doc2
.pdf50 X. Динамика материальной системы
= м(а2 |
+1R2) |
cos2 а+i - MR2 |
+ Mb2 |
= |
V |
4 J |
4 |
|
|
= М [ a 2 + i ^ 2 j c o s 2 c x + ^ 2 s i n 2 a + Z > 2
При упрощении учтено, что для круглого диска
Imi y J = ~MR\
атакже формулы (2).
Пр и м е ч а н и е . Решение этой задачи может быть проведено с использованием теоремы Гюйгенса — Штейнера:
|
|
I0=Icz'+Md2, |
|
|
|
|
hy = Ix-y- + Мхсус. |
|
|
О т в е т : |
1г=М а2 + - R 2 |
]cos2 a+-Л2 sin2 |
a +b 2 |
|
|
2 |
J |
4 |
|
Ixz |
= iV/Q/?2 + a2 jsinacosa, Jyz = |
Mabsma. |
||
|
|
Задача |
34.29 |
|
Однородная прямоугольная пластинка OABD массы М со сторонами а и b прикреплена стороной OA к оси ОЕ.
Вычислить центробежные моменты инерции пластинки lxy, lyz, Ixz.
Р е ш е н и е
Пластинка OABD лежит в плоскости х = 0.
Поэтому |
|
Ixz=]\xzdm\^0= |
О, |
s |
|
fxy = \jxydm\x^=Q.
s
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
51^ |
Вычислим /,yv
Iyz=j!yzdm
s
где dm = pdy dz, p = —. ab
О т в е т : Ixy = 1^= 0; Iyz
Ь(а |
\ |
A |
b2 |
= |
' . / t |
= pj |
jzdz у ay = p |
2 2 |
-Mab, |
||
ovo |
|
|
|
4 |
|
=-Mab.
Задача 34.30
Однородная прямоугольная пла- |
|
У |
|
|
|||||
стинка массы М со сторонами дли- |
|
|
|
||||||
|
«""— |
\ V |
|||||||
ны а и b прикреплена к оси z, прохо- |
|
||||||||
дящей через одну из ее диагоналей. |
^ |
о |
|
\У ш |
|||||
Вычислить центробежный |
мо- т\ |
|
/ ^ |
^ |
ш. 'г |
||||
мент инерции Iyz пластинки отно- |
|
|
|
|
|||||
сительно осей у и z, лежащих вместе |
X, |
|
|
|
|||||
с пластинкой в плоскости рисунка. |
|
|
|
||||||
Начало координат совмещено с цен- |
|
|
|
|
|||||
тром масс пластинки. |
|
|
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем координатых',/ иг'(см. |
|
|
|
|
|||||
рисунок) согласно формулам |
|
|
|
|
|
||||
х = х', |
у = у' cos a + ^'sina, |
|
|
|
|
||||
z — —y'sina + z' cos а, |
|
|
|
|
|
||||
b |
b |
, |
b |
a |
, a |
|
|
|
|
где tg a = —; — < y |
|
<-; |
—<z |
.<—• |
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
Пусть поверхностная плотность пластины
= К = М. •
Р~ 5 аЬ'
52 |
X. Динамика материальной системы |
Тогда центробежный момент инерции пластины |
|
Iyz = jjyzdm = р j J(y'cosa |
+ z'sma)(-y'sm<x + z'cosa)dy'dz' = |
s |
|
a ь |
|
iг
=pJ J ~(y')2 ]sinacosa+^Y(cos2 a-sin2 aj^dy'dz' =
аЬ
~2~2 |
|
|
|
|
, Ь 1 |
J |
2 |
(O'\3 |
|
|
|
,'\2 |
•dy' + pcos2a |
0 0 2 УЯ1 |
|||
= -psin2a |
j |
|
|
О |
|
2 |
ь |
|
|
Z=~2, |
Z |
|
|
|
|
|
V ) 2 |
|
_ psin2a |
? |
|
t |
— |
2 |
|
ь 12 |
|
|
y,=ь |
||
|
|
|
|
|
= -psin2a '^y'-a^l |
|
2 |
||
3 |
|
|||
|
|
12 |
,-J |
|
|
£fy' + p c o s 2 a 0 0 = |
|
1 |
. . (a\ |
by |
= - p s i n 2 a — b - a — |
||
2 |
U2 |
12 |
1 l/ |
2 1.2ч |
sinacosa |
|
M{a2-b2) |
tga |
||
=—pab(al-bl)—= |
j- |
=— |
12 |
— |
|||
12 |
|
sin a + cosz a |
|
|
l + tgz a |
||
|
_ M(a2 -b2) |
b/a |
Mab |
(a2-b2) |
|||
|
|
12 |
1+(b/a)2~ |
12 |
(a 2 |
+b2) |
|
О т в е т : Iyz |
M |
ab(a2-b2) |
|
|
|
|
|
12 |
a2+b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Задача 34.31 |
|
|
|
|
|
|
Вращающаяся часть подъемного кра- |
|
|
|
||||
на состоит из стрелы CD длины L и мас- |
|
|
|
||||
сы , противовеса Е массы Мг и груза К |
|
|
|
||||
массы М}. Рассматривая стрелу как од- |
£Г~~1 |
С |
|||||
нородную тонкую балку, а противовес Е |
|||||||
и груз А" как точечные массы, определить момент инерции Iz крана относительно вертикальной оси вращения z и центробежные моменты инерции относительно
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
53^ |
осей координат х, у, z, связанных с краном. Центр масс всей системы находится на оси z; стрела CD расположена в плоскости yz-
Р е ш е н и е
Запишем координаты характерных точек подъемного крана (см. рисунок):
|
E(0,-a,h), |
|
|
|
|
|
||
|
С ( М , Л). |
|
|
|
|
|
||
|
D(0,L,sina, |
h + Lcosa); |
£[~П |
с |
|
|||
|
Кф, Lsina, A+Xcosa - /) . |
|
|
|
||||
|
По определению осевого момента |
|
|
|
||||
инерции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Isina |
|
|
|
|
|
|
|
|
Iz = М2а2 + \ у2dm + M3(L sin a)2 . |
|
|
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Однако |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dm = pdl = pjdy2 |
+ dz2 = Р,Д + |
2 dy, |
|
||||
где |
Ms |
+ yctga. |
|
|
|
|
|
|
P = -T1; Z = A |
|
|
|
|
|
|||
|
Li |
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M, |
|
|
|
|
|
|
|
dm = —-y/l+(ctga)2 dy = |
Lsina |
|
|
|||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
«./• |
ILsinna |
|
|
|
1/ |
„3 Lsina |
|
/ |
_j|/fl2+_«!_Г RIN Л1 |
•r y2dy + M3(Lsina)2 |
= M2a2 |
TCLRT N |
"S |
|||
|
Lsina |
|
|
|
|
Lsina |
3 |
|
|
+ A/3(Z,sina)2 |
= M2a2 + [ M3 |
|i2 sin2 a; |
|
||||
|
|
|
|
isina |
|
|
|
|
|
Ixy = Л/2-0 |
( - а)+ |
| |
xy ^/M|x=0 + A/3 0 Zsina = 0; |
|
|||
о
54 X. Динамика материальной системы
|
|
|
|
Lsina |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ixz |
= M20h |
+ |
J |
xz dm\x=Q + M3 |
0 (h ~/ + £cosa) = 0; |
|
||||||||
|
|
|
|
I. sin |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iyz |
= M2(-a)h |
+ |
J |
yz dm + Mj £ ( / ; - / + Z,cosa)sina = |
|
|||||||||
• М^L(h-/ |
+ Icosa)sina - M 2 ah + Mi |
|
L s i n a |
|
|
|||||||||
— |
f |
y(h + yctga)dy |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Lsina |
Q |
|
|
|
|||
= Л/3 L(/i - / + L cosa) sin a - |
|
M\ |
|
( |
|
V2 |
V3 |
y=L sin a |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
М2а/г + -p—'— |
|
h— |
+ — ctga |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Lsina ^ |
2 |
3 |
y=0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Мгин-/ |
+ £ cosa)sina - M 2 ah + |
|
|
|
|
|
+ |
|
= |
|||||
М3+-Л/, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
=2— L sin2 a + M3(h-l) |
+ |
^Mth Lsina- M2ah. |
|
|||||||||
О т в е т : Iz = М г |
а г |
s i n 1 |
a\ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Л/ 3 + -Л/, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ |
= |
|
3 — £ 2 s i n 2 a + |
|
|
|
|
|
|
Lsina- M2ah\ |
||||
* |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание.В приведенном в сборнике ответе были допущены опечатки.
35. Теорема о движении центра масс материальной системы
Методические указания к решению задач
Определение и физический смысл центра масс системы дан в предыдущем параграфе. Однако здесь уместно напомнить, что центр масс системы материальных точек — это геометрическая точка, координаты которой в декартовой системе координат определяются по формулам
_ |
Ъткхк |
|
|
Ътк |
|
Ус _ ЪткУк |
(35.1) |
|
|
щ |
|
. |
_ImkZk |
|
Zc |
—• |
|
Щ
При движении механической системы координаты хк, ук и zk материальных точек или центров тяжести тел, входящих в систему, изменяются с течением времени. Поэтому формулы (35.1) могут рассматриваться как уравнения движения центра масс, т.е.
хс=Л(0, |
Ус = flit), |
ъ = М ) . |
Зная уравнения движения, можно путем дифференцирования найти проекции скорости — хс, ус, tc и ускорения — хс, ус, Zc центра масс на оси декартовых координат, а затем определить его скорость vc и ускорение ас:
vc = *Jxc + |
yc+Zc |
|
ас =л1хс + |
Ус+?с- |
(35.2) |
Если же в некоторой механической системе центр масс окажется на звене, совершающем вращательное движение вокруг неподвижной оси, то vc и ас центра масс можно определить как скорость и ускорение точек тела при вращательном движении. Для этого нужно
56 X. Динамика материальной системы
знать расстояние от оси вращения до центра масс, угловую скорость и угловое ускорение вращения тела.
Теорема о движении центра масс механической системы — это выражение второго закона динамики для системы материальных точек при ее поступательном движении:
центр масс механической системы движется как любая материальная точка, масса которой равна массе всей механической системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему,
т.е. |
|
Mac = Re, |
(35.3) |
где М- Yjmk — масса всей системы; Re = |
te — главный вектор |
всех внешних F/ сил, приложенных к материальным точкам или телам механической системы.
Уравнение (35.3) может быть записано в скалярной форме в проекциях на оси декартовых координат или на естественные оси. В декартовой системе координат выражение (35.3) примет вид
мус - щ = i * * < ,
(35.4)
Как следует из формул (35.3) и (35.4), на движение центра масс механической системы влияют только внешние силы. Внутренние силы в механической системе прямого влияния на движение центра масс не оказывают, хотя их косвенное влияние имеет место в том случае, когда они являются источником возникновения (появления) внешних сил. Уравнения (35.4) позволяют решать две задачи, аналогичные двум основным задачам динамики материальной точки:
•первая задача — по известным массе системы и закону движения ее центра масс требуется определить главный вектор внешних сил, действующих на систему, или какую-либо одну из этих сил, когда известны другие силы;
•вторая задача — по известным массе системы, внешним силам, действующим на систему, и начальным условиям движения центра масс требуется определить закон движения центра масс.
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
57 |
Из теоремы о движении центра масс можно сформулировать два следствия.
1.Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс механической системы движется равномерно и прямолинейно либо покоится.
2.Если проекция главного вектора внешних сил, действующих на систему, на какую-либо ось равна нулю, то проекция центра масс на эту ось либо покоится, либо движется равномерно, т.е. если, например, Щ = 0, то хс = 0 => хс - const.
Если в начальный момент система покоилась, то
Х0С = 0 = х с => Хс - const,
т.е. проекция центра масс покоится. При Хос 0 центр масс движется вдоль оси х с постоянной скоростью.
Эти следствия выражают закон сохранения движения центра масс механической системы. Если координаты центра масс системы остаются неизменными во все время ее движения, то можно определить перемещение некоторых точек или тел системы, составив алгебраи-
ческое уравнение вида |
|
%ткАхк=0, |
(35.5) |
где Ахк — приращение координаты центра масс к-го тела при изменении положения тел в механической системе.
Последовательность решения задач этого параграфа:
1.Изобразить механическую систему, показав все внешние силы, включая и необходимые реакции связей, если система несвободна.
2.Записать для данной расчетной схемы теорему о движении центра масс в некоторой форме [см. формулу (35.3)].
3.Выбрать неподвижную систему координатных осей.
4.Записать теорему о движении центра масс в проекции на эти оси или на одну из осей [см. формулу (35.4)].
5.При необходимости определения какой-либо внешней силы выразить ее из уравнения, полученного в п. 4.
6.Используя формулы (35.1), определить координаты или уравнения движения центра масс. При определении скорости или ускорения центра масс эти уравнения следует продифференцировать.
58 X. Динамика материальной системы
7. Для определения закона движения центра масс составить дифференциальные уравнения вида (35.4), а затем проинтегрировать их, предварительно определив начальные условия движения центра масс при / = 0: хос, ук, Zoc, *ос, Уос, toe-
8.При решении задач на закон сохранения движения центра масс необходимо выполнить все указания пп. 1 —4, обосновать, будет ли центр масс покоиться или двигаться равномерно, показать координаты центров тяжести тел в начальном положении системы, определить их приращение Ахк, а затем составить уравнение вида (35.5) и определить перемещение некоторого тела при условии, что центр масс системы покоится.
9.Решение задачи необходимо дать в общем виде, а при необходимости в полученные выражения искомых величин подставить числовые значения.
Задачи и решения
Задача 35.1
Определить главный вектор внешних сил, действующих на маховик М, вращающийся вокруг оси АВ. Ось АВ, укрепленная в круговой раме, в свою очередь вращается вокруг оси DE. Центр масс С маховика находится в точке пересечения осей АВ и DE.
Р е ш е н и е
Запишем теорему о движении центра масс механической системы:
Радиус-вектор центра масс механической системы определяется по формуле
гс
5 > *
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
59 |
Так как положение центра масс маховика при движении не меняется (это точка С), то ?с = 0, а значит, и
Х # = О,
т.е. главный вектор внешних сил равен нулю.
О т в е т : главный вектор внешних сил равен нулю.
Задача 35.2
Определить главный вектор внешних сил, приложенных к линейке АВ эллипсографа, изображенного на рисунке. Кривошип ОС вращается с постоянной угловой скоростью со, масса линейки АВ равна М, ОС = АС - ВС = I.
Р е ш е н и е
Запишем теорему о движении центра масс механической системы:
Mk = |
(1) |
Проекции радиуса-вектора на оси координат (см. рисунок) найдем по формулам
хс ~ I ЩХк
2 > *
V - ЪткУк
УС >
Ф = со/. |
(4) |
Так как дана только масса линейки АВ, то
М ОС cosсо/ |
= /cosco/, |
|
*с = • |
М |
|
|
|
|
у с = / sin со/.