doc2
.pdf100 |
|
|
X. Динамика материальной системы |
Поскольку Xq = xCl, |
то |
|
|
Мхх\ + М2х2 |
+ М3х3 |
+ Мхо = |
|
= M]xx+M2x2 |
+ M3x3+MxQ-l(Mi |
+ М2 + М3 + М) + |
|
|
+ h (М2 |
+ М3 cos 60°) |
|
или |
|
|
|
h (М2 + М3 cos 60°) = l(M\ +М 2 + М3 + М).
Откуда
, |
и,гж |
|
«у |
споч |
|
h(M2 |
+ М3cos60°) |
i = |
|||
I |
|
|
i |
|
|
|
М х + М 2 |
+ М 3 + М |
|
||
l-fl5 + |
1 0 - - l |
I |
2) |
v |
£ Z _ = |
20+15+10+100
л,л / ч |
\ |
o,14 (м) = |
14 (см). |
О т в е т : влево на 14 см.
Задача 35.21
Подвижный поворотный кран для ремонта уличной электросети установлен на автомашине массы 1 т. Люлька К крана, укрепленная на стержне L, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. В начальный момент кран, занимавший горизонтальное положение, и автомашина находились в покое.
Определить перемещение незаторможенной автомашины, если кран повернулся на 60°. Масса однородного стержня L длины 3 м равна 100 кг, а люльки К — 200 кг. Центр масс С люльки А-отстоит от оси О на расстоянии ОС =3,5 м. Сопротивлением движению пренебречь.
Р е ш е н и е
На механическую систему действуют внешние силы: сила тяжести Mtg автомашины, сила тяжести M2g стержня, сила тяжести M3g люльки, суммарная нормальная реакция N горизонтальной поверхности.
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
101 |
Запишем теорему о движении центра масс в векторной форме и в проекции на ось х:
Мас = M\g + M2g + M3g + N,
Mxc = XFfo = 0.
Тогда
x c = dtA = 0,
x c = C| = const.
В начальный момент времени система находилась в покое, по-
этому |
|
|
хОс=0, |
С, = 0, |
|
dxc |
п |
= const. |
Хс = —- = |
0 => хс |
|
dt |
|
|
Определим координату центра масс системы хс для двух положений: в начальный момент времени, когда кран занимал горизонтальное положение, и в момент времени, когда кран повернулся на 60° и автомашина переместилась вдоль оси х на /:
М\ Х\ + М2х2 + МуХз
М\ + М-, + Мл
102 |
|
X.Динамика материальной системы |
|
_ Мх(хх + ДХ|) + М2{х2 |
+ Дх2) + Л/3(х3 + Ах3) |
||
*С2 |
Мх+М2 |
+ М3 |
' |
Так как хс = const, то хС] |
= хСг или |
|
|
Mxhxx + М2Ах2+М3Ах3 =0. |
(1) |
||
Запишем Дхх=1 — перемещение незаторможенной машины, тогда |
|||
Дх2 = / — (1,5 —l,5cos 60°), |
|
||
Дх3 |
=/-(3,5-3,5cos60°). |
|
|
Подставим эти значения в равенство (1) и получим
МХ1 + М2[1 -1,5(1 - |
cos 60°)] + M3[l-3,5(1 - cos 60°)] = 0, |
||
откуда |
|
|
|
^ _ (1-cos60°)(1,5A/2 |
+3,5А/3) _ (1—0,5)(1,5-1.00 + 3,5-200) _ |
||
Мх+М2 + М3 |
~ |
1000+100+200 |
|
=0,327 (м) = 32,7 (см).
От в е т : направо на 32,7 см.
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения материальной системы.
Приложение к сплошным средам
Методические указания к решению задач
Главный вектор количества движения материальной системы (или просто количество движения системы) представляет собой геометрическую сумму количеств движения всех материальных точек данной системы
K = lm k vk . |
(36.1) |
Главный вектор количества движения системы может быть определен через скорость vc центра масс по формуле
К = МУС- |
(36.2) |
Формулы (36.1) и (36.2) применимы не только к системе материальных точек в виде твердого тела, но и к механической системе, состоящей из твердых тел. В этом случае под т к следует понимать массу к-го тела, под vCk — скорость центра масс этого тела, под М — сумму масс всех тел. Тогда количество движения к-го тела
Кк =mkvCk,
а главный вектор количества |
движения системы |
|
к = |
= Zmkvck = т . |
(36.3) |
Модуль главного вектора количества движения системы можно
определить через его проекции на оси декартовых координат:
Kx = |
1LKkx = |
Mxc, |
|
Ку - |
Y,Kky - |
My с, |
(36.4) |
|
|
|
Kz-lKkz=Mtc,
к = 4к1 + к2у+к2г.
Физическая величина, характеризующая действие внешних сил, приложенных к механической системе за некоторый промежуток
104 X. Динамика материальной системы
времени, называется импульсом главного вектора внешних сил или
полным импульсом и определяется по формуле
|
|
Se = \Redt. |
(36.5) |
|
Векторному равенству (36.5) соответствуют скалярные уравнения |
||||
|
|
^ = |
\Kdt, |
|
|
|
Sey = \Kydt, |
(36.6) |
|
|
|
SI = |
j%dt, |
|
где Rfx = |
Щ |
К = S ^ S ~ проекции главного |
вектора |
|
внешних сил на оси декартовых координат. |
|
|||
Тогда модуль импульса главного вектора внешних сил |
|
|||
|
|
Se=p*)2HSey)2HS<)2. |
(36.7) |
|
Если все внешние силы не зависят от времени, то S e равен про- |
||||
изведению Re |
на время действия сил. |
|
||
Теорема об изменении главного вектора количества движения механической системы может быть сформулирована в дифференциальной и интегральной формах.
Дифференциальная форма — производная по времени от главного вектора количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, т.е.
dK _ |
(36.8) |
|
dt |
||
|
Интегральная, или конечная, форма — изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени геометрически равно импульсу главного вектора внешних сил, действующих на точки системы, за тот же промежуток времени, т.е.
K 2 - K i = S e . |
(36.9) |
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения |
105 |
При решении задач уравнения (36.8) и (36.9) представляют в скалярной форме (в проекциях на оси декартовых координат):
dKx |
|
|
dt |
|
|
dKy |
— Ryy |
(36.8') |
dt |
||
dKz |
|
|
~dt~ |
|
|
К?Х - К\х - |
> |
|
Кгу - |
с е |
(36.9') |
\у - оУ |
||
Следствия из теоремы об изменении главного вектора количества движения:
1. Если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то количество движения механической системы есть величина постоянная.
2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось есть величина постоянная.
Из формул (36.9) и (36.9') следует:
•если полный импульс внешних сил равен нулю, то главный вектор количества движения системы сохраняется;
•если проекция вектора полного импульса внешних сил на ка- кую-либо ось равна нулю, то проекция главного вектора количества движения на эту ось остается величиной постоянной (если Щ = О или Sx - 0, то Кх = const).
Следствия из теоремы об изменении количества движения механической системы выражают закон сохранения количества движения.
Из формул (36.8), (36.9) и (36.8'), (36.9') следует также, что внутренние силы в механической системе не оказывают прямого влияния на изменение количества движения системы. Однако когда внутренние силы вызывают появление внешних сил в виде сил реакций связей, то тем самым косвенно они влияют на изменение количества движения.
106 |
X. Динамика материальной системы |
Теорема об изменении количества движения и теорема о движений центра масс механической системы представляют собой, по существу, две формы одной и той же теоремы, что следует из формулы (36.8), если в нее вместо К подставить равенство (36.2).
Поэтому в тех случаях, когда изучается движение твердого тела или системы тел, можно пользоваться в равной мере любой из этих форм.
При изучении движения сплошной среды, например жидкости или газа, понятие о центре масс всей системы теряет смысл. В этих случаях для решения задач пользуются теоремой об изменении количества движения, причем предпочтительно в интегральной форме.
Например, при движении жидкости по трубам или криволинейным каналам в формуле (36.9) под К\ и К2 понимается количество движения массы жидкости, протекающей через любых два сечения, например на входе и выходе этого канала, за некоторое время. В силу неразрывности потока эти количества движения будут одинаковыми и при равенстве площадей этих сечений скорость жидкости через них будет также одинаковой. Если площадь сечений разная, то масса протекающей жидкости будет одинаковой, но скорости V) и v2 будут разными.
Используя равенства (36.9'), можно определить составляющие реакций стенок канала, действующих на жидкость при движении ее на криволинейном участке канала. По закону равенства действия и противодействия жидкость с такой же силой будет действовать на стенку канала или трубы, что вызовет давление колена трубы на опору или, при отсутствии опоры, колено будет стремиться повернуться в сторону, противоположную движению жидкости на выходе из трубы. Масса жидкости, протекающей через поперечные сечения канала,
М = plV = povt, |
(36.10) |
где р — плотность жидкости; W— объем жидкости, протекающей за время t;a — площадь поперечного сечения канала (трубы); v — скорость протекания жидкости.
Задачи такого типа можно решать, используя теорему Эйлера об изменении количества движения применительно к сплошной среде: главные векторы объемных ^ и поверхностных сил Rmm и векторы количества движения масс жидкости, входящей и выходящей через
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения |
107 |
два каких-нибудь сечения в единицу времени, направленные внутрь выделенного объема, образуют замкнутый многоугольник, т.е.
+ Лиов + Щ |
- Mv2 = 0 |
(36.11) |
или в проекции на оси декартовых координат |
|
|
* о б + Хпов + |
M(ylx-V2x)=0, |
|
^об + ^пов + M(V\y - v2y) = 0, • |
(36.12) |
|
2об +ZnoB + M(vw-v2z) = 0. |
|
|
При этом под объемными (или массовыми) силами понимают силы, действующие на все частицы объема W, находящиеся как внутри этого объема, так и на его поверхности, например силы тяжести частиц.
Поверхностные силы — это силы, действующие только на частицы, лежащие на внешней поверхности объема, например реакции твердых стенок, между которыми движется жидкость.
Последовательность решения задач этого параграфа:
1.Изобразить механическую систему и показать все внешние силы, действующие на нее, включая и необходимые реакции связей, если система несвободная.
2.Записать теорему об изменении количества движения системы
вдифференциальной [формула (36.8)] или интегральной [формула (36.9)] форме для данной расчетной схемы.
3.Выбрать неподвижную систему координатных осей.
4.Вычислить проекции главного Re вектора внешних сил или проекцию импульса S е главного вектора на оси координат (или на одну какую-либо ось). При этом возможны два случая.
а) Проекция главного вектора Re или импульсаSе внешних сил, например, на ось Ох равна нулю (Rx - 0 или Sx = 0), тогда Кх - const. В этом случае необходимо определить проекцию количества движения в начальном и конечном положениях системы на ось Ох и приравнять их, т.е. К\х - К?*, й из полученного уравнения определить искомую величину (скорость всей системы в целом или какого-либо тела).
б) Проекция главного вектора Re или импульса Se внешних сил не равна нулю. Тогда необходимо записать теорему об изменении количества движения в скалярном виде — формулы (36.8') или (36.9')
108 |
X. Динамика материальной системы |
ииз полученного уравнения определить проекции всех внешних сил или одной из внешних сил на оси координат или на одну из осей. Количество движения системы и полный импульс внешних сил определить соответственно по формулам (36.4') и (36.6).
Последовательность решения задач с помощью теоремы Эйлера:
1.Изобразить на рисунке выделенный объем сплошной среды
ипоказать объемные и поверхностные силы.
2.Показать на рисунке векторы секундных количеств движения жидкости, протекающей через оба сечения, огранивающие рассматриваемый объем жидкости (газа), направив их внутрь этого объема.
3.Выбрать систему осей координат.
4.Записать теорему Эйлера в проекциях на оси декартовых координат [формулы (36.12)].
5.Определить из полученных уравнений (уравнения) искомую величину (как правило, реакцию стенок канала) в общем виде, затем при необходимости подставить числовые данные и рассчитать модуль' этой силы.
Задачи и решения
Задача 36.1
Определить главный вектор количества движения работающего редуктора скоростей, изображенного на рисунке, если центры тяжести каждого из четырех вращающихся зубчатых колес лежат на осях вращения.
Р е ш е н и е
Количество движения системы
1
где Кь... ,КЛ — количество движения колес, входящих в систему.
Так как центры масс колес С|, С2, С3 и С4 (см. рисунок) неподвижны, то количество
ж'ж
т.
шш '
]т |
ж 1 |
1 |
0,1 |
с2 |
жж
Ж с3 |
с ; |
ш.т
36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения |
109 |
движения каждого из них равно нулю, а значит, и количество движения системы равно нулю.
О т в е т : главный вектор количества движения равен нулю.
Задача 36.2
Определить сумму импульсов внешних сил, приложенных к редуктору, рассмотренному в предыдущей задаче, за произвольный конечный промежуток времени.
Р е ш е н и е
Сумма импульсов внешних сил равна нулю, так как скорости центров масс в начальном и конечном положении колес равны нулю:
с = Щ ( У к х - v 0 x ) =
Sky^mk(vky-v0y) |
= 0. |
О т в е т : сумма импульсов внешних сил равна нулю.
Задача 36.3
Определить главный вектор количеств движения маятника, состоящего из однородного стержня OA массы Мь длины 4г и однородного диска В массы М2, радиуса г, если угловая скорость маятника в данный момент равна со.
Р е ш е н и е
Скорости центров масс стержня и диска равны соответственно vA = со • 2 г, vB = со 5г (направления скоростей показаны на рисунке).
Направим ось х перпендикулярно стержню, тогда
K=Kx = M\vA + M2vB
(так как скорости vA и vB направлены одинаково).