doc2
.pdf290 |
X. Динамика материальной системы |
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение механической системы, состоящей из велосипеда и велосипедиста на схеме. Покажем на рисунке начальное
иконечное положения велосипеда, а также действующие силы: силу тяжести Mg велосипеда вместе с велосипедистом, силы реакций NА
иNB, силы FTpA и Fjpg трения колес, а также момент сил трения качения ттр, начальную скорость велосипеда и его путь до остановки.
Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
Т-Т0 = 14+Ъ4- |
(1) |
Так как система неизменяема, то работа внутренних сил равна нулю, т.е.
14=о-
В конце пути, когда велосипед остановится, его кинетическая энергия станет равна нулю, т.е. Т = 0, поэтому выражение (1) примет вид
~г0 = 1 4 е . |
(2) |
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
291 |
|||||
Кинетическая энергия велосипеда в начальном положении |
|
|||||
|
Т0=2ТК |
+ |
ТП. |
|
|
(3) |
Кинетическая энергия колеса, совершающего плоскопараллель- |
||||||
ное движение, |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
R2 |
1 |
|
Кинетическая энергия поступательно движущихся частей велосипеда и велосипедиста
т_ М
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|||
Г0 = |
2М, VQ + MA. = (К+2М, |
]v02 |
= 2,52f— • 80+2 • s ] = 312,5 (Н • м). |
|||
|
2 |
U |
V |
|
7 V2 |
|
Определим работу внешних сил: |
|
|
||||
|
|
= Л* + Лр + |
+ Л^тр = Ар» |
|||
так как работа А |
сил тяжести при движении по горизонталям, рабо- |
|||||
та AN |
сил реакций NAW.NBW |
AFIP |
равны нулю. |
|||
Работа момента сил трения качения колес |
||||||
|
Лтр = -/Итрф= |
+ NB)A Ф = QMX +M)gfK^ = |
||||
|
|
= -(2-5+80)9,8 0 , 0 0 5 ~ |
=-8,82s. |
|||
Подставим полученные значения |
Г0 и ]Г |
в уравнение (2): |
||||
|
|
|
—312,5 = —8,82 j |
|
||
и найдем путь
s = 35,4 м.
О т в е т : 35,4 м.
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
293 |
|
Применим теорему об изменении кинетической энергии меха- |
||
нической системы: |
|
|
Т-Т0 = |
+ 24- |
(О |
Так как система неизменяема, то работа ее внутренних сил равна нулю, т.е. 2 4 =0.
Вначальный момент система была в покое, значит, Т0 =0.
Сучетом этого выражение (1) примет вид
|
|
|
|
т |
= 2 4 - |
|
|
|
|
(2) |
||
Определим кинетическую энергию системы в конечном |
поло- |
|||||||||||
жении: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = TA + TB + TC + TD. |
|
|
(3) |
|||||
Кинетическая энергия грузов А и В, совершающих поступатель- |
||||||||||||
ное движение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
_ МУ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
'А ~ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТВ |
= |
M2v\ |
M2(v/2)г |
M2v2 |
|
|
||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Кинетическая энергия подвижного блока С, совершающего плос- |
||||||||||||
копараллельное движение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
т _ M3v2c |
|
1 |
2 _ M,v2c |
1 |
1 Мгг2 |
vl _ |
3M,v2 |
|
||||
|
2 |
1—lnwr |
|
2 |
2 |
2 |
^ |
;—• |
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
r2 |
16 |
|
||||
Кинетическая энергия блока D, совершающего вращательное дви- |
||||||||||||
жение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 M3r2 v2 __ M3v2 |
|
|
|||||
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
8 |
|
16 |
|
4 |
|
|
|
|
16 |
|
Определим работу внешних сил: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2Ак = Aa + Ad+Ac + Ad+An+Ag. |
(5) |
||||||||||
294 |
X. Динамика материальной системы |
Работа сил тяжести груза А
Aa = M\gh.
Работа сил тяжести груза В
Ав = -M2ghB = -M2g~.
Работа сил тяжести подвижного блока С
Ас = -M3ghc = -M3g~.
Работа Ао сил тяжести блока D, работа AN сил реакций Np и G равны нулю.
Следовательно, согласно формуле (5)
(6)
/
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение (2):
(8Л/[ +2Л/2 |
+ 1Мг)— = (2Л/, - Л/2 - |
Л/3) gh |
|
|
|
16 |
2 |
и найдем скорость груза А\ |
|
|
|
v = |
2l2gh |
2MI-M2-M3 |
|
|
|
8Л/, +2М2 + 7М3 |
|
О т в е т : v = 2J2gh 2М{-Мг-М3
Шх +2М2 + 1М3
Задача 38.31
К ведущему колесу — барабану А — снегоочистителя приложен постоянный вращающий момент т . Массу барабана А можно считать равномерно распределенной по его ободу. Суммарная масса снега D, щита В
и всех прочих поступательно движущихся частей постоянна и равна М2. Коэффициент трения скольжения снега и щита о землю равен/, коэффициент трения качения барабана о землю равен/к. Масса барабана равна М\, его радиус г.
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
295 |
Определить зависимость между путем s, пройденным щитом В снегоочистителя, и модулем его скорости v, если в начальный момент система находилась в покое.
Р е ш е н и е |
гЛ *. |
5 |
• |
|
Рассмотрим движение данной систе- |
|
|||
мы. Изобразим расчетную схему для ко- |
в |
|
||
нечного положения, когда щит В прошел |
|
|
|
|
путь 5. Покажем на рисунке действующие |
( ( С( |
|
\ |
VBD |
силы: силу тяжести Mxg тела А, силу тя- |
[ у |
|
*П D у * |
|
жести M2g щита В и снега, силу Frp тре- |
//77 '/ /рР/ / / / // / . ' / / |
|||
ния скольжения снега И щита по земле, |
" тр |
|
|
|
"А |
|
|
Nbd |
|
силы реакций NА и NBD, а также вращаю- |
|
|
||
|
|
|
|
|
щий момент т, момент сил трения каче- |
|
|
|
|
ния барабана по земле тт р . |
|
|
|
|
Линейная скорость v центра барабана А равна скорости vBD |
щита |
|||
со снегом. |
|
|
|
|
Применим теорему об изменении кинетической энергии меха-
нической системы: |
|
Т -То = |
(1) |
Так как система неизменяема, то работа ее внутренних сил равна нулю, т.е. =0.
В начальный момент система находилась в покое и ее кинетическая энергия была равна нулю, т.е. Т0 = 0.
С учетом этого выражение (1) примет вид
(2)
Найдем кинетическую энергию системы, когда щит В прошел
путь s: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = TA + TBD. |
|
(3) |
||||
Кинетическая энергия барабана, совершающего плоскопараллель- |
|||||||||
ное движение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M)V2 |
1 , |
с о |
2 |
= |
Af] v2 |
1 |
Ы 2 V2 |
= Л / , У 2 . |
|
Тл =— - |
— + - / с |
|
2 |
||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
г |
|
|
296 X. Динамика материальной системы
Кинетическая энергия щита со снегом |
|
||
т |
M2vlD |
M2v2 |
|
T B D — J - - — . |
|
||
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|
Т ~(2М[ + М2)~. |
(4) |
|
Определим работу вешних сил при перемещении s: |
|
||
Y,Aek=AA + AB D +AN +Am +AT V + AK. |
(5) |
||
Снегоочиститель движется по горизонтальной поверхности, поэтому работа сил тяжести Ал и ABD равны нулю.
Работа сил реакций связей NA и NBD также равна нулю. Работа вращающего момента m
|
|
|
|
л |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am = /яф = mг |
-. |
|
|
|
|||
Работа сил трения скольжения |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ЛР = -FT= |
-Nbd |
fs = |
|
-M2g/s. |
|
|
||
Работа момента сил трения качения |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
= |
f |
s. |
|
|
|
|
А = ~/ИтрФ= ~NaA- |
|
г |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
Тогда согласно формуле (5) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X А£ = m - - M]g^s |
- M2gfs |
= (m- MlgfK |
- M2gfr)~. |
(6) |
||||||
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
r |
|
Подставим выражения (4) и (6) в уравнение (2): |
|
||||||||||
|
|
|
(2Л/, +M2)~ |
= (m- |
M]gfK |
|
- M2gfr)~ |
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
г |
|
и найдем путь щита В: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
L |
2М, +М2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
'2 m-(MJK-M2fr)gV |
|
|
' |
|
|
||
„ |
s = |
г |
2М\ +М2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : |
2 |
1 |
у . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m-(M\fK |
- fM2r)g |
|
|
|
|
|
|
||
298 |
X. Динамика материальной системы |
Кинетическая энергия одного из четырех колес, совершающих плоскопараллельное движение,
Т - |
M'V°2 |
t 1 / |
со? - M|V« |
t |
1 |
уо - |
Ш ' у о |
' |
2 |
2 0 |
2 |
|
2 2 |
г2 |
4 ' |
Тогда согласно формуле (1)
Г0 |
= М |
|
4 ЗД/| VQ |
.,2 |
(2) |
+ |
= (М2 -ь6Л/|)у-. |
||||
|
2 |
|
4 У |
|
|
Определим кинетическую энергию системы в конце пути:
Т = Т2 +47J. |
(3) |
Кинетическая энергия кузова, совершающего поступательное движение,
Г, _ M2v2
Кинетическая энергия одного из четырех колес, совершающих плоскопараллельное движение,
Т г- Л / 'у 2 |
у 1 / |
цг _ Mv 2 |
, 1 М)/-2 |
У2 _ ЗМ[У2 |
|
|||
' |
2 |
2° |
' 2 + 2 |
2 |
г2 ~ |
4 ' |
|
|
Тогда согласно формуле (3) |
|
|
|
|
|
|||
|
г _ Л / 2 у 2 |
ЛШ, У2 |
j = (6A/] +Л/2 )~. |
|
(4) |
|||
|
|
2 |
4 |
|
||||
Определим работу внешних сил при перемещении J: |
|
|||||||
|
S 4 t |
= 4 |
+ Л2 + Л Р + Л* + ЛДр = /Ц. |
|
(5) |
|||
Автомобиль движется по горизонтальной дороге и работа сил тя- |
||||||||
жести А, и А2 равна нулю. |
|
|
|
|
|
|||
Работа момента сил трения качения всех колес |
|
|
||||||
|
Arp = -mTp<f> = -NfK- |
= -{M2+4Ml)gfK-. |
г |
(6) |
||||
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
Работа Ajv сил реакций N и работа AFTp равны нулю.