doc2
.pdf20 |
X. Динамика материальной системы |
Задача 34.9
Вычислить осевые 1Х и 1У моменты инерции изображенной на рисунке однородной прямоугольной пластины массы М относительно осей х и у.
Р е ш е н и е
Осевой момент инерции системы относительно оси у
1У = ^Атк4.
Будем рассматривать пластинку как систему стержней шириной dx и длиной 2а (см. рисунок). Поверхностная плотность пластины
о
л
(М
2а
X
Am = pdx-2а
У////Ш/М
М |
М |
р - |
|
2а -2Ь ЛаЬ |
|
Тогда масса полоски стержня |
|
Атк =2apdx. |
|
При dk- х получим |
2Ь |
|
|
1У = %bmkdk |
= f2apx2dx = |
3 о 3 3 4ab 3
Момент инерции Ix рассчитаем аналогично, заменив х - » у , а b а:
/х = 3~Ма2.
О т в е т : 1Х = ^Ма2; 1У = *МЬ2.
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
21^ |
Задача 34.10
Вычислить моменты инерции изображенного на рисунке однородного прямоугольного параллелепипеда массы М относительно осей
X, у и Z.
Р е ш е н и е
Объемную плотность определим по формуле (34.2):
М |
М |
|
Р V 2а-2Ь-2с 8аЬс |
|
|
Рассматривая параллелепипед как систему |
|
|
материальных точек массы |
|
|
Атк -- p dx |
dy-dz, |
|
находящихся на расстоянии dk = Jxk+yk от |
^ |
|
оси z (см. рисунок), найдем момент инерции |
У |
|
параллелепипеда относительно этой оси:
h =
Ь ( |
v3 |
y=" |
dx-2cp\ |
= 2cpJ |
3 |
|
|
|
V-- |
a |
* 7 |
х |
j(x2+y2)z |
|
ь |
2aЗЛ |
2ax2 + |
dx = |
b |
|
|
' x 3 |
„ |
2a |
3 |
x=b |
/Ч1Л |
|
|
|
= 2 c p |
x |
-2cp —2a + |
|
2b = |
^(a2+b2). |
||||
|
2a+ |
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
' x=-b
Аналогично вычислим Ix:
I x =
где d2 = yk+Zk-
22 |
X. Динамика материальной системы |
Поэтому
/ ^ j J i W + t e
-а-Ь О
Проведя аналогичные вычисления, получим
1х=М-(а2+4с2).
Из 1Х заменой а —> b найдем 1у:
I y = K(bi+4c>).
О т в е т : /х = у (а2 +4с2); 1У = у (б2 +4с2); = ~ (а2 +Ь2).
Задача 34.11
В тонком однородном круглом диске радиуса R высверлено концентрическое отверстие радиуса г. Вычислить момент инерции этого диска массы М относительно оси z, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости диска.
Р е ш е н и е
Момент инерции диска относительно оси z
R
Il = \p2dm,
г
где dm — масса тонкого кольца толщиной dp (см. рисунок), длиной 2яр и с поверхностной плотно-
М
СТЬЮ Г Г-.
n(R —г )
Поэтому
M
h P2dm = J р2 n(R2—r2) •2npdp =
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
23^ |
J |
2М |
pVp = |
2 М |
2 M |
R*-r4 |
^(R2 + r2). |
|
Jr{R2~r2) |
|
|
(R2 - г2) 4 |
(R2—r2) |
4 |
|
|
О т в е т : |
L=—(R2 |
+ r2). |
|
|
|
||
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
Задача 34.12
Вычислить момент инерции тонкой однородной пластинки массы М, имеющей форму равнобедренного треугольника с высотой И, относительно оси, проходящей через ее центр масс С параллельно основанию.
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
Центр масс равнобедренного треугольни- |
А |
|
|
|||
ка находится на его высоте в точке С на рас- |
|
|
|
|||
стоянии ^Л от основания BD (см. рисунок). |
С \ |
|
х |
|||
|
|
|
м/ К |
|
||
Из подобия АABB и AAMN следует, что |
Н111111Г\ |
У |
||||
/ниши |
ЛЧ |
|||||
АК _ MN |
|
в |
Е |
D |
|
|
|
|
У |
|
|
||
АЕ |
BD' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
так как |
|
|
|
|
|
|
|
АК = АС+СК |
= -И + у, |
|
|
|
|
то |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MN = AKBD |
\Н+ У |
BD. |
|
|
|
|
|
АЕ |
h |
|
|
|
|
Будем рассматривать пластинку как систему материальных точек массой
dm = MNdy р,
М
где р — поверхностная плотность пластинки, р =
-2HBD
24 |
X. Динамика материальной системы |
Тогда момент инерции пластины
|
1А |
|
|
|
|
. |
3f а. |
dm = |
) |
|
2M-MN-dy |
lx= J у |
|
j у1— |
|||
|
JLh |
_2„ |
U-BD |
||
|
з |
|
|
з |
2 |
\ |
У2м& |
Ц |
+ |
уУу |
J |
|
|
J — |
|
_lh |
з |
2U2 |
|
|
2 M 4 |
4 |
|
' h2 { 9 У |
4 |
|
2 M 2hP |
+ |
|
16 |
9 27 + 4-81- + -9A - |
|
||
27 |
81 4 |
||
Ответ: —Mh2.
18
Задача 34.13
Однородная металлическая пластинка выполнена в виде равностороннего треугольника. Масса пластинки равна М, I — длина ее стороны. Вычислить момент инерции пластинки относительно оси z, проходящей через ее вершину параллельно основанию.
Mh2
18
Р е ш е н и е Будем рассматривать пластинку как систему
материальных точек массой |
и / |
\\ЛГ а> |
|
||
dm = p-MNdy, |
|
•//Л. |
|
ч |
|
М |
/ |
|
где р — поверхностная плотность, р = -j—, |
к |
|
—lh |
А |
D |
2 |
|
У |
h =lc os30°= / Л MN = 2yt%3n°= л/Г
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
25^ |
поэтому
М4М
Р =
U2—
2 2
Рассчитаем |
|
|
|
|
|
|
|
dm = |
2у |
. |
Ш |
2у |
J |
mydy |
|
У-Л |
• dy = -—^ |
—dy |
=— |
|
|||
|
" |
л/J/2 |
-Л |
|
3/2 |
|
|
По определению |
|
|
|
|
|
|
|
V3/ |
|
|
VI/ |
|
Л,4 \ •УЗУ2 |
||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
з/2 |
|
з/2 |
ч 4 у |
|
Ш914 _ ЗМ12
З/2 ' 64 |
8 |
Ответ: 1г= -Ml2.
Задача 34.14
Однородная равносторонняя треугольная пластинка имеет массу М и длину стороны /. Вычислить момент инерции пластины относительно оси z, проходящей через вершину пластины перпендикулярно ее плоскости.
Р е ш е н и е
По определению осевого момента инерции
Iz=jj(x2 |
+ y2)dm, |
s |
|
где S — площадь пластинки (равностороннего
A ABD).
По формуле (34.3) определим поверхностную плотность
М М 4М S V3/2/4 V3/2'
26 |
X. Динамика материальной системы |
Тогда
dm - pdxdy.
Уравнение стороны BD:
у = кх,
где к = tg3°= — . Поэтому
У = Л "
Уравнение стороны АВ:
Л '
Тогда
|
|
л |
х_ |
|
|
|
|
л |
|
|
x |
|
|
|
1г |
2 |
Л |
(x2 |
+ y2)dy= |
2 |
( |
|
Л |
|
|||
|
= fpdx |
f |
\pdx\x2y + — |
|
|||||||||
|
|
0 |
* |
|
|
|
|
0 |
V |
3 |
x |
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
л/ |
|
" л |
|
||
Л/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л; |
|||
2- ( х г |
JC3 |
X3 |
X3 |
|
^ , |
2} |
20 |
з , |
20р |
х4 |
|||
=р/о |
(,Л |
з-зл |
л |
|
з-зл |
|
J0 |
9Л |
|
9 Л |
4 |
||
|
|
|
+ — + - |
|
|
dx- р \ ——xdx |
= —-ь |
|
|||||
|
|
|
|
_ 20р |
914 |
^ 5М12 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
9 Л |
4-16 |
12 |
|
|
|
|
|||
Ответ: |
I, |
=—Ml2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
34.15 |
|
|
|
|
|||
Вычислить моменты инерции относительно |
|
У |
|
||||||||||
трех взаимно перпендикулярных осей х, у и z |
|
|
-о |
||||||||||
тонкой однородной эллиптической пластинки |
( |
° |
|||||||||||
X |
|||||||||||||
массы М, ограниченной |
контуром |
|
|
|
|
||||||||
х2 |
у2 |
< а |
. |
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
27^ |
Р е ш е н и е
Определим поверхностную плотность
М _ М S nab
Вычислим момент инерции пластинки относительно оси г (см. рисунок):
у=ь.
А(-а, О)
у = -ь^
Iz=jj(x |
|
+ у2) dm = ll(x |
|
+ у |
|
|
а |
у |
+ у |
) dy = |
2 |
2 |
) pdS = p]dx}(x[<&J( |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
||
|
|
s |
|
|
|
|
а |
-Ь |
|
|
|
|
|
|
а |
|
(г 2 |
У ^ |
|
|
|
|
|
У = ЬЛ—тг = р J dx |
дгу + — |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
= 2 р J |
|
х2 |
|
Ъ г ( |
- 2 |
dx - |
|
|
|
|
|
а2 |
|
3 1 - - |
|
|
|
||
2 |
Ь2 С |
|
|
|
|
JC2 + |
|
|
|
|
= 2Ьр) дг + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для вычисления интеграла сделаем замену: дг = a sin/, dx - a costdt. Тогда
f2 '
a2 sin2 /+—(1-sin2 /) Vl-sin2 / a cos/ dt =
|
|
|
о |
|
|
|
|
1 . |
7 |
l2 |
о |
|
|
= 4b p j й |
О |
/ |
cos2/ dt |
|||
sin |
|
/ н — c o s z |
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
sin2 It = l-cos4/
c 2 |
• |
4 ' |
dt = |
-4abpj —sin ^2/ +—cos*/ |
|||
4 |
/ = |
1+2COS2/ + COS22/ |
If, . - |
l+4cos4A |
|
cos4 |
|
4 |
= - 1+2COS2/ + |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
так как cos2 _ 1 + COS4/ |
|
|
|||
|
|
- |
2 |
|
|
28 |
X. Динамика материальной системы |
|
/ + 2--Uin2/ + -|/ + Isin4/)} '~2 |
||
2 |
2 |
1=0 |
18 2 12 \2 2 2 |
М |
|
nab |
[16 12 4j |
|
= M(a2+b2>
4
Вычислим момент инерции пластинки относительно оси х:
|
i={) |
2 2 |
|
|
У |
2 |
|
|
y = bJl- |
|
4 = J J |
|
==op]dx\yf |
dy |
= |
||||||
+ Z2)dm\ . ==f\\y[v odxdvpdxdy |
|
|
a |
|||||||
|
|
|
|
-a |
-y |
|
|
|
||
a |
„3 4, 1- |
|
|
|
|
|
|
|
2\ |
|
-Pj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
Сделаем замену: x = a sin/, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b ' 2 |
|
|
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
Ix =4pa—| cos3 /cos / dt =4pa |
- / + - sin2/+—sin4/ |
|
||||||||
|
|
|
|
.8 |
4 |
|
|
32 |
|
|
|
, b3 Зтс |
+0+0 |
{M |
аЪъ Зк _ Mb2 |
|
|||||
|
= 4pa—3 16 |
|
ъаЬ 3 |
16 |
4 |
|
|
|||
. Аналогично Ix рассчитаем Iv:
r\ |
I M ,2 |
Ответ: |
Ix = — I |
|
4 |
|
|
|
|
M |
|
r |
M 2 |
г |
м , 2 |
+bl). |
|
v |
|
= —al\ |
I„ = —{a1 |
||
|
y |
4 |
1 |
4 |
|
Задача 34.16
Определить момент инерции однородного полого шара массы М относительно оси, проходящей через его центр тяжести. Внешний и внутренний радиусы соответственно равны Л и г .
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
29^ |
Р е ш е н и е
Центр тяжести полого шара находится в начале координат. По определению осевого момента инерции
v
где V — объем тела.
Выразим dm через объемную плотность
|
dm = рdV, |
где р = М |
М |
V |
4 _ , о 3 г |
|
3 |
Тогда |
WJJvP |
|
Перейдем к сферическим координатам (см. рисунок):
х= tcos<pcos%
у= t sin<pcosy, Z = /sin\|/,
где r<t<R, 0<<р<2я; -— <w<—. |
|
|||
|
|
2 |
2 |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
dV = t7 cosy dt dq>dy, |
|
|
2л |
2 |
Л |
|
|
Iz = pjdy |
j |
dy \{t2 cos2 <pcos2\|/+/2 sin2 (pcos2\)/)/2 cosy dt - |
||
0 |
_Jt |
r |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
R |
2 |
Л |
= рф|о - J £fyj(r2cos2\|>)(f2cos\)/)£ft = 2p7i J cos3\|/dy\t*dt =