doc1
.pdf
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
221 |
|
И Л И |
|
|
mv, -mv0 = j(mgsina-FTV)dt = _ |
|
|
0 |
mucosa |
|
|
|
|
= (mg sina - FJt^ |
(1) |
|
где Fx = mgcosa (см. рисунок). |
|
|
С учетом того, что v, = 0, |
а Frp = |
|
= 0,1mg по условию, формула (1) примет вид |
|
|
-v0 |
= g(sina-0JX. |
|
Отсюда, приняв, что sin a = а, найдем
|
= |
h |
= |
^ |
= 11,08 (с). |
1 |
|
g(0,lgsincc) |
|
9,8(04 -0,008) |
|
По теореме об изменении кинетической энергии
где v, = 0;
Y,A(Fk) = mgs sin a - F^s = mgs sin a - O^mgs = mgs (a - 0Д). Тогда уравнение (2) примет вид
Откуда
102
s = - = 553 (м). 2^(0Д-а) 2-9,8 (ОД-0,008)
О т в е т : 55,3 м; 11,08 с.
Задача 30.8
Поезд массы 200 т идет по горизонтальному участку пути с ускорением 0,2 м/с2. Сопротивление от трения в осях составляет 0,01 веса поезда и считается не зависящим от скорости. Определить мощность,
222 |
IX. Динамика материальной точки; |
развиваемую тепловозом в момент f = 10 с, если в начальный момент скорость поезда равнялась 18 м/с.
Р е ш е н и е
Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме:
|
Ла^Хм. |
|
|
|
. 2 |
Мощность тепловоза |
|
|
N = |
dA |
d (mv2 |
dt |
-mva, |
|
|
dt |
|
где a — ускорение.
При / = /, = 10 с
jV, =mv,fl,,
где v, = v0 + atx = 18+0,2-10 = 20 (м/с); a, = а + = 0,2+0,01-9,8 =
=0,298 (м/с2).
Врезультате найдем
Nt = 200-Ю3 -20-0,298 = 1192 (кВт).
Для вычислений мощности проще воспользоваться формулой
где F — сила тяги тепловоза. Силу тяги можно найти из уравнения
та = F - /vp => F = та + F^ = ma + \tmg = rria + \xg).
Тогда
N, =т(а + pg)v, = 200-Ю3(02 +0,01-9,8)20 = 1192 (кВт).
З а м е ч а н и е . Силу тяги тепловоза F можно найти также, применив теорем) об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме:
' f - ' f ^ F - F ^ s .
О т в е т : 1192 кВт.
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
223 |
Задача 30.9
Брус начинает двигаться с начальной скоростью v0 по горизонтальной шероховатой плоскости и проходит до полной остановки расстояние s. Определить коэффициент трения скольжения, считая, что сила трения пропорциональна нормальному давлению.
Р е ш е н и е |
|
|
Применим теорему об изменении кинетиче- |
N |
|
ской энергии материальной точки в интеграль- |
||
|
||
ной форме: |
ш тШшт. х |
|
|
||
Так как v = 0, а работу совершает только сила |
mg |
|
|
||
трения (см. рисунок), то |
|
mvl
2~ = ~т Откуда найдем коэффициент трения
V2
О т в е т : / = ——.
2gs
Задача 30.10
Железнодорожная платформа имеет массу 6 т и при движении испытывает сопротивление от трения в осях, равное 0,0025 ее веса. Рабочий уперся в покоящуюся платформу и покатил ее по горизонтальному и прямолинейному участку пути, действуя на нее с силой 250 Н. Пройдя 20 м, он предоставил платформе катиться самой. Вычислить, пренебрегая сопротивлением воздуха и трением колес
орельсы, наибольшую скорость платформы во время движения,
атакже весь путь, пройденный ею до остановки.
Р е ш е н и е
Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме:
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
225 |
Так как работу совершает только сила сопротивления, a v = 0, то
>1
2
Откуда рассчитаем массу молотка
2FJ 2-700-0,15-Ю"2 = 1,344 (кг). Vo2 1Д52
О т в е т : 1,344 кг.
Задача 30.12
Упавший на Землю метеорит массы 39 кг углубился в почву на 1,875 м. Вычислено, что почва в месте падения метеорита оказывает проникающему в нее телу сопротивление 5-Ю3 Н. С какой скоростью метеорит достиг поверхности Земли? С какой высоты он должен был упасть без начальной скорости, чтобы у поверхности Земли приобрести указанную скорость? Считаем силу тяжести постоянной и пренебрегаем сопротивлением воздуха.
Р е ш е н и е
Исходя из теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме на участке проникновения метеорита в почву до остановки запишем
г- |
„, |
—~ = -Fes+mgs, |
(1) |
где v0 — скорость метеорита в момент падения на Землю; Fe — сила сопротивления грунта, Fc - 5-105 Н; mg — сила тяжести метеорита; 5 — глубина проникновения метеорита в почву.
Тогда из формулы (1) найдем |
|
|
||
|
2(Fc-mg)s |
_ 12(5-10' -39-9,8)-1,87 5 |
_ 2 |
|
v |
т |
V |
39 |
' |
Если пренебречь силой тяжести из-за ее незначительности, то
v0 |
ГЩ7 |
11,875-106 |
. . |
= , — = |
Л М — - — =219,26 (м/с). |
||
|
т |
V 39 |
|
226 |
IX. Динамика материальной точки; |
По формуле свободного падения определим высоту, с которой |
|
должен упасть метеорит: |
|
2g |
48074,95 =2452,8 (м). |
2-9,8 |
|
О т в е т : v0 = 219,3 м/с; Н ~ 2453 м.
Задача 30.13
Незаторможенный поезд массы 500 т, двигаясь с выключенным двигателем, испытывает сопротивление R = (7650 + 500v) Н, где v — скорость в м/с. Зная начальную скорость поезда v0 = 15 м/с, определить, какое расстояние пройдет поезд до остановки.
Р е ш е н и е
Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме:
/'mv2
dA
или |
|
|
mvdv = |
-Rds, |
|
|
|
|
|
|
|
||
где R — сила |
сопротивления. |
|
|
|
||
Откуда |
|
|
mvdv |
|
|
|
|
|
|
ds = |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
Проинтегрируем это выражение с учетом данных задачи: R = 7650 + |
||||||
+ 500v, т |
= 500-Ю3, |
|
|
|
|
|
j |
и 500-10'vdv |
|
|
°f[(153 + v)-153Wv |
||
|
7650+500V |
Jl5,15,3+ v |
J |
15,3+ v |
||
|
|
|
0 |
|
v0 |
|
|
|
W |
г 153 dv' |
|
|
|
= - M 0 : |
153 +v = -l-103[-v0 |
-15,31n(153 + v ^ J = |
||||
-1 -103 {-v0 |
-15,3[ln 153 - ln(l53 + v0)]} = 1 • 103 |
v0 -15,3 In1 53 + VG |
||||
|
|
|
|
|
|
15,3 |
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
227 |
Тогда
5 =110J 15-15,31nfl + — ^ = 4,5 (км).
I 153JJ
О т в e т: 4,5 км.
Задача 30.14
Главную часть установки для испытания материалов ударом составляет тяжелая стальная отливка М, прикрепленная к стержню, который может вращаться почти без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Пренебрегая массой стержня, рассматриваем отливку М как материальную точку, для которой расстояние ОМ - 0,981 м. Определить скорость v этой точки в нижнем положении В, если она падает из верхнего положения А с ничтожно малой начальной скоростью.
Р е ш е н и е
Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме:
(1)
где v0 =0; ^A(Fk)=mgh.
Тогда уравнение (1) примет вид
mv = mgh,
где h—2R = 2 ОМ = 1,962 м. Откуда
v = = V2 -9,8-1,962 = 6,2 (м/с).
О т в е т : v = 6,2 м/с.
228 |
IX. Динамика материальной точки; |
Задача 30.15
Написать выражение потенциальной энергии упругой рессоры, прогибающейся на 1 см от нагрузки в 4 кН, предполагая, что прогиб х возрастает прямо пропорционально нагрузке.
Р е ш е н и е Потенциальную энергию рессоры вычислим по формуле
Я = — + С ,
2
где с — жесткость рессоры; С — постоянная, характеризующая начальное значение потенциальной энергий.
Согласно условию задачи
с = 4 кН/см = 400 кН/м;
тогда
П = 200 103х2 +С (если х в м),
или, если х в см,
Я = |
МО4 |
+С = 20х2 +С (Дж). |
|
|
|
|
|
О т в е т : П = (20х2 +С) Дж, если х в см. |
|
||
|
|
Задача 30.16 |
|
Пружина имеет в ненапряженном состоя- |
TOL^JM |
||
нии длину 20 см. Сила, необходимая для |
|
||
изменения ее длины на 1 см, равна 1,96 Н. |
|
||
С какой скоростью v вылетит из трубки шарик массы 30 г, если пружина была сжата до длины 10 см? Трубка расположена горизонтально.
Р е ш е н и е |
|
|
Применим теорему об изменении |
N |
|
кинетической энергии материальной |
^ А Л ^ л л а Г ) — ^ |
|
точки в интегральной форме: |
Шшьх |
|
mv mvl |
•lA(Fk). |
mg х |
|
||
~Т |
|
|