doc2
.pdf320 X. Динамика материальной системы
Найдем кинетическую энергию системы в конечном положении, когда барабан повернулся на угол (р (<р=2лп):
|
|
|
|
Т |
-ТХ +ТГ. |
|
|
|
(3) |
||
Кинетическая энергия барабана ворота |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
4 |
|
|
|
Кинетическая энергия колеса, совершающего плоскопараллель- |
|||||||||||
ное движение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т - |
Miyl |
|11 |
ю2 ^ М2У>2 |
t 1 M2rj |
v2 _Ш2уг |
_3M2rfa2 |
|||||
2 |
2 |
2 |
Cft> |
2 |
+ |
2 |
2 |
r2 |
4 ~ |
4 |
' |
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Г = |
4 |
+ |
4 |
= |
|
4 |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определим работу внешних сил: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
£ 4 ? = A{+A2 |
+ AN |
+ AL. |
|
|
( 5 ) |
|||
Работа А, силы тяжести барабана равна нулю. |
|
|
|||||||||
Работа силы тяжести колеса |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
А2 = -M2gssina |
= ~M2grl(psma |
- -2M2gr\unsma. |
|
|||||||
Работа AN сил реакций связей равна нулю. |
|
|
|
||||||||
Работа вращающего момента L |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
AL = |
Z/ф = 2Lnn. |
|
|
|
|||
Тогда согласно формуле (5) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Х 4 ? |
=2Lnn-2M2gr\Knsma |
= 2nn(L- M2grx sina). |
(6) |
|||||||
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение |
(2): |
|
|
||||||||
|
|
|
|
г2ю2 |
|
= 2лп(Ь - M2gnsina) |
|
|
|||
|
|
(Л/, + 3М2)^~ |
|
|
|
||||||
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
321 |
||||||
и найдем угловую скорость барабана: |
|
|
|
||||
|
|
2 |
С L-M2gn |
sin а |
. |
|
|
|
|
С0 = — |
2лл |
— |
|
|
|
|
|
r,V |
|
М,+ЗМ2 |
|
|
|
2 |
L |
L-Mjgr, |
sin а |
. |
|
|
|
О т в е т : со=— |
12пп |
— |
|
|
|
|
|
И V |
Мх +3 М2 |
|
|
|
|
||
Задача 38.41
Решить предыдущую задачу с учетом массы троса и трения качения колеса о наклонную плоскость, если / — длина троса, М — масса его единицы длины, а — длина части троса, не намотанной на барабан в начальный момент,/; — коэффициент трения качения, г2 — радиус колеса. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного на барабан, пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение системы, состоящей из барабана, каната и колеса. Покажем на рисунке начальное и конечное положения системы.
Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
т-ц = + |
(1) |
Так как система неизменяема, то £ 4 = 0 .
В начальном положении система находилась в покое, т.е. Т0 - 0. С учетом этого выражение (1) примет вид
Т = |
(2) |
Найдем кинетическую энергию системы, когда барабан повернулся на угол ф (ф=27in):
Г = Т,+Г2 + Гт. |
(3) |
322 |
|
|
|
|
|
|
|
X. Динамика материальной системы |
|||
Кинетическая энергия барабана |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
- 1 |
' |
- |
1 |
^ |
|
|
|
|
|
|
' |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
4 |
|
|
Кинетическая энергия колеса, совершающего плоскопараллель- |
|||||||||||
ное движение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
„ |
M2v2 |
1 , |
2 |
= |
M2v2 |
1 M2r2 |
v2 |
3M2v2 |
Ш2г?®2 |
-. |
|
12= |
|
1—ifCO |
|
1 |
|
г-= |
|
= — |
|||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
2 |
г |
4 |
4 |
|
Кинетическая энергия троса |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
_ M/v2 |
_ Mij2(02 |
|
|
|
||
|
|
|
|
i т """ " 12 |
— |
2 ' , . |
|
|
|
||
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
|
4 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
Определим работу внешних сил: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= A,+A2 |
+ AT + A/V + AL+ATp. |
|
(5) |
|||||
Работа А\ силы тяжести барабана равна нулю. Работа силы тяжести колеса
А2 = ~M2g sin а = -Af2g/i<psina = -2 M2grxnn sina.
Работа силы тяжести троса
|
( a - i ) s i n a |
M g j (о-J) sin a ^ |
А1 = |
J Mgxdx = |
= -Mg(j-2fl)5sina: |
|
|
osina |
= ~Mgr\Qa -rl<$)tys,ina. = 2Mgnl(a -/i7c«)rc«sina.
Работа Afj сил реакций связей равна нулю. Работа вращающего момента
Ai = Lq> = 2nnL.
Работа момента сил трения качения колеса
= -Wtp92 = -NT*.r2— ф = ~M2gf% r2 ^--2nncosa.
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
323 |
|||
Тогда согласно формуле (5) |
|
|
|
|
t = 2KnL-2M2grxnnsma-2M2gfK |
—rc/jcosa- |
|
||
|
|
|
Ч |
|
- 2Mgri(a - rxKri)nnsina = |
|
|||
= 2%п L - M2gT) J sin a + — c o s a ]- |
Mgrx (a - /j к л) sin a |
(6) |
||
V |
r2 |
J |
|
|
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение (2):
(Л/, +ЗМ2 +2 Ml) /]2С02 __
=2%n^Lik-t—gr] М2\ sina+•—cosaa]н\+М(а—nnr\)sina
ЪJ
инайдем угловую скорость барабана с учетом массы троса и трения колеса:
L-r\g М2\ sina+—cosa |
+М(а-nw/j)sina |
||
со = —1|2яя- |
h |
) |
, |
Ц |
М\ +ЗМ2+2М1 |
||
|
|||
' |
Г |
f |
\ |
L-ng М2 |
sina+—cosa + М(а-кщ)ъта |
||
О т в е т : <и = 2кп- |
|
h |
|
|
Mi+3M2+2Ml |
||
Задача 38.42
Колесо А скатывается без скольжения по наклонной плоскости ОК, поднимая посредством нерастяжимого троса колесо В, которое катится без скольжения по наклонной плоскости ON. Трос переброшен через блок С, вра-
щающийся вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Найти скорость оси колеса А при ее перемещении параллельно линии ОК на расстояние s. В начальный момент система была в покое. Оба колеса
324 |
X. Динамика материальной системы |
и блок считать однородными дисками одинаковой массы и радиуса. Массой троса пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. На рисунке покажем начальное и конечное положения системы.
Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
= |
О) |
Так как система неизменяема, то |
=0. |
Вначальный момент система находилась в покое, т.е. Т0=0.
Сучетом этого выражение (1) примет вид
г = |
(2) |
Найдем кинетическую энергию системы в конечный момент:
Т * Т Л + ТВ + ТС. |
(3) |
Кинетическая энергия колес А и В, совершающих плоскопараллельное движение,
„ |
Mv2 |
1,2 |
Mv2 |
|
1 |
Mr2 |
v2 |
|
3Mv2- |
|
TA = —— + — /со = |
|
+ - |
2 |
|
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Тя |
Mv2 |
1.2 |
Mv |
+ |
1 Mr2 |
v2 |
= |
3Mv2 |
. |
|
= |
л— /со = |
2 |
2 |
2 |
г2 |
4 |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
325 |
Кинетическая энергия блока С, совершающего вращательное движение,
1 , |
2 |
|
= |
1 Mr2 |
|
V2 |
|
Mv2 |
. |
|
|
Тг = —/со' |
2 |
2 |
|
г- = |
4 |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
г2 |
|
|
|
|||
Тогда согласно формуле |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T_3Mv2 |
|
1- |
3Mv2 |
1 |
Mv2 |
_lMv2 |
. |
... |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( 4 ) |
|||
4 |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
Определим работу внешних сил: |
|
|
|
|
|
|
|||||
I/Ake |
= AA + AB + Ac |
+ AiV. |
|
(5) |
|||||||
Работа силы тяжести колеса А |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ал = A/g-5'sina. |
|
|
|
|
||||||
Работа силы тяжести колеса В |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ав = -Mgs sin(3. |
|
|
|
||||||||
Работа Ас силы тяжести блока С равна нулю. |
|
||||||||||
Работа Ajf сил реакций связей NА, |
NB, X(h К0 равна нулю. |
|
|||||||||
Тогда согласно формуле (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X А% - Mgs sin a - Mgs sinp = A/g.s(sin a - sinp). |
(6) |
||||||||||
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение |
(2): |
|
|||||||||
IMv2 |
|
= Mgs (sin a.- |
sin(3) |
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инайдем скорость оси колеса:
v-2^j~gs(sina-sinji).
О т в е т : v =2j-jgs(sina-sinji).
Задача 38.43
Решить предыдущую задачу, принимая во внимание трение качения колес о наклонные плоскости. Коэффициент трения качения равен /к , радиусы колес равны г.
326 |
X. Динамика материальной системы |
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. На расчетной схеме покажем конечное и начальное положения системы. Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
(О
Так как система неизменяема, то £ Aj. =0.
Вначальном положении система находилась в покое, т.е. Т0 = 0.
Сучетом этого выражение (1) примет вид
Т = |
(2) |
Кинетическая энергия системы в конечном положении (см. решение задачи 38.42)
- |
3Mv2 |
+ |
3Mv2 |
+ |
Mv2 |
= |
7Mv2 |
|
T = |
|
|
|
. |
(3) |
Определяем работу внешних сил с учетом трения качения колес о наклонную плоскость:
Ъ Ак = Ал + Ав + Ас + AN + АтрА+/Орг- |
(4) |
работа силы тяжести колеса А
Aa = Mgs sina.
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
327 |
|||
Работа силы тяжести колеса В |
|
|
|
|
|
Аа = -A/gssinp. |
|
|
|
Работа Ас силы тяжести блока С равна нулю. |
|
|||
Работа AN СИЛ реакций связей NA, NB, Х0, |
К0 и Fw равна нулю. |
|||
Работа силы трения качения колеса А |
|
|
||
|
Ар а = ~тгрф = -NAfK |
- = ~MgfK |
- cosa, |
|
|
|
г |
г |
|
колеса В |
|
|
|
|
|
Arpg = -^трф = ~NBfK |
-г = -MgfKt |
г cosp. |
|
Тогда согласно формуле (4) |
|
|
|
|
X |
= Mgs sin a - Mgs sinP - MgsfK -r cosa - MgfK -rcos p = |
|
||
|
|
f |
|
|
|
= Mgs (sin a - sinP) - —r( c o s a + cos P) |
(5) |
||
Подставим выражения (3) и (5) в уравнение (2): |
|
|||
|
IMv2 |
f |
|
|
|
= Mgs sin a - sinP - —r( c o s a + cos P) |
|
||
и найдем скорость оси колеса с учетом трения качения колес:
|
f |
v = 2'lj& |
sin a - sin р - — ( c o s a + cos P) |
|
r |
f
О т в е т : v = 2^j—gs s i n a - s i n P - — ( c o s a + c o s P) r
Задача 38.44
К грузу А массы M\ прикреплена нерастяжимая нить, переброшенная через блок D массы М2 и намотанная на боковую поверхность цилиндрического катка В массы My При движении груза А вниз по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту, вращается блок D, а каток В катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол р.
328 |
X. Динамика материальной системы |
D
Определить скорость груза А в зависимости от пройденного им пути s, если в начальный момент система находилась в покое. Блок D и каток В считать однородными круглыми цилиндрами. Силами трения и массой нити пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. На рисунке покажем конечное положение системы, отметив начальное.
Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
Т-То = £ 4 + 1 4 . |
(1) |
Так как система неизменяема, то £ 4 =0.
Вначальном положении система находилась в покое, т.е. Т0 = 0.
Сучетом этого выражение (1) примет вид
Т = 1 4 . |
(2) |
в
Ктр
M3g
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
329 |
Найдем кинетическую энергию системы в конечном положении:
|
|
|
|
T = TA + TD + TC. |
|
|
(3) |
|||
Кинетическая энергия груза А, совершающего поступательное дви- |
||||||||||
жение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
M}v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J А ~ |
2 |
|
|
|
|
|
и блока D, совершающего вращательное движение, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
и? |
„2 |
ЛУ.-..2 |
|
|
|
|
D |
2 • |
2 |
2 |
/ь2 |
4 |
|
|
|
Кинетическая энергия катка В, совершающего плоскопараллель- |
||||||||||
ное движение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
_- |
|
-| 1 ICQ2 |
- |
|
У 1 |
|
- |
|
|
|
" |
2 |
|
2 |
В |
2 |
2 |
2 (г5)2 |
|
|
|
|
|
Af3v2 |
Л/3(У/2)2 ^ ЗЛ/3У2 |
|
|
||||
|
|
|
4 + |
4 |
|
|
16 |
|
|
|
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|
|
|||||
Г я |
^ i z ! |
+ |
4 |
+ |
16 |
e ( 8 Л / 1 + |
4 М 2 + З М з ) 4 - |
( 4 ) |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
16 |
|
||
Найдем работу внешних сил: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Z A £ = AA + Ae + AD + A„. |
|
(5) |
|||||
Работа силы тяжести груза А |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Аа |
= Mussina, |
|
|
|
||
катка 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ae = - A f ^ s i n p = -M3£~-sinp. |
|
|
||||||
Работа Ао силы тяжести блока D равна нулю. |
_ |
|
||||||||
Работа AN |
сил реакций связей NА, |
NB, |
Г0 и |
равна нулю. |
||||||