому шкиву постоянный вращающий момент М. Определить скорость ленты транспортера у в зависимости от ее перемещения s, если

масса поднимаемого груза А равна Ми а шкивы В и С радиуса г и массы М2 каждый представляют собой однородные круглые цилиндры. Лента транспортера, массой которой следует пренебречь, образует с горизонтом угол а. Скольжение ленты по шкивам отсутствует.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение данной механической системы. Покажем на рисунке начальное и конечное положение груза А, угол поворота шкива и действующие силы: силы тяжести Mif и M2g, вращающий момент М.

38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

273

Применим теорему об изменении кинетической энергии меха-

нической системы:

 

=

(1)

Так как лента транспортера нерастяжима, то сумма работ внутренних сил равна нулю, т.е.

Транспортер приходит в движение из состояния покоя, значит,

Т0=0.

Тогда уравнение (1) примет вид

г = 1 4 ? .

(2)

Определим кинетическую энергию системы, когда груз А переместился на величину s:

Т = ТА + ТВ + ТС.

Кинетическая энергия груза А

тА=\му.

Кинетическая энергия шкивов В и С

 

2

2

2

г2

4

Тогда

2

2

2

г2

4

 

 

 

 

 

 

2

4

4

 

2

Найдем работу внешних сил:

 

 

 

 

 

=

АЛ+АМ.

 

Работа силы тяжести тела А

АА = ~M\GH = -A^gssina.

Работа вращающего момента М, приложенного к шкиву В,

Ам = М(р = М-.

г

274

 

X. Динамика материальной системы

Тогда

 

 

£ Д£ = М--

Mxgs • sin а.

Подставим полученные значения в уравнение (2):

V2

5

M--Migss\na

(Л/) + М2)— =

г

2

 

и найдем скорость ленты транспортера:

12(М - A/tgrsina)

V ~ г(М, + М2)

О т в е т : v=

г (Л/| + М2)

Задача 38.21

Горизонтальная трубка CD может свободно вращаться вокруг вертикальной оси АВ (см. рисунок к задаче 37.56). Внутри трубки на расстоянии МС = х0 от оси лежит тело М. В некоторый момент времени трубке сообщена начальная угловая скорость со0.

Определить скорость v тела М относительно трубки в момент, когда тело вылетит из трубки. Момент инерции трубки относительно оси вращения равен /, L — длина трубки; трением пренебречь. Тело считать материальной точкой массы т .

Указание. Воспользоваться ответом к задаче 37.56.

Ре ш е н и е

Рассмотрим движение тела М внутри трубки CD (см. рисунок).

Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении:

/яv; mvг.о

Т

38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

275

м'

м'

_

 

= Х J w c o s t f ;

v r ) + X /Ф^С05(ФС И ; vr),

(1)

и

И

 

 

где vr — скорость тела М в момент, когда оно вылетает из трубки.

В начальный момент времени тело М относительно трубки CD было в покое, т.е. v^ =0.

Так как трубка CD вращается в горизонтальной плоскости, то ра-

бота силы тяжести тела М:

 

 

м'

 

 

 

X ]F( dSrcos(Fr,

vr) - 0.

м

 

 

 

Найдем работу переносной силы инерции

м

 

2 2

L

X \<KdSr cos(€%; vr)=

 

тогдг

ma1!? ma>2XQ

} mm2xdx ••

 

м

xo

 

*o

Значение угловой скорости трубки CD при вылете из нее тела М (см. решение задачи 37.56):

I +тхд СО= (Яд

I+mL2'

Тогда

 

moil

I +mx§

*D

2

I+mL2

 

 

Подставим полученные значения в уравнение (1):

mv2

_ та>о I+mxl

2

„2\

2

 

2 I+mL2

{L -

Ч)

и найдем скорость тела М:

 

 

 

vr

=

cooJ^4(L2-xi).

 

 

I +mLr

 

 

О т в е т : vr = o^J/ + m X ° (L2

- х$).

 

 

V I +mLr

 

 

 

 

276

X. Динамика материальной системы

Задача 38.22

По горизонтальной платформе А, движущейся при отсутствии трения, перемещается тело В с постоянной относительной скоростью «о (см. рисунок к задаче 3 6 . 9 ) . При затормаживании тела В между ним и платформой А возникают силы трения. Определить работу сил трения между телом В и платформой А от момента начала торможения до полной остановки тела В относительно платформы А, если их массы соответственно равны ттл М.

Указание. Воспользоваться ответом к задаче 36.9.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из платформы А и тела В, под действием заданных сил. Покажем на рисунке начальное и конечное положения тела В.

Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

,

= •

N

в

 

Лр, Г

а

///У///г//////УУУ7УУ7ФУУУУУ mg Mi №

T-T0 = ZAI[ + ZAjc.

(1)

Работа внешних сил (силы тяжести mg и реакции N платформы) равна нулю, т.е.

1 4 = 0 .

Определим кинетическую энергию системы в начальном положении:

То = TAfS + ТВо.

(2)

Кинетическая энергия платформы А

Т - -1 Mvh

'ЛоЛл

Кинетическая энергия тела В, совершающего сложное движение,

1

2

1 ,

о

Та

 

 

 

38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

277

Тогда согласно формуле

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

7

 

1

7

 

 

 

 

 

Т0 = - Mv$ + -т(и0

+ v0).

 

 

 

Кинетическая энергия системы в конечном

положении

 

 

 

Т = ^(M+m)v2.

 

 

 

(3)

С учетом ответа к задаче 36.9 найдем

 

 

 

 

 

V = v0

+ —m

«о-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M+m

 

 

 

 

Подставим это выражение в формулу (3) и получим

 

rr

J

m

«о

f

 

=

M+m

2

 

• m1

2

T = -(M+m)\vo+

M+m

)

 

2

Vo+mvoUo+

2 (M+m)

щ.

2

\

 

 

 

 

 

 

Значения

7o и T подставим в уравнение

(1):

M+m

2

+ mv0u0

m l

2 1 , , J

1 ,

——

 

+ ——

-Uq -~Mv$--ш(щ

2

 

 

2(M+m)

2

2

иопределим работу сил трения:

„1

Х 4 = - ~2

_

v

.,• 1

mM

2

О т в е т :

 

= - -

—

 

 

 

2

Л/+/я

 

Mm г

т г — " о - M + m

оji

+v0)2 = X 4

Задача 38.23

Спомощью электромотора лебедки к валу барабана А радиуса г

имассы Мх приложен вращающий момент отвр, пропорциональный углу поворота ф барабана, причем коэффициент пропорциональности равен а (см. рисунок к задаче 37.43). Определить скорость поднимаемого груза В массы М2 в зависимости от высоты его подъема h. Барабан А считать сплошным цилиндром. Массой троса пренебречь.

Вначальный момент система находилась в покое.

278

X. Динамика материальной системы

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из барабана А и груза В. Покажем на рисунке действующие на нее внешние силы: силу тяжести Mxg барабана, вращающий момент твр, а также перемещения элементов системы, которые выразим через заданное перемещение груза В:

Ф =hг- .

Скорости элементов системы со выразим через искомую скорость поднимаемого груза В:

v

СО = —.

Применим теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

T-T0 = 2A{Fk') +

(!)

Кинетическая энергия системы в начале подъема равна нулю, т.е. То =0.

В конце подъема груза В

Т = ТА + ТВ.

(2)

Кинетическая энергия барабана А, совершающего вращательное движение,

2

2 2 г1

4

Кинетическая энергия груза В, совершающего поступательное движение,

TB=jM2v2.

Тогда согласно формуле (2)

Т~(М{ +2 М2У-

38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

279

Работа внутренних сил системы равна нулю, т.е.

I A(Fk') = 0.

Работа внешних сил, приложенных к системе,

2A(Fke) = AM + AA + AB.

(3)

Работа вращающего момента твр

f ч> 1 , 1 hl

AM = jmapd ф = аJ q>dq> = -а ф2 - - а —

О О L Г

Работа силы тяжести барабана Ав равна нулю. Работа силы тяжести груза В

AB=-M2gh.

Тогда согласно формуле (3)

2 г

Подставим полученные значения в уравнение (1):

(Ml+2M2)~ = ^a-J-Mlgh

и найдем скорость поднимаемого груза:

_

О т в е т :

\2h(ah-2M2grl) г\Мх +2 М2)

\2h(ah-2M2gr2) v = J —г^ (71/) +2М2)

Задача 38.24

На рисунке изображен подъемный механизм лебедки. Груз А массы М\, поднимается посредством троса, переброшенного через блок С и навитого на барабан В радиуса г массы М2. К барабану приложен вращающий момент, который с момента включения пропорционален квадрату угла поворота ф барабана: твр - йф2, где а — постоянный

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности