doc2
.pdf310 |
-X. Динамика материальной системы |
Найдем кинетическую энергию системы, когда груз D поднялся на высоту А:
|
Т = Tt+T2 |
+ T3 + T4. |
|
(3) |
||
Кинетическая энергия шкива I |
|
|
|
|||
7 1 - 1 / |
м 2 _ 1 |
M^fR^v2 |
|
_МхЩг)2у2 |
||
2 |
2 |
2 |
\r J г2 |
|
4 |
|
и шкива II |
|
|
|
|
|
|
Ti _ 1 J _ |
1 M2R2 у2 |
_ M2(R/r)2v2 |
||||
Кинетическая энергия барабана |
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
2 |
г |
|
4 |
Кинетическая энергия груза D |
|
|
|
|
||
|
|
™ M4v2 |
|
|
|
|
|
|
1л = —-—. |
|
|
||
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|
||
т = |
|
4 |
+ — i + - |
v2 = |
||
|
|
|
4 |
|
2 |
|
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
311 |
||||||||
|
= {M,(R/r)2 + M2(Rlr)2 + M3+2M4]^. 4 |
(4) |
|||||||
Определим работу внешних сил: |
|
|
|
||||||
|
|
|
= AX+A2 + A3 + A4 + AN +Am . |
(5) |
|||||
Работа Л, И А 2 |
СИЛЫ тяжести шкива I и шкива II равны нулю. |
||||||||
Работа А3 силы тяжести барабана и работа А^ сил реакций связей |
|||||||||
NK и Ng тоже равны нулю. |
|
|
|
|
|
||||
Работа силы тяжести груза D |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
А4 = |
-M4gh. |
|
|
|
|
Работа вращающего момента т: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
R h |
mh |
|
|
|
|
|
Ат |
=/иф = /и г г = |
-гТ . |
|
|
||
Тогда согласно формуле (5) |
|
|
|
|
|
||||
|
ХДГ =^h-M4gh |
|
= [m^-M^h. |
(6) |
|||||
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение (2): |
|
||||||||
1У |
, R\2 |
+ М2 |
(RУ |
М3 . . . |
v2 |
( R |
\h |
||
Т = Л/, |
— |
|
— + |
|
—-+1Мл+2М4 |
4 |
= | m—-M4g |
||
|
|
|
|
|
|
4 |
У г |
|
|
инайдем скорость груза
у= 2 , h(m(R/r2)-M4g)
Л/, (R/r)2 + M2(R/r) + M3+2 M4
о |
тi |
h(m(R/r2)-M4g) |
|
О т в е т : |
v = 2 |
Л/, (R/r)2 |
v |
|
|
+ M2(R/r) + М3+2 М4 |
|
Задача 38.37
Решить предыдущую задачу, принимая во внимание массу каната, к которому привязан груз. Длина каната /, масса единицы длины каната равна М. В начальный момент с вала барабана ворота свисала часть каната длиной 2h.
314 |
|
-X.Динамика материальной системы |
Работа силы тяжести каната |
|
|
Лан |
= J Mgxdx = |
--Mgh2. |
|
2h |
|
Тогда согласно формуле (5)
ZAek=\m-^-M4g-^Mgh |h. (6)
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение (2):
[Mx{Rjr)2 + M2{Rjr)2 + М3 +2М4 +2Ml] ^ = |
- M4g--Mgh^h |
и найдем скорость груза с учетом массы каната:
R |
3 |
h\m-j-M4g--Mgh |
|
v = 2i M](R/r)2 + M2(R/r)2 + Mi+2M4 +2 Ml |
|
- M4g |
Mgh |
О т в е т : v = 2 Mi (R/r)2 + M2(R/r) + Мг + 2 M4 + 2 Ml
Задача 38.38
Постоянный вращающий момент L приложен к барабану ворота радиуса г и массы Mv К концу А намотанного на барабан троса привязан груз массы Мъ который поднимается по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту. Какую угловую скорость приобретает барабан ворота, повернувшись на угол ф? Коэффициент трения сколь-
жения груза о наклонную плоскость равен/. Массой троса пренебречь, барабан считать однородным круглым цилиндром. В начальный момент система была в покое.
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
315 |
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. Покажем на рисунке начальное положение системы.
Применим теорему об изме- |
|
|
нении кинетической энергии ме- |
|
|
ханической системы: |
|
|
(1) |
|
|
Так как система неизменяема, |
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 ^ |
|
то работа внутренних сил X 4 = 0. |
||
|
Вначальный момент система находилась в покое, т.е. Т0 =0.
Сучетом этого выражение (1) примет вид
5Г = Х4? . |
(2) |
Найдем кинетическую энергию системы, когда барабан повернулся на угол (р:
Т = Т6 + Тгр. |
(3) |
Кинетическая энергия барабана
2 |
2 |
2 |
Кинетическая энергия груза
_ Mjv2 _ М2(а>г)2 _ М2г\о2
|
2 |
2 |
~ |
2 |
|
|
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|
||
М\ г2 со2 |
М2г2(£>2 |
(М\+2М2) |
г2 |
со2 |
||
Т = - |
4 |
= |
|
(4) |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
Определим работу внешних сил: |
|
|
|
|
||
ХД? = Afb+ATp+ATp |
+ |
AN+AL. |
(5) |
|||
Работа А5 СИЛ тяжести барабана равна нулю.
316 |
-X. Динамика материальной системы |
Работа силы тяжести груза
Атр = -M2gs sin а = -M2gr<psin а.
Работа силы трения груза о плоскость
Аур = -Frps = -Nfs = -M2gfs cosa = -M2gfnpcosa.
Работа AN сил реакций связей N, X0 и YN равна нулю. Работа вращающего момента L
AL = 1Ф.
Тогда согласно формуле (5)
= Lq>-(sm<x+f cosa) M2grq> =
= \L - |
(sin a + / |
cos a) M2 gr) ф. |
(6) |
||
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение (2): |
|
||||
(Му +2 М2) r V |
= [ I - ( s i n a + / cosa)Af2 gr^ |
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
и найдем угловую скорость барабана ворота: |
|
|
|||
_ 2 |
IL - M2gr(sm a + / c o s a ) |
ф' |
|
||
® ~ 7 V |
|
л/, |
+2м2 |
|
|
2 IL - M2gr(sm a + f cosa) |
|
|
|||
О т в е т : ю = - |
|
—l |
1 <p. |
|
|
r \ |
Mx+2M2 |
|
|
|
|
Задача 38.39
Решить предыдущую задачу с учетом массы троса, к которому привязан груз. Длина троса равна I, масса единицы длины троса равна М. В начальный момент с барабана ворота свисала часть троса длиной а. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного на барабан, пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. Покажем на рисунке начальное положение системы.
318 |
|
|
|
|
|
|
|
-X. Динамика материальной системы |
||||
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
т |
М^а2 |
M2r2o)2 |
|
MlrW |
... |
,-..Лг2со2 |
|
|
... |
||
|
Г = — 4 |
+ —£2 |
+ |
|
2 |
= (М\ + 2М2+2М1) |
4 |
. |
(4) |
|||
Определим работу внешних сил: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
£ 4 » |
=Лб + 4 р + 4 р + Лг+Ллг + 4, . |
|
|
(5) |
|||||
Работа А6 силы тяжести барабана равна нулю. |
|
|
|
|||||||||
Работа силы тяжести груза |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Аур = ~M2gs sin а = -M2gr<$ sin а. |
|
|
|
||||||
Работа силы трения скольжения груза о плоскость |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Атр = -FypS = -Nfs = |
-M2gfnpcosa. |
|
|
|
|||||
Работа силы тяжести троса |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( a - n p ) s i n a |
|
д ^ . 2 ( a - n p ) s i n a |
Mg[(a -гф)2 sin2 a - a2 sin2 a ] = |
||||||||
Ат = |
| |
Mgxdx- |
|
|
|
|
||||||
|
в sin a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ~(г2 ф2 -2af4p)sina = |
- r<p)(psina.. |
|
|
|
||||||
Работа А^ сил реакций связей равна нулю. |
|
|
|
|
||||||||
Работа вращающего момента L |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Al |
- Lq>. |
|
|
|
|
|
Тогда согласно формуле (5) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
X 4? = Lф - (sin a + / cosa)M2gry |
- ^—(2 a-r(p)ysma |
|
= |
|
|||||||
|
= l [ 2 I - 2 A / 2 g K s i n a + / c o s a ) - M g r ( 2 a - / ^ ^ s i n a ] ^ |
|
(6) |
|||||||||
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение (2): |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
( М , + 2 М 2 + 2 М / ) — = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
= -[2L-2M2gr |
(sin a + / c o s a ) - Л/^г(2д - |
гф) sin а] ф |
|
|
|||||||
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
319 |
и найдем угловую скорость барабана ворота с учетом массы троса:
_ 1 I2L - 2 M2gr (sin а + / cosa)-Mgr(2а - гу) sin о,
Ю ~ |
Л/, +2М2 |
+2М1 |
Ф' |
О т в е т - co = i |
l2L-2M2gr(sina+/cosa) |
- Mgr(2a - |
rcp)sma |
rV |
M[+2M2+2M1 |
|
|
Задача 38.40
К барабану ворота радиуса гх и массы Мх приложен постоянный вращающий момент L. К концу троса, намотанного на барабан, прикреплена ось С колеса массы М2. Колесо катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту. Какую угловую
скорость приобретет барабан, сделав п оборотов? Барабан и колесо считать однородными круглыми цилиндрами. В начальный момент система находилась в покое. Массой троса и трением пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение системы, состоящей из барабана и колеса, соединенных тросом.
Покажем на рисунке конечное и начальное положения системы.
Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
= |
+ |
(1) |
Так как система неизменяема, то £ А |
= 0. |
|
В начальном положении система находилась в покое, т.е. Т0 = 0. Тогда выражение (1) примет вид
г = 1 4 ? - |
(2) |