doc2

130 X. Динамика материальной системы

Задача 37.4

Натяжение ведущей и ведомой ветвей ремня, приводящего во вращение шкив радиуса г = 20 см, массой М= Ъ,П кг, соответственно равны: Тх = 100 Н, Т2 = 50 Н.

Чему должен быть равен момент сил сопротивления для того, чтобы шкив вращался с угловым ускорением е = 1,5 рад/с2? Шкив считать однородным диском.

Р е ш е н и е

Покажем на рисунке активные силы, действующие на шкив: силу тяжести Mg, силы натяжения ремня Тх и Т2, силы сопротивления с моментом Мс, реакции Y0 и Х0 связей.

Запишем дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси z'

Тогда уравнение (1) примет вид

mr2

(2)

Щ-г=Т1г-Т2г-Мс.

Из уравнения (2) найдем момент сил сопротивления:

Мс = ( 7 ] - Г 2 ) г - ^ - е = (100-50)0,2-3 '2 1 2 °'2 2 1,5г,9,8 (Н • м). О т в е т : 9,8 Н • м.

Задача 37.5

Для определения момента трения в цапфах на вал насажен маховик массой m = 500 кг; радиус инерции маховика р = 1,5 м. Маховику сообщена угловая скорость, соответствующая п = 240 об/мин; предоставленный самому себе, он остановился через 10 мин. Определить момент трения, считая его постоянным.

Р е ш е н и е

Покажем на рисунке активные силы, действующие на вал и маховик: силу тяжести trig, моменты сил трения в цапфах МА и Мв (суммарный момент трения в обеих цапфах Мтр - МА + Мв), реакции связей XА, УА и Хв, YB соответственно в опорах А и В.

Запишем дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси z'-

Получим

-ffzp2(Oo = -Mjpt,

где озо = пп

30'

Откуда найдем момент трения:

Задача 37.6

Для быстрого торможения больших маховиков применяется электрический тормоз, состоящий из двух диаметрально расположенных полюсов, несущий на себе обмотку, питаемую постоянным током.

Задача 37.7

Твердое тело, находившееся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным моментом, равным М\ при этом возникает момент сил сопротивления М\, пропорциональный квадрату угловой скорости вращения твердого тела: М\ = асо2. Найти закон изменения угловой скорости; момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен I.

Р е ш е н и е

Покажем на рисунке активные силы, действующие на твердое тело, вращающееся вокруг вертикальной оси: силу тяжести mg и моменты сил сопротивления Ми М\, реакции связей RA, RB соответственно в опорах А и В.

Запишем дифференциальное уравнение вращения твердого тела

Р е ш е н и е

Твердое тело вращается вокруг вертикальной оси под действием приложенных к нему активных сил (см. рисунок): силы тяжести mg, моментов сил сопротивления Ми Mi, реакции связей ЯА и RB соответственно в опорах А и В.

Запишем дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси z:

Потенциируем это выражение и находим закон изменения угловой скорости:

со = ——(1 —

а

О т в е т : со = — ( l - e ^ 1 ) .

а

Задача 37.9

Шарик А, находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня АВ длиной I, приводится во вращение вокруг вертикальной оси 0\02 с начальной угловой скоростью со0- Сила сопротив-

и получим

/1п2 = -аТ.

Откуда время, за которое угловая скорость шарика уменьшится в 2 раза,

а

Для определения числа оборотов п воспользуемся подстановкой

Ло _ соЛо dt d(p '

Тогда дифференциальное уравнение движения системы (2) примет вид

(3)

d<p

Разделим переменные и проинтегрируем уравнение (3):

top

29

/J Ло = - aj d<p.

о

Получим

Откуда найдем

и определим

У _ fop

2 к 4ка

Задача 37.10

Определить, с какой угловой скоростью со упадет на землю спиленное дерево массой М, если его центр тяжести С расположен на расстоянии h от основания, а силы сопротивления воздуха создают момент сопротивления т с , причем/исз, = -аф2 , где а - const. Момент инерции дерева относительно оси z, совпадающей с осью, вокруг которой поворачивается дерево при падении, равен I.

Р е ш е н и е

Рассмотрим вращательное движение дерева относительно оси Oz (см. рисунок) под действием активных сил: силы тяжести дерева Mg, момента силы сопротивления тс воздуха, реакции 70 в точке О. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении главного момента количеств движения механической системы относительно оси z:

^=1мгт, (1)

где ^Mz(Fke) = Mghsin(p+mcl = Mghsincp-асо2.

Представим

dcо _ oWco _ d(со2) dt d<p 2 dip

и обозначим со2 = Z.

Тогда уравнение (2) запишем в виде

J - / — = Mghsirup-aZ

2 dq>