doc2
.pdf340 X. Динамика материальной системы
так как механизм расположен в горизонтальной плоскости, работа сил тяжести равна нулю.
Работа вращающего момента т й |
|
|
А,,, =/яо<р = /я0"7- |
|
|
Работа момента сопротивления |
тс |
|
4С =-тс<?с = -ктс. |
|
|
Тогда согласно формуле (4) |
|
|
X 4 e = - j « o - * W c |
= (wo - 2wc)j, |
(5) |
так как фс = 2 ф = тс. |
|
|
Подставим выражения (3) и (5) в уравнение (2):
и найдем угловую скорость кривошипа с учетом сопротивления шарнира:
|
co = -L |
1 3 к ( т 0 |
|
|
|
2/ V |
М+Зт |
О т в е т : со = |
Зя(т0 -2ет |
с ) |
|
|
|
|
|
2/V М+Зт
Задача 38.50
К кривошипу ОО] эпициклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, приложен вращающий момент Л/вр = М0 - оссо, где М0 и а — положительные постоянные, а со — угловая скорость кривошипа. Масса кривошипа равна от, Л/— масса сателлита (подвижного колеса). Считая кривошип однородным стержнем, а сателлит — однородным круглым диском ра-
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
341 |
диуса г, определить угловую скорость со кривошипа как функцию времени. В начальный момент система находилась в покое. Радиус неподвижной шестерни равен R; силами сопротивления пренебречь.
Указание. Применить теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. Покажем на рисунке положение механизма в момент времени t, отметив начальное положение кривошипа.
Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:
|
|
dT = 2bAl |
|
|
|
(1) |
|
|
||
Найдем кинетическую энергию системы: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
7 W K p + 7 c . |
|
(2) |
|||
Кинетическая энергия кривошипа 00ь |
совершающего вращатель- |
|||||||||
ное движение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ткр =-/0«г |
= - |
mmf |
lmfOO, |
|
, |
m(Oay |
2 m(R+ry 2 |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
12 |
|
V 2 |
|
|
|
|
|
Кинетическая энергия сателлита С, совершающего плоскопарал- |
||||||||||
лельное движение, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Т |
Mv\ |
1 , |
2 |
Mvl |
-1- |
1 Mr2 |
v? _3Mv? |
_3Ma2(R+r)2 |
||
= |
+ -iO]C0i |
|
|
|
|
|
|
|||
' с |
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
r |
4 |
4 |
|
|
|
||||||||
Тогда согласно формуле (2) |
|
|
|
|
||||||
|
m(o\R + r)2 t |
3Mu>2(R+r)2 |
_ (m ^ ЗА/W(/t+r) 2 __ |
|||||||
|
|
6 |
+ |
|
4 |
|
U + 2 J |
2 |
||
|
|
|
|
m |
3.4/ \(R+ r) |
.2 |
(5) |
|||
|
|
|
|
3 |
|
2 |
J |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
342 |
|
X. Динамика материальной системы |
Продифференцируем выражение (3): |
||
^ = g + |
= |
(4) |
Так как механизм расположен в горизонтальной плоскости, то силы тяжести работы совершать не будут. Вычислим элементарную работу вращающего момента Мвр:
8А = MBpd<p = (MQ - асо)<Лр = (М0 - аф)*/ф. |
(5) |
Подставим выражения (4) и (5) в дифференциальное уравнение (1):
g + |
= |
асрУф, |
сократим на dip, разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:
|
3 |
2 |
/ |
{аф - Л/о |
{ |
|
||
1 (т |
3М\п |
х21 |
аю-Л/п |
|
|
|||
- |
— + — |
(Л+rrln |
- М п |
|
|
|||
2 Ь |
2 |
) |
|
|
|
|||
|
|
|
а с о - Л / о _ с " / п р |
|
|
|||
|
|
|
-Мп |
|
|
|
|
|
где /,пр |
(R+r? |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем угловую скорость кривошипа: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
а |
\ |
|
|
|
|
( 0 = -MQ |
1-е |
/пр |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
а N |
|
|
|
|
|
|
Л/о |
|
1 |
, |
|
,т |
ЗМ\п |
.-> |
|
1-е |
|
|
||||||
О т в е т : (о = — - |
|
, где / |
п р = | - |
+ - _ _ |
|(/?+r)2. |
|||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
343 |
Задача 38.51
Решить предыдущую задачу с учетом постоянного момента тре-
ния Мтр на оси О] сателлита. |
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим движение данной систе- |
|
|
|||||
мы. Покажем на рисунке положение ме- |
|
|
|||||
ханизма в момент времени t. |
|
|
|
|
|||
Применим теорему об изменении ки- |
|
|
|||||
нетической энергии механической систе- |
|
|
|||||
мы в дифференциальной форме: |
|
|
|
||||
|
dT = Z8AZ' |
|
(1) |
|
|
||
Кинетическая энергия системы |
[см. |
|
|
||||
решение задачи 38.50, формула (3)] |
|
|
|
||||
|
|
1 (т |
3A/Y_ |
ч2 2 |
1 г |
2 |
* г -2 |
|
2 1 |
з " + Т |
J |
2 пр |
= |
^ /прф |
|
где / - |
+ _ _ |
(Д+г)2. |
|
|
|
|
|
|
2 |
/ |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dT = Iпрф^ф = Iпр ~ |
^ф- |
(2) |
||
|
|
|
|
|
at |
|
|
Определим сумму элементарных работ внешних сил, действую-
щих на систему: |
|
25Ае = 5Лвр + 5Лтр. |
(3) |
Так как механизм расположен в горизонтальной плоскости, то силы тяжести работы совершать не будут.
Вычислим элементарную работу момента трения на оси сателлита:
8Атр = -Л/трЛр,, |
(4) |
|
где ф, — угол поворота сателлита относительно |
кривошипа. |
|
Так как угол поворота пропорционален угловой скорости, то |
||
Ф _ |
со |
|
ф, |
со,' |
|
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
345 |
||||
Найдем угловую скорость кривошипа: |
|
|
|||
|
М0~—М™ |
f |
J L ^ |
|
|
со = |
г |
|
1 - е |
|
|
|
ос |
|
|
|
|
М0--Мц |
JL-Л |
|
т |
,т 3М\,п |
ч2 |
О т в е т : ю = |
1 - е 'пр |
. где/ п р |
= |у + — |(Л+/-)2. |
||
а |
|
|
|
|
|
Задача 38.52
Кривошип ООх гипоциклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, вращается с постоянной угловой скоростью со0- В некоторый момент времени двигатель был отключен и под действием постоянного момента M w сил трения на оси сателлита (подвижного колеса) механизм остановился.
Определить время т торможения и угол ср поворота кривошипа за это время, если его масса равна Ми М2 — масса сателлита, Rar — радиусы большого и малого колес. Кривошип принять за однородный тонкий стержень, сателлит — за однородный диск.
Указание. Применить теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы, состоящей из кривошипа ООх и двух колес: неподвижного колеса 1 и подвижного колеса 2 — сателлита.
Покажем на рисунке положение механизма в момент /, отметив начальное положение.
346 X. Динамика материальной системы
Применим теорему об изменении кинетической энергии механи-
ческой системы в дифференциальной форме: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dT = JfiAi- |
|
|
(1) |
|||
Найдем кинетическую энергию системы: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Т = ТКР + |
Т2. |
|
|
(2) |
||
Кинетическая энергия кривошипа ООи совершающего вращатель- |
|||||||||||
ное движение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гкр |
Л W Л М Ш ? ^ Л M A X z i t j . |
|
||||||||
|
р |
2 |
|
|
2 |
3 |
|
2 |
3 |
|
|
Кинетическая энергия сателлита, совершающего плоскопараллель- |
|||||||||||
ное движение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
_ M A , 1 , |
(02 |
_ M2vj |
1 |
1 M2r2 |
v22 _ 3M2v\ |
. |
||||
|
|
1 |
IQ |
|
|
Г- = |
|
||||
|
|
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 2 |
г 2 |
4 |
|
|
Найдем скорость v2 |
оси сателлита: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
v2 = (0<%>j =(/?-r)(a |
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
1 ЗД/2(Д-Г)2Ю2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Кинетическая энергия системы согласно формуле (2)
2 |
3 |
2 |
3 |
|
21 3 |
2 |
2 |
ю2 |
= |
|
у |
|
|
||||||
|
|
|
1 г |
2 1 , |
.2 |
|
|
|
|
|
|
= |
2 лр® |
=2 п р ф |
|
|
|
|
|
ГДе ' " ' 1 3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим дифференциал кинетической энергии: |
|
|
|
||||||
|
|
dT = /г,рф<Лр = /п р |
dt |
|
|
|
(3) |
||
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
347 |
Так как механизм расположен в горизонтальной плоскости, то силы тяжести работы не совершают, т.е.
5А% = 5Ятр.
Определим элементарную работу момента трения Л/Тр:
H p = -Mwd<f>2.
Выразим угол поворота сателлита <р2 через угол поворота кривошипа ф:
R-r |
|
Ф 2 = — ф, |
|
Г |
|
с/ф2 =— t/ф. |
|
Г |
|
Тогда |
|
Ир = ~-MTpd(p. |
(4) |
г |
|
Подставим выражения (3) и (4) в дифференциальное уравнение (1):
/ п Рat^ Ф = --Мтг Р<Лр- |
(5) |
Сократим на <Лр, разделим переменные и проинтегрируем полу-
ченное равенство: |
|
|
0 |
jj |
I |
Лч> |
= — M ^ \ d t , |
|
(ОО |
Г |
О |
|
л |
|
-1прЩ |
= -~MTpt. |
|
Отсюда время торможения |
г1пр |
|
х = |
|
|
RM!i£-(0o. |
||
|
Tp |
|
Для определения угла поворота кривошипа ф запишем дифференциальное уравнение (5) в виде
/п р фйГф = |
R |
Л/трО'ф- |
г |
348 |
X. Динамика материальной системы |
Проинтегрируем
О ft ф
/п р /ф<Лр = — Mjpjdip
щг о
и получим
|
2 |
|
г |
|
|
Откуда угол поворота кривошипа |
|
||||
|
Ф = |
1 |
г1т |
г |
|
|
2 |
|
— « о - |
|
|
|
|
Шур |
|
||
О т в е т : г - ^ о |
* <р=4 ^ ^ |
, |
где INP J M ± + |
L M L ) ( R - R ) \ |
|
RMTр |
2 лЛ/тр |
V 3 |
2 у |
||
|
Задача 38.53 |
|
|||
Крестовина С приводится во вра- |
|
||||
щение вокруг неподвижной оси Ot по- |
|
||||
средством однородного стержня АВ, |
|
||||
вращающегося вокруг неподвижной |
|
||||
оси О (оси О и О, |
перпендикулярны |
|
|||
плоскости рисунка). При этом ползу- |
|
||||
ны А и В, соединенные при помощи |
|
||||
шарниров со стержнем АВ, скользят |
|
||||
вдоль взаимно перпендикулярных про- |
|
||||
резей крестовины С. Вращение стерж- |
|
||||
ня происходит под действием постоян- |
|
||||
ного вращающего момента тв р . Определить угловую скорость стержня АВ в момент, когда он сделает четверть оборота, если в начальный момент при ф = 0 он имел угловую скорость со0.
Величина момента сопротивления, возникающего в каждом из шарниров ползунов А и В, в два раза меньше тв р . Прочими силами сопротивления пренебречь. Масса стержня равна т\ момент инер-
ции крестовины С относительно оси ОХ равен /: 00\ =ОА-ОВ |
= 1. |
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
349 |
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. Покажем на рисунке конечное положение системы, когда стержень АВ повернулся на угол
Ф = —, отметив ее начальное положение штриховой линией.
2
Найдем угловую скорость крестовины в конечном положении. Ползуны А и В совершают сложное движение: абсолютное вместе со стрежнем АВ, переносное - вращательное вместе с крестовиной,
относительное — вдоль прорезей крестовины.
Выразим абсолютную скорость ползунов А и В через угловую скорость стержня АВ:
VA~VB~ О»/.
Из параллелограмма скоростей ползунов А и В (см. рисунок) найдем
VА ~ VA c o s 45°,
v% = vA cos 45°.
Определим угловую скорость крестовины С:
сос |
|
со |
|
ОхА I/cos 45° |
2 |
||
|