doc2
.pdf60 |
|
X. Динамика материальной системы |
Взяв вторые производные от хс |
и ус, получим проекции ускоре- |
|
ния центра масс: |
|
|
х с |
= - t o 2 |
cosсо/, |
у с |
= - to2 |
sin со/. |
Тогда проекций главного вектора внешних сил на оси координат
Щ= Мхс = -Mid)2 cos со/,
Щ= Myс - -Mco2sinco/,
амодуль главного вектора внешних сил
/Г = ^ ) 2 +(Щ)2 - McoVcos2 со/ + sin2 со/ = Мсо2.
Направляющий косинус
%
cosa = — - —cosсо/,
R*
т.е. a = 180°- ф, где ф = со/.
Значит, главный вектор внешних сил направлен по звену СО.
О т в е т : главный вектор внешних сил параллелен звену СО и равен по модулю Мсо2.
Задача 35.3
Определить главный вектор внешних сил, действующих на колесо массы М, скатывающееся с наклонной плоскости вниз, если его центр масс С движется по закону хс = at2jl.
Р е ш е н и е
Запишем теорему о движении центра масс механической системы в проекции на ось х:
Mxc = ^F&. |
(1) |
Так как траектория движения центра масс — прямая, параллельная оси х (см. рисунок), то
т.е. равна главному вектору внешних сил.
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
61 |
Возьмем вторую производную от уравнения движения центра масс: хс = а. Подставим это значение в уравнение (1) и получим, что главный вектор внешних сил равен Ма.
Ускорение центра масс направлено параллельно оси Ох, так как главный вектор внешних сил имеет направление ускорения, то он тоже направлен по оси Ох.
От в е т : главный вектор внешних сил параллелен оси Ох, направлен
всторону движения и равен по модулю Ма.
Задача 35.4
Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием силы F, изображенной на рисунке. Найти закон движения центра масс С колеса, если коэффициент трения скольжения равен/, a F = 5fP, где Р — вес колеса. В начальный момент колесо находилось в покое.
Р е ш е н и е
Покажем на рисунке силы, действующие на колесо: mg — сила тяжести колеса, N - нормальная реакция, F^ — сила трения скольжения.
Запишем теорему о движении центра масс механической системы в проекциях на оси х и у:
Mxc |
= ZF£c = F-FTp, |
(1) |
|
myc = N-mg. |
(2) |
Так как Ус~ |
const, значит, у с |
= 0, т.е. |
|
N = mg, |
|
|
FTp=fN = fmg = /P. |
|
|
с! |
т |
FУО\^ ^ |
N y |
|
/У/Л |
/ |
'?//// х |
mg
Подставим значение силы трения в уравнение (1) и выразим хс:
mxc = F-Fw=5fP-fP |
= 4fP, |
|
4fP |
-4fg. |
|
хс = - т |
(3) |
|
62 |
X. Динамика материальной системы |
Проинтегрируем дважды выражение (3). Запишем
dxc =4fg dt
или
dxc=4fgdi, |
(4) |
откуда получим
xc=4fgt+Q. (5)
Постоянную интегрирования С, найдем из начальных условий: t = 0, XQ= 0, С\ = 0 .
Интегрируя выражение (5) и учитывая, что С, = 0, получим
dxc . j.. —T = 4fgt dt
или
dxc = 4fgtdt,
xc=yf-+C2=2fgt2+C2.
Найдем постоянную интегрирования C2 из начальных условий: /=0, xq = 0; С2 =0.
Значит, закон движения центра масс
хс - 2-fgt2-
Ответ: хс =2fgt2.
Задача 35.5
Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием приложенного к нему вращающего момента. Найти закон движения центра масс С колеса, если коэффициент
трения скольжения равен/ В начальный момент / / / / , колесо находилось в покое.
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
63 |
Р е ш е н и е
Покажем на рисунке силы, действующие на колесо: сила трения скольжения Е^, сила тяжести mg, нормальная реакция N. Центр масс колеса С движется прямолинейно.
Запишем теорему о движении центра масс механической системы в проекциях на оси х н у :
mxc |
= Y,Fkx = *ф, |
(!) |
myc = ZFfy = N-mg = 0. |
(2) |
|
Так как ус = R- |
const (R — радиус колеса), то ус =0. |
|
Из уравнения (2) следует, что N = mg. Тогда |
||
|
FTp=fN = fmg. |
(3) |
Подставим выражение (3) в уравнение (1). Тогда
тхс = fmg
или
хс = /8-
Дважды проинтегрируем полученное равенство. Постоянные интегрирования найдем из начальных условий: / = 0, xcq = 0, хсо = 0. Получим
*c=Jgt+Cu |
С, =0. |
Следовательно,
dxc г .
или
dxc = fg tdt.
После интегрирования
64 |
X. Динамика материальной системы |
Используя начальные условия, определим, что С2 = 0. Следовательно, закон движения центра масс колеса
Хсг 2 .
Ответ: хс = fgt2
Задача 35.6
Вагон трамвая совершает вертикальные гармонические колебания на рессорах амплитуды 2,5 см и периода Т= 0,5 с. Масса кузова с нагрузкой 10 т, масса тележки и колес 1 т. Определить силу давления вагона на рельсы.
Р е ш е н и е
Применим теорему о движении центра масс системы:
Мас = (mj +m2)g + NX + N2,
где M =m{ +m2.
В проекции на ось х (см. рисунок) запишем
(/и, +т2)хс = -(Щ +m2)g + N,
где N\+N2 = N.
Отсюда
N = {т{ +m2)(g + xc).
Найдем уравнение движения центра масс всей системы:
х с _х]т1+х2т2
/И) +т 2
где X) = const; х2 = a sin со/ +Ь.
Так как вагон совершает вертикальные гармонические колебания, то b = const.
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
65 |
||
Частота колебаний |
|
|
|
2 к |
2п . |
|
|
(0 = — = — = 4л, |
|
|
|
Т |
0,5 |
|
|
амплитуда — а = 2,5 см = 0,025 м. |
|
|
|
Найдем ускорение центра масс системы: |
|
||
XfTl2 |
ГП2 |
2 • |
|
m, +т2 от, |
—-—а<л |
sin о/. |
|
+т2 |
|
|
|
Так как I sin со? [ < 1, то
хСг
L m2aaf
nt\ +т2
В зависимости от знака ускорения центра масс давление будет минимальным или максимальным:
Nmin = (т] +m2)g-m2aсо2 = 107,8-103 -39,5103 =68,3 (кН),
Л^шах = (/"I +tn2)g+m2a(i>2 =
= (1 + 10) 103 -9,8 + 10 103 0,025 16л2 = 147,3 (кН).
О т в е т : от 68,3 до 147,3 кН.
Задача 35.7
Определить силу давления на грунт насоса |
rZZZZZZZZZ\ |
|
для откачки воды при его работе вхолостую, ес- |
||
|
||
ли масса неподвижных частей корпуса D и фун- |
|
|
дамента Е равна Ми масса кривошипа OA = а |
|
|
равна М2, масса кулисы В и поршня С равна Мъ. |
|
|
Кривошип OA, вращающийся равномерно с угло- |
|
|
вой скоростью со, считать однородным стержнем. |
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
Показываем на рисунке силы: M}g — сила тя- |
|
|
жести корпуса и фундамента Е, M2g — сила тяже- |
|
|
сти кривошипа OA, M3g — сила тяжести кули- |
|
|
сы В и поршня С, N — сила реакции грунта. |
|
66 |
X. Динамика материальной системы |
Запишем теорему о движении центра |
|
масс системы: |
|
Мас = (Л/, + М2 + M3)g + N. |
(1) |
В проекции на ось х получим |
|
Мхс = (Л/, + М2 + M3)g - N, |
(2) |
отсюда сила реакция грунта |
|
N = (MV+М2 + M3)g - Мхс, |
(3) |
где М = М]+ М2 + М3.
Навдем уравнение движения центра масс
системы: |
|
|
Хс _ Ъткхк |
_ MjX! + М2х2 + М3х3 |
^ |
Y,mk |
Mj+M2+M3 |
|
где x\=l = const — координата центра масс корпуса и фундамента;
а |
а |
|
|
|
масс кривошипа; |
х2 = — cos<p = ycos(o/ — координата центра |
|||||
*з = acos(at+b |
(b — константа) — координата центра масс кулисы |
||||
и поршня. |
|
|
|
|
|
Взяв вторую производную от выражения (4), получим |
|||||
= |
MA + М2х2 |
+ Л/3Х3 = _ |
(М2 +2Af3W |
^ |
|
|
М{+М2 |
+ М3 |
|
2(М\ +М2 |
+ М3) |
Тогда с учетом формулы (5) и согласно формуле (3) |
|||||
|
N = (Ml + M2 + M3)g-{M{ |
+М2 + М3)хс = |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
-(Л/, + М2 + M3)g + —^-(M2 +2M3)cosco/. |
||||
|
|
|
2 |
|
|
О т в е т : N = (Л/, + М2 + M3)g |
+<~-(М2+2М3)coscot. |
||||
Задача 35.8
Использовав данные предыдущей задачи, считать, что насос установлен на упругом основании, коэффициент упругости которого равен с. Найти закон движения оси О кривошипа OA по вертикали,
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
67 |
если в начальный момент ось О находилась в положении статического равновесия и ей была сообщена по вертикали вниз скорость v0. Взять начало отсчета оси х, направленной вертикально вниз, в положении статического равновесия оси О. Силами сопротивления пренебречь.
Р е ш е н и е
Запишем теорему о движении центра масс механической системы в проекции на ось л: (см. рисунок):
Mxc=(M]+M2 + M3)g-Fynp, |
(1) |
где Fyup = c(x + fCT).
Подставим выражение Fynp в уравне-
ние (1) и, зная, что |
|
|
|
|
f |
_ (М] + M2 |
+ M3)g |
, |
|
Уст |
" |
с |
|
|
|
|
|
|
|
получим дифференциальное уравнение
Мхс =—сх. |
\(2) |
Определим координаты центров масс входящих в механическую систему тел:
Х]=1 + Х, / = const; х2 = jcosco/ + x; х3 = b + a coswt + х.
Запишем уравнение движения центра масс вдоль оси х:
хс |
М\ Х[ +М2х2 + М3х3 _ |
||
М\ + М2 |
+ м3 |
||
|
|||
М{(1 + х) + |
cosco/ + xj+ |
M3(b + a cosсо? + х) |
|
|
М| + М2 + М3 |
||
Взяв вторую производную, найдем проекцию ускорения масс хс на ось х:
хс |
(М2 + 2 М3)сна2 |
, Л/, + М2 |
+ Мъ |
||
.А |
il |
cosсо? + —! |
- |
-х. |
|
|
2(А/, +М2 |
+ М3) |
М]+М2 |
|
+ Мъ |
(3)
центра
(4)
68 |
X. Динамика материальной системы |
Подставим выражение (4) в уравнение (2) и получим
(5)
Введем обозначения: |
|
|
|
с |
|
|
М, +Л/2 + М3' |
|
h = |
(Мг+2МЪ) |
ааУ.2 |
|
М1+М2 + М3 |
2 |
Подставим их в уравнение (5) и получим дифференциальное уравнение движения оси О вдоль оси Ох:
Х+к2 х = hcoscot. |
(5*) |
Это неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого будем искать в виде
X = х + х*,
где х — решение однородного уравнения; х* — частное решение. Рассмотрим два случая.
1) Если к Ф со, то
x = Q coskt+C2sinkt, х* = A cos со/, х* = -Aco2cos(ot.
Из уравнения
-Лео2 cosсо/ + Ак2 cosсо/ = h cosco/ найдем коэффициент А:
и, следовательно, |
к2-а2 |
|
|
|
|
к 2 - со2 cosco/. |
||
Тогда |
|
|
х = С, coskt+С2 |
sin kt + —5 |
cosсо/, |
|
& |
- o r |
X = -Qksinkt +C2k coskt —к1 -co2 sin со/.
(6)
( 7 )
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
69 |
С, и С2 найдем из начальных условий: / =0, х0 =0, х0 = v0.
Из равенства (6) |
|
|
|
|
|
|
|
~ , |
—Г |
h |
„ _ |
„ |
- - |
h |
|
X — XQ=C\+ |
Г- = |
0 => |
С] |
|
2' |
||
|
ЛА:2-сош2 |
|
|
|
Лк—2-сСо' |
||
из равенства (7) |
|
|
|
|
|
|
|
и тогда |
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ХП = —т-—=rCOs/:/ +—sin/:/ + - — — т |
coscor. |
||||||
/г — со |
|
А |
|
|
А — со |
||
2) Если А: = со, то, как известно из общей теории дифференциаль-
ных уравнений, решение уравнения (5*) следует искать в виде: |
|
||||
х = (At + В) coskt + (С/ + В) sin £/, |
(8) |
||||
х = A coskt-k(At+B)sinkt |
+С sin kt + (Ct + D)k coskt, |
(9) |
|||
x = -Aksinkt - k2(At+B)coskt |
- kAsinkt + |
|
|||
+Ck coskt—k2(Ct + D) sin kt |
+Ckcoskt. |
|
|||
Подставим найденные значения x и x в уравнение (5*): |
|
||||
-Ак sin kt-k2(At+B) |
coskt - kA sin kt + Ck coskt - |
|
|||
- k2(Ct + D) sin kt +Ck coskt + k2(At+B)coskt |
+ k2(Ct + D)s\nkt = h cos kt, |
||||
-2 Aksinkt+2Ckcoskt |
= h coskt. |
|
|||
Так как коэффициенты при sin kt и coskt должны быть одинако- |
|||||
выми, то получим |
|
|
|
|
|
2Ck = h=*C = |
—, |
|
|
||
|
|
|
2к |
|
|
-2Ак |
= |
0=*А=0. |
|
|
|
Постоянные В и D найдем, подставив начальные условия: /0 = 0, |
|||||
х0 = 0, хо = v0, в уравнения (8) и (9): |
|
|
|
||
Л(, =В = 0=*В |
= 0, |
|
|||
кк