doc2
.pdf10 |
X. Динамика материальной системы |
|
1ху = 1 / |
** sin2y. |
(34.20) |
При вычислении моментов инерции относительно осей, параллельных оси, проходящей через центр масс тела, применяется теорема Гюйгенса — Штейнера.
момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Пусть ось Oz параллельна оси Cz', проходящей через центр масс С тела. Тогда
I0z=ICz' + Md2, |
(34.21) |
где d — расстояние между осями.
Для центробежных моментов инерции зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей определяется по формулам
1х>> = 1х-у- + Мхсус; |
|
Iyz = I/z' + MyCZC,I |
(34.22) |
Jzx = h'x' + Mzc*c, |
|
где х', у', z — оси координат, проходящие через центр масс тела; х, у,
х — оси координат, параллельные осям х?, |
хс, ус, Zc — координаты |
центра масс тела в осях xyz- |
|
При решении задач этого параграфа все приведенные выше формулы могут быть применены в указанном виде, хотя в некоторых случаях не исключается иной подход.
Задачи и решения
Задача 34.1
Коленчатый вал трехцилиндрового двигателя, изображенный на рисунке, состоит из трех колен, расположенных под углом 120° друг к другу. Определить положение центра масс коленчатого вала, счи-
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
11^ |
тая, что массы колен сосредоточены в точках А, В и D, |
причем |
т А = т д =mD = т , и пренебрегая массами остальных частей вала. Размеры указаны на рисунке.
Р е ш е н и е
Определим координаты центра масс системы по формулам (34.1). Найдем координаты центров тяжести тел, входящих в систему (см. рисунок в условии задачи; вид слева):
хА - |
flfcos60°=-fif, |
л |
2 |
xsв = dc os60°= 2-d,
xD = -d\
yA = d cos 30°= — d,
Л
>>5 = - d c o s 3 0 ° = - y < / ,
Уо= 0;
ZB =0,
12 |
|
|
|
|
X. Динамика материальной системы |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
m\-d |
+ |
-d-d |
|
||
^ткд + хв + хр) _ |
|
\2 |
2 |
у |
Q |
|||
|
3/я |
|
|
|
3т |
|
|
|
|
|
ч /и |
( Я |
я |
Л |
л /Л |
|
|
|
|
— |
d |
2 |
Й?+0 |
|
||
„ - т(УА+Ув |
+ Ур) _ |
\2 |
|
1 |
= 0, |
|||
Ус — |
3/я |
— |
|
|
|
3 т |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
_ mfa + |
+ ф) _ /и(—b—д +0+f> + о) _ |
|||||||
|
3/я |
|
|
|
3/я |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
О т в е т : центр масс совпадает с началом координат О.
Задача 34.2
Найти уравнения движения центра масс шарнирного параллелограмма ОАВО\, а также уравнение траектории его центра масс при вращении кривошипа OA с постоянной угловой скоростью to. Звенья параллелограмма — одно- Q родные стержни, причем OA = ОхВ = АВ/2 - а.
Р е ш е н и е Определим координаты центра масс механизма
v |
_ IX** |
|
|
хс |
- —=, . |
|
|
|
2 > * - |
|
|
v |
_ 1ЩУк |
(1) |
|
Ус - — |
• |
||
|
I |
т к |
|
Центры масс стержней OA, АВ, 0 , 5 находятся в их серединах, т.е. соответственно в точках С ь С2, С3 (см. рисунок). Найдем координаты этих точек:
ft
* q |
= j cos со/, |
yC{ = |
j s i n c o / ; |
xCl |
= a + acosmt, |
yCl |
- a sin со/; |
xC } = la + ^ cos со/, уСз = у sin®/.
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
13^ |
Подставим эти значения в формулы (1). Учитывая, что
|
|
|
|
|
|
Щ)А |
= Рд> |
|
|
|
|
|
|
|
тлв =2 ар |
|
|
(р — плотность материала стержней), получим |
|
|||||||
|
_ ра(хС{ |
+2xCl |
|
+хСг) |
_ |cosco/+2(a + acosco/)+2a+|cosco/ ^ |
|||
Х с |
рд + ра+2ра |
|
|
1+1+2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
= я + -3а cosсо/; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
j;c |
pa(yq |
+2уС2 |
i |
+уСз) |
|
у sin со/+2a sin с о / + j sin со/ |
3 a |
|
= |
! |
|
i - = A |
4, |
= —sin CO/. |
|||
|
pa + pa+2pa |
|
|
4 |
4 |
|||
Найдем уравнение траектории центра масс системы, исключив
время из выражений для хс |
и ус. |
Так как |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
хс-а |
= -acosa>t, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
• , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ус = -4a s m со/, |
|
|
|
|
||||
то после преобразований получим |
|
|
|
|
|
|||||||
|
. |
, |
9 |
, |
|
, |
9т. |
7 |
9 |
? |
(Ъ |
2 |
(хс-аУ V х+ Ус>>---—a//тcos'плс*2 co/гл/+j—aisin'л ciп^!co/т/= ——а |
п •=\-а |
|||||||||||
|
|
|
16 |
|
|
|
16 |
|
16 |
|
\4 |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
{ х с - а ) Ч у 1 ^ ^ а г |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
— это уравнение окружности радиусом -4 |
а с центром в точке К(а, 0). |
|||||||||||
О т в е т : хс |
|
3 |
cosсо/, ус |
3 . |
уравнение траектории |
|||||||
= а + -a |
= -asimot; |
|||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
(хс |
-а) |
\2 , „2 |
П |
f |
— |
|
|
|
• 3 |
с центром |
||
+ ус = |
- я |
у |
окружность радиуса |
-а |
||||||||
|
|
|
|
v.4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
в точке А" с координатами (а, 0).
14 |
X. Динамика материальной системы |
Задача 34.3
К ползуну I массы Мх посредством тонкой невесомой нити прикреплен груз II массы М2. При колебаниях груза по закону ф = <p0sino)/ ползун скользит по неподвижной горизонтальной гладкой поверхности. Найти уравнение движения ползуна JC, = /(/), считая, что в начальный момент (/ = 0) ползун находился в начале отсчета О оси х. Длина нити равна /.
Р е ш е н и е
Запишем теорему о движении центра масс системы в проекции на ось х (см. рисунок):
Mxc = 1F^ = 0,
так как внешние силы перпендикулярны оси х. Следовательно, хс = 0, а хс = const, при / = 0 хСо = 0, хс = const, значит, хС) = хСг, где хС/, xCl — положение центра масс системы соответственно при / = 0 и при />0.
Найдем хС[ и хСз:
хС) =0 (нить с грузом расположена вертикально),
хс2 |
_ Y.mkxk _ ЩХ\ +т2х2 |
_ М{Х\ + M2(x\ + /sin ф) |
|
=• |
м, + м2 |
м] + м2 |
|
|
|
||
где Х| — перемещение ползуна; х2 = х, +/sin(p — перемещение груза по горизонтали, которое происходит, вместе с ползуном.
Тогда
хс, — хс |
_Q _ А/|Х| + М2(х{ + /sinф) => |
|
Мх+М2 |
МХХ\ + М2Х\ + M2lsm ф = 0:
Х|_ M2lsi пф .
Мх+М2
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
15^ |
Подставим значение <р и получим
х, = - M2/sin((posincof)
М\ + М г
О т в е т : xf = —
A/2/sin(<p0 sin со/)
Mi + М 2 :
Задача 34.4
Определить положение центра масс центробежного регулятора, изображенного на рисунке, если масса каждого из шаров А и В равна Мх, масса муфты D равна М2. Шары А и В считать точечными массами. Массой стержней пренебречь.
Р е ш е н и е
Запишем формулы для определения координат центра масс:
|
Хс —=2 > t |
» |
||
|
V - |
% |
т к У к |
|
|
Ус ~ |
^ |
• |
|
Из рисунка следует, что |
|
|||
хв = Isin9; |
xD = 0; |
ув |
= Уа~1 coscp; |
|
yD - |
21соБф; |
хА - |
-/sin<р. |
|
Тогда
-+ M\Xg + М2хр _
*с~ |
М] + Мх |
+ М2 |
M,g 1 |
|
Ml ( - / sin Ф) + Л/i/ sin Ф+О = 0; |
||||
|
||||
|
2 Mi + М2 |
|
|
|
Ус |
М,уА + М]ув |
+ М2У1) |
|
|
М 1 + М 1 + М 2 |
|
|||
|
|
|||
16 X. Динамика материальной системы
_ M\lcoscp+ M\lcos9+Л/2 -2/cos(p
2М\ + М2
|
|
|
_ 2 |
(М1+М2)[со^ |
|
|
|
2М\ +М2 |
|
~ |
. |
_ М\ЛМ2 |
, |
|
О т в е т : |
хс = 0; ус |
= 2 — |
—/cosср. |
|
|
|
2М] +М |
2 |
|
Задача 34.5
Определить траекторию центра масс механизма эллипсографа, состоящего из муфт Л и В массы М{ каждая, кривошипа ОС массы М2 и линейки АВ массы 2М2; дано: ОС = АС = СВ = 1. Считать, что линейка и кривошип представляют однородные стержни, а муфты — точечные массы.
Р е ш е н и е
Запишем формулы для определения координат центра масс С{ механизма:
v _ I m * x *
мгз
Определим (см. рисунок)I щ
=Уa =2/sin9;
хв - 21 cos<p, ув =0;
хс = I coscp, |
у с = / sin ф; |
/ |
/ . |
*Л:=^С05ф, |
у% — — 81Пф |
{К — точка приложения веса стержня ОС).
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
17^ |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
Л/, 0 + Mi(2lcos(p)+2M2lcos^+M2~cos^ |
[(Ш |
|
+ Ш |
) |
|
||
ХС< = |
|
6 |
= —: |
! |
— COS9, |
||
1 |
2Mi + ЗМ2 |
2(2Mi+3M |
2) |
|
|||
Mi (21 sin ф) + М] • 0+2 M2l sin ф+М2 - sin ф |
щм^5М2) |
|
|||||
Ус, = |
2Mi +3М2 |
2(2М} |
|
БШф. |
|||
|
+ ЗМ2) |
|
|||||
Исключив ф из уравнения движения центра масс, получим |
|
||||||
7(4Л/,+5М2) |
|
/(4Л/,+5М2) |
|
|
|||
*с, +Усу = .2(2 Mi +ЗМ2). |
(cos2 ф+sin2 |
ф) = 2(2My + ЗМ2)_ |
|
||||
— это уравнение окружности радиусом |
|
|
|
|
|
||
|
/(4М|+5М2) |
|
|
|
|
|
|
|
2(2М, +ЗМ2) |
|
|
|
|
|
|
с центром в точке О. |
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : окружность с центром в точке О и радиусом, равным |
|
||||||
4МХ+5М2 I |
|
|
|
|
|
|
|
2Mi + ЗМ7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 34.6 |
|
|
|
|
|
|
К вертикальному валу АВ прикреплены два одина- |
|
BI |
|
|
|||
ковых груза Ей Dc помощью двух перпендикулярных |
|
|
|
||||
оси АВ и притом взаимно перпендикулярных стерж- |
|
О |
|
||||
ней ОЕ = OD = г. Массами стержней и вала пренебречь. |
|
|
|||||
|
Еу |
D У |
|||||
Грузы считать точечными массами. Найти положение |
|
||||||
|
|
|
|
||||
центра масс С системы, а также центробежные мо- |
|
|
|
|
|||
менты инерции 1хг, 1уг, 1ху. |
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
Ц |
|
|
Координаты центра масс определим по форму- |
|
т |
|
|
|||
лам (34.1). |
|
|
|
|
о |
|
|
Запишем координаты точек Ей D (см. рисунок): |
|
У |
|||||
|
|
1 |
|||||
хЕ = г, |
УЕ =0, |
zE~ 0; |
|
|
тжл |
'Mg |
|
Хр =0, |
yp=r, |
Zp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18 X. Динамика материальной системы
Тогда
_ MxE + MxD _ Mr + M O _ г
Х с |
2 М |
2 М |
2 ' |
_ MyE + MyD _ М О + Мг _ г
|
УС~ |
2М |
" |
2М |
~ 2 ' |
|
|
|
Mze + MZD = Q |
|
|||
|
|
|
2М |
|
|
|
Центробежные моменты инерции определим по формулам |
||||||
Ixy = 'Zmkxkyk, |
fyz = %mkykzk, |
1хг |
= Y,mkxkzk. |
|||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
Ixy = |
+ MxDyD |
= 0, |
|
||
|
Iyz=MyEZE |
+ MyDZD= |
0, |
|
||
|
|
= |
+ |
|
= 0. |
|
О т в е т: С\I/-, |
0 ]; Ixz |
= |
= 1^=0. |
|
|
|
Задача 34.7
Вычислить момент инерции стального вала радиуса 5 см и массы 100 кг относительно ее образующей. Вал считать однородным сплошным цилиндром.
Р е ш е н и е
Для вычисления момента инерции вала относительно оси Z] воспользуемся теоремой Гюйгенса — Штейнера, согласно которой
|
|
|
Iz> - Iz + Md2, |
|
|
|
||
где d — расстояние между осями z и Zi- |
iMg |
|||||||
Поскольку d = г, то |
|
|
|
|
|
|||
/ |
Г 1/2 |
= |
Mr2 |
.,2 |
ЪМг2 |
= |
3 100-25 |
2ч |
/,, = /, +Mrz |
|
+ МгА = |
|
|
= 3750 (кг • см ). |
|||
* |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
О т в е т : |
3750 кг • см2. |
|
|
|
|
|
||
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
19^ |
Задана 34.8
Вычислить момент инерции тонкого однородного полудиска массы М и радиуса R относительно оси, проходящей вдоль диаметра, ограничивающего полудиск.
Р е ш е н и е
Пусть М — масса полудиска, тогда поверхностная плотность диска
М2 М
1 /2 nR2 tiR2
Рассмотрим полоску толщиной dr, находящуюся на расстоянии г от оси г. Из рисунка следует, что
AD = 2AB = |
24¥-?, |
где R — радиус полудиска.
Тогда согласно определению осевого момента инерции тела
1г =
где dk-r.
Будем рассматривать диск как систему материальных полосок длиной AD и шириной dr, которые находятся на расстоянии г от оси z и имеют массу Дтк - p-ADdr. Поэтому
Iz = jp-AD-drr2 |
=J р-2л//?2 - г2 |
• r2dr = 2р\r4R2 - r2dr = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
r=R |
= 2p\~^(R2-r2)1 |
+ |
R2 - г1 |
+R2 arcsin^ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
r=0 |
^ |
. ,1 |
2pД4 |
n |
= |
2MR*n |
= |
MR2 |
••2p<— arcsmb- = —- |
2 |
8nR |
. |
||||
4 8 |
I |
8 |
|
|
4 |
||
Ответ: MR2/4.