doc2

160 X. Динамика материальной системы

MR2 MR2

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищем в виде суммы

где ф| — общее решение однородного дифференциального уравнения ф+&2ф = 0,

А.

ф2 — частное решение, которое ищем в виде правой части дифференциального уравнения (2) при отсутствии резонанса, т.е. когда рфк,

Найдем постоянные интегрирования D и Е. Для этого дважды продифференцируем по времени выражение (5):

ф2 =-Ер2 sinpt.

Подставим значения ф2 и ф2 в дифференциальное уравнение (2) и получим

-Ер2 sinpt + k2Dt + к2Е sinpt = dt + h sin pt.

Откуда

(6)

k2 - p 2

Запишем выражение (3) с учетом формул (4)—(6):

Постоянные интегрирования А и В найдем с учетом начальных условий: / = 0, ф0 =0» фо =0, продифференцировав уравнение (11):

Подставим значения А и В в уравнение (11) и получим закон дви-

Задача 37.21

Твердое тело, подвешенное к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции тела относительно оси проволоки г равен Iv Момент сил упругости проволоки niynpz = - сф,

где с — коэффициент упругости, а <р — угол закручивания; момент сопротивления движению mcz = -(Зф, где ф — угловая скорость твердого тела, а р >0. В начальный момент твердое тело было закручено на угол фо и отпущено без начальной скорости. Найти уравнение

движения твердого тела, если _Р_

2L

Р е ш е н и е

Рассмотрим крутильные колебания тела в жидкости. На рисунке покажем силы, действующие на тело: силу тяжести Mg тела, реакцию N проволоки, моментгИуПрг сил упругости проволоки, момент тс. сопротивления движению.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения тела относительно оси z:

Найдем значение главного момента внешних сил относительно оси Z'-

Уравнение (2) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний, так как

Постоянные интегрирования А и В найдем с учетом начальных условий движения: / = 0, ф0 = 0, ф0 * 0, подставив их в уравнения (3) и (4). Тогда

А= щ,

р_ "Фо

Подставим эти значения А и В в уравнение (3) и получим уравнение движения тела:

О т в е т : затухающие крутильные колебания по закону

Задача 37.22

Однородный круглый диск массы М и радиуса R, подвешенный к упругой проволоке, может совершать крутильные колебания в жидкости. Момент сил упругости проволоки /ЯупРг; = - сф, где ось z проведена вдоль проволоки, с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания; момент сопротивления движению --(Зф, где ф — угловая скорость диска, а р > 0. В начальный момент диск был закручен на угол ф0 и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение

Р е ш е н и е

Рассмотрим крутильные колебания тела в жидкости. Покажем на рисунке силы, действующие на тело: силу тяжести Летела, реакцию N проволоки, момент mynpz сил упругости проволоки, момент тС1 сопротивления движению.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения тела относительно оси Z'-

Найдем главный момент внешних сил относительно оси г\

Тогда дифференциальное уравнение (1) примет вид /г ф= -рф-сф.

После преобразований получим

/ г ф + Р ф + с ф = 0

или

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний, решение которого зависит от значения корней харак-

166 X. Динамика материальной системы

Постоянные интегрирования найдем с учетом начальных условий движения: t = 0, ф0 =0, ф0 подставив их в уравнения (5) и (6): £ = ф 0 , Л = Иф0.

Значения А и В подставим в уравнение (5) и получим уравнение движения диска для этого случая:

Постоянные интегрирования найдем с учетом начальных условий движения: / = 0, ф0 = 0, ф0 * 0, подставив их в уравнения (7) и (8). Тогда

Фо(Л/Я2-£2+/з)

В = ф0 {^п2 -кг - п)

Значения А и В подставим в уравнение (7) и получим уравнение движения диска для этого случая:

Задача 37.23

Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента mBZ - щ cos pt, где т 0 и р — положительные постоянные, a z — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки туПрг = - с ф , где с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания. Момент инерции твердого тела относительно оси z равен Jz. Силами сопротивления движению пренебречь. Определить уравнение движения твердого тела в случаях: 1) -Jc/Iz * р, 2) -Jc/Iz = р, если в начальный момент при ненапряженной проволоке твердому телу была сообщена угло-

в а я СКОРОСТЬ (OQ.

Р е ш е н и е

Рассмотрим крутильное колебание тела под действием приложенных сил. Покажем на рисунке действующие на тело силы: силу тяжести Mg тела, момент/ИуПрг сил упругости проволоки, внешний момент тъг, реакцию N проволоки.

Запишем дифференциальные уравнение вращательного движения тела относительно оси z'-

Найдем главный момент внешних сил относительно этой оси:

и подставим его значение в уравнение (1):

/г ф = щ cospt — Сф.

После преобразований получим

сЩ

ф+ — ф = — cos pt h h

или

Общее решение ф неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде суммы общего решения ф) однородного дифференциального уравнения

ф+£2 ф = 0

и частного решения ф2 в виде правой части уравнения (3), т.е.

Найдем постоянную интегрирования D, подставив значения ф2 и ф2 в уравнение (3):

- Dp 2 cospt + Dk2 cospt = h cos pt.

Откуда

к2-р2'

Подставим выражения (5) и (6) с учетом значения постоянной интегрирования D в уравнение (4) и получим

Продифференцируем уравнение (7) по времени:

hp

ф= Ak coskt—Bk sin k t — . sin pt.

V-2

к ~ р 1

Найдем постоянные интегрирования А и В с учетом начальных условий движения: t = 0, ф0 =0, ф0 = (ОоТогда

Л = В = ~ h

кк1 -р1

Подставим значения постоянных интегрирования в уравнение (7) и получим уравнение движения тела для первого случая:

Дважды продифференцируем уравнение (8) по времени:

ф2 = Е sin pt + Etp cos pt,

ф2 = Ер cospt + Ер cospt - Ер21 sin pt.

Найдем постоянную интегрирования E. Подставим выражения ф2 и ф2 в уравнение (3) и получим

2Ер cospt— Ep2t sin pt + Ek2t sin kt -h cos pt.