doc2

Главный момент количеств движения системы в момент вылета

и найдем угловую скорость трубки в момент вылета из нее шарика:

на острие так, что ось его горизонтальна. Вдоль стержня могут перемещаться два шарика массы М2 = 5 кг каждый, прикреплен-

ные к концам двух одинаковых пружин.

Стержню сообщается вращательное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, соответствующей щ = 64 об/мин, причем шары расположены симметрично относительно оси вращения и центры их с помощью нити удерживаются на расстоянии 2/, = 72 см друг от друга. Затем нить пережигается, и шары, совершив некоторое число колебаний, устанавливаются под действием пружин и сил трения в положение равновесия на расстоянии 2/2 = 108 см друг от друга. Рассматривая шары как материальные точки и пренебрегая массами пружин, определить новое число п2 оборотов стержня в минуту.

Р е ш е н и е

К данной механической систе-

\

ме приложены внешние силы: сила тяжести Mxg стержня АВ, силы тяжести шаров, каждая равная M2g, реакция R острия.

Применим теорему об изменении главного момента количеств движения системы относительно оси z:

dtх _ 1мгт

Так как векторы внешних сил либо пересекают ось z, либо параллельны ей, то главный момент внешних сил

о,

поэтому

Lz = L]Z = L2z = const.

Главный момент количеств движения системы в момент, когда шары удерживаются нитью:

Aj = Агг

Определим момент количества движения стержня АВ относительно оси z, проходящей через центр его тяжести:

и момент количества движения шара как точечного груза относительно оси z

Lm = M2lh\-

Главный момент количеств движения после пережигания нити, удерживавшей шары, когда шары будут находиться на расстоянии 12 от оси вращения:

Найдем момент количества движения стержня АВ относительно оси z, проходящей через центр его тяжести,

• 1г ©2_= М,{21)2

12

и момент количества движения шара относительно оси z

Приравняем полученные значения главных моментов количеств движения системы:

Задача 37.58

Тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной скоростью v относительно стрелы. Мотор, вращающий кран, создает в период разгона постоянный момент, равный т0 . Определить угловую скорость со вращения крана в зависимости от расстояния Л; тележки до оси вращения АВ, если масса тележки с грузом равна М, I — момент инерции крана (без тележки) относительно оси вращения;

Тогда момент количества движения тележки

Л/г(Л/уабс) = Mz(Mvmv) + Mz{MvmH) = Mx2со,

так как Mz(Mvam) = О (вектор Mvom пересекает ось г). Следовательно,

- /со+ Mx2iо = (/ + Мх2)со.

Полученное значение главного момента количества движения подставим в равенство (2):

Так как относительное движение тележки — это равномерное движение со скоростью v, то

х- х 0 v

Тогда из уравнения (3) определим угловую скорость вращения крана

Задача 37.59

Сохранив условие предыдущей задачи, определить угловую скорость со вращения крана, если мотор создает вращающий момент, равный /яр-асо, где т0 и а — положительные постоянные.

Найдем значение р, при котором выполняется это условие. Разделим переменные и получим

тогда

238 X. Динамика материальной системы

Решим уравнение (7). Разделим переменные и подставим вместор выражение (8). Тогда

(ось x направлена вправо вдоль стрелы).

38.Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Методические указания к решению задач

Кинетической энергией механической системы называется арифметическая сумма кинетических энергий всех материальных точек системы, т.е.

Если механическая система состоит из соединенных между собой определенным образом твердых тел, то кинетическую энергию системы определяют как арифметическую сумму кинетических энергий всех тел

где Тк — кинетическая энергия к-то твердого тела.

Формулы для определения кинетической энергии твердого тела в зависимости от вида его движения.

При поступательном движении

где /г — момент инерции тела относительно оси вращения; со — угловая скорость вращения тела.

При плоскопараллельном движении

где vc — скорость центр масс тела; 1Сг — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.