doc2

Полученные значения подставим в уравнение (3):

—A sin ф + B c o s y + A cosф+^—Bsin <р = l^ML sinф.

Найдем постоянные интегрирования А и В, решив систему уравнений:

Определим скорость со дерева в момент его падения, т.е. когда

к

Задача 37.11

Вал радиуса г приводится во вращательное движение вокруг горизонтальной оси гирей, подвешенной посредством троса. Для того чтобы угловая скорость вала через некоторое время после начала движения имела величину, близкую к постоянной, с валом соединены п одинаковых пластин; сопротивление воздуха, испытываемое пластиной, приводится к силе, нормальной к пластине, приложенной на расстоянии R от оси вала и пропорциональной квадрату ее угловой скорости, причем коэффициент пропорциональности равен к. Масса гири т, момент инерции всех вращающихся частей относительно оси вращения равен /; массой троса и трением в опорах пренебречь.

Определить угловую скорость ш вала, предполагая, что в начальный момент она равна нулю.

Р е ш е н и е

Рассмотрим поступательное движение гири и вращение вокруг горизонтальной оси вала с насаженным на него жестко демпфером. Движение гири происходит (см. рисунок) под действием активных сил: силы тяжести mg гири, сил сопротивления F„ пластин, реакций YQ И Х0 опор.

Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении главного момента коли- F. честв движения механической системы относительно оси z:

at

где

lMz(Fe) = mgr-ZFkR = mgr-(o2ZkR =

= mgr - knRiо2;

Lz = Lzr + L,дсмпф = Mz(Mvr) + I(o =

- mr2u>+ Iii>={mr2 + i)ax

Тогда

Постоянную интегрирования С{ найдем из начальных условий cog =0 при t0 = 0. Тогда Сх = 0. С учетом этого выражение (2) примет вид

Введем обозначение:

ос = IJknRmgr mr2 + I

и найдем закон изменения угловой скорости со:

Значение максимальной скорости можно также определить из условия, что при

® = С0тах

dt

С учетом этого выражение (1) примет вид

0 = mgr-knR(n2max.

Откуда

большом значении t угловая скорость со близка к постоян- mgr

knR

Задача 37.12

Упругую проволоку, на которой подвешен однородный шар с радиусом г и массой т, закручивают на угол ф0, а затем предоставляют ей свободно раскручиваться. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один, радиан, равен с. Определить движение, пренебрегая сопротивлением воздуха и считая момент силы упругости закрученной проволоки пропорциональным углу кручения ф.

Р е ш е н и е

Рассмотрим вращение шара, подвешенного на упругой проволоке (см. рисунок). На шар действуют сила тяжести шараю£, момент силы упругости закрученной проволоки Мупр = сф, реакция Т проволоки.

Запишем дифференциальное уравнение вращения шара вокруг оси z, совпадающей с проволокой:

Тогда

2 2-я

-mrty = -сф,

22 -

-m r ф + с ф = 0, 5с Л

2mr

или

ф+Л2ф = 0,

где к = V2mr2'

(1)

Продифференцируем выражение (1) по времени: ф = -Вк sin kt + Dk coskt.

Постоянные интегрирования В и D найдем из начальных условий: ф0 = 0, фо = COQ при t = 0. Тогда 5 = 0, D =« о

С учетом значений B,Dv.k запишем уравнение движения балансира А:

(p=c°°Ssin&

О т в е т : ф = co0l|— sin

Задача 37.14

Для определения момента инерции 1г тела А относительно вертикальной оси Oz его прикрепили к упругому вертикальному стержню 00\, закрутили этот стержень, повернув тело А вокруг оси Oz на малый угол ф0 , и отпустили; период возникающих колебаний оказался равным Т ь момент сил упругости относительно оси Oz pa-

вен т1 = —сф. Для определения коэффициента с проделали второй опыт; на стержень в точке О был надет однородный круглый диск радиуса г массы М, и тогда период колебаний оказался равным Т2. Определить момент инерции тела Iz.

Р е ш е н и е

Вначале определим коэффициент жесткости стержня 00\. Для этого наденем на стержень круглый диск и рассмотрим движение системы, состоящей из однородного диска массы Ми упругого стержня. Покажем на рисунке активные силы: силу тяжести Mg, момент сил упругости mv реакцию N стержня.

Применим теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы:

(1)

at

Найдем момент активных сил относительно оси z:

и момент количеств движения диска:

Подставим полученные значения в уравнение (1) и получим

Подставим в это выражение выражение (2) и получим

[ОН

7] = 2 т i j 1 ^

4кМг2'

Откуда момент инерции тела А:

Mr2 f n f

О т в е т : l t = Mr2 h

\Тг

Задача 37.15

Решить предыдущую задачу в предположении, что для определения коэффициента с второй опыт проделывают иначе: однородный круглый диск массы М и радиуса г прикрепляется к телу, момент инерции которого требуется определить. Найти момент инерции тела I v если период колебаний тела т ь а период колебаний тела с прикрепленным к нему диском i2-

Р е ш е н и е

Вначале рассмотрим движение тела А (см. рисунок) под действием силы тяжести теда Mrg, момента /яупр сил упругости стержня и реакции N стержня.

Запишем дифференциальное уравнение вращения тела А вокруг оси V

Найдем главный момент внешних сил относительно оси z:

JJMz(Fke) = mynp =-сф.