300 |
IX. Динамика материальной точки; |
Аналогично
je'2^cosydy = -jyjcoscpde'2^ = -~е'2Мсо%у-
= - j j е'2м cosф+ |
|
е2 |
* sin ф - — • J е~2м cosф => J е~2h cosфdy = |
|
= — ^ - т е " 2 Л ' с о 8 ф + — Ц - е ^ з т ф . |
|
|
|
|
1+4/2 |
|
|
f , + 4 / 2 |
|
v |
|
|
В результате получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2е |
|
|
|
sin(P~ COS( P+2 /2 |
со5ф-/5тф)е"2Л> |
|
|
С = |
ВЛ у, |
|
|
|
|
|
или |
Л(1+4/ |
)2 а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда при условии, что и = |
|
|
|
|
|
|
|
v2 =С,е Л> |
|
|
2-^(3/ sin Ф+cos ф - 2/ 2 cosffl). |
|
(5) |
|
|
|
1+4fl |
|
|
|
f |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как v = 0 при Ф=Ф0 = arctg/ |
и зтф0 |
= . J |
, соБф0 = |
. |
.., |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
л/1+/2 |
л/1+/2 |
|
|
с |
|
= |
../iTTV27'1'" |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1+4/2 |
* |
* |
• |
|
|
|
Подставим значение С, в формулу (5) и получим - ( 3/ 5 тф+со 8 ф - 2/ 2 со 8 ф)] .
Так как движение начинается из положения ф = 0, то
О т в е т: v0 < J - i ^ f / T p ' e - 2 ^ » - (1 - 2/ 2 )], где Фо = arctg/.
Задача 31.30
Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в нижней точке А внутренней части шероховатой поверхности неподвижного цилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость v„, направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно достигло верхней точки В цилиндра? Коэффициент трения скольжения равен f .
Р е ш е н и е
Запишем уравнения движения тела К на участке АКВ (см. рисунок) в проекции на оси т и п :
dv |
. |
„ |
m— = |
-mgsmy-F[p, |
dt |
|
|
т— = N-mg |
cosy. |
Выразим из уравнения (2)
N = m gCOS(p+ R
и найдем
V12 Л
FTp=fN = fm ecos(p+ —
R
Подставим это выражение в уравнение (1) и получим дифференциальное уравнение движения
~ + = -£(sincp+/costp).
Введем замену
. . dv |
dv dy |
- = |
vdv |
, |
v = v((p) => — = |
Rdy |
dt |
dy dt |
|
|
302 |
|
IX. Динамика материальной точки; |
v |
|
|
|
так как ф = —, получим |
|
|
|
V — + f v 2 |
= |
/ costp). |
|
dip |
|
|
|
Обозначим u = v2 и запишем |
|
|
|
—+2/и = -2g./?(sin<p+/cos(p). |
(3) |
dy |
|
|
|
Решение уравнения (3) представим в виде суммы
и = и, +и2,
где «, — решение однородного уравнения; и2 — частное решение. Найдем решение однородного уравнения
du1. = -2/Лр => lnw, = -2/ф+InC =>и, = Се'2/Ф.
и .
Частное решение ищем методом вариации постоянных:
|
иг = С(ф)<Г2Л => |
= *Le2 |
*-2Cfe-2Л>. |
|
|
|
<йр |
<Лр |
|
|
Тогда уравнение (3) для С(ф) принимает вид |
|
~ |
е - 2 Л > - 2 С/е-2^ +2fCe-2* |
= -2sfl(sin©+/со5ф) |
£?ф |
|
|
|
|
И Л И |
|
|
|
|
|
|
JrfC = -2g/?|(sin9+/cos9)e2 / V9. |
|
По аналогии с решением задачи 31.29 найдем |
|
Г е2/ф sin ф£?ф = —^—e2fi> |
sin ф |
—- eJ/>5>cosm; |
J |
1+4/ |
|
|
1+4/2 |
. |
[е2Л,со5ф^ф= |
, е2/<рсо5ф+—1—£?2*siim. |
|
J |
1+4/ |
2 |
|
1+4/2 |
|
Тогда
С = 1+4/2gR2 ( - 3 / sin(p+coscp-2/J cosq>)e-2/ф Итак, закон изменения скорости принимает вид
v2 |
= С,е~2лЧ |
2gR |
[-3/sin ф+(1 - 2/2 ) соэф]. |
(4) |
1+4/2 |
Полагая v = 0 при ф = тс, найдем
- 2 / > 2 Ч
1+4/2
Подставим выражение С, в формулу (4) и для ф = 0 получим
M - - a - 2 / 2 ) ( e 2 ^ + i ) .
VI+4/
О т в е т: Vo > Jj—frV d - 2/2 ) + Зе2л/].
Задача 31.31
Шарик, подвешенный на нити, описывает окружность в горизонтальной плоскости, образуя конический маятник. Найти высоту конуса, если шарик совершает 20 оборотов в минуту.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение шарика под действием силы т я ж е с т и и реакции N нити (см. рисунок).
Запишем уравнения движения в проекциях на естественные оси и, т, Ь\
v2
т — = TV sin а,
г
mb = N cosa-mg.
304 IX. Динамика материальной точки;
Из уравнения (1) следует, что v = const, тогда В = 0 и уравнение (3) примет вид
N cosa = mg.
Откуда
|
|
|
|
cosa |
(4) |
|
|
|
|
|
|
Подставим выражение (4) в уравнение (2) и получим |
|
|
v 2 =grtga . |
(5) |
|
Так как tga = —, v = со/- = —г, то формула (5) примет вид |
|
h |
30 |
|
|
|
|
|
К2"2 |
гг . 8f2 |
|
Откуда |
900 |
h |
' |
|
900g |
900-9,8 |
. . |
|
. |
|
h = -лr -nv = |
3,142 -20 |
= 2,25 (м). |
О т в е т : h =225 м.
Задача 31.32
Материальная точка единичной массы движется в горизонтальной плоскости под действием силового поля с потенциалом П = х2 + + ху+у2. В начальный момент точка имеет координаты х = 3 см, у = 4 см и скорость 10 см/с, параллельную положительному направлению оси х. Определить движение точки.
Р е ш е н и е
Запишем дифференциальные уравнения движения материальной точки (см. рисунок), находящейся в по-
тенциальном поле, в проекции на оси /
х и у:
тх = dYl , dx
31. Смешанные задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
305 |
И Л И |
|
х-2х |
+ у |
-О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О) |
|
|
у+2у+х |
= 0. |
|
|
|
(2) |
При составлении уравнений учтено, что т = 1,FX = dU , Fy |
' |
с/П |
Начальные условия движения: |
|
|
d x |
dy' |
|
|
|
|
|
х0 = Зсм, |
х0 = 10 см/с, |
|
|
(3) |
|
у0 = 4см, |
у0 =0. |
|
|
(4) |
Решение дифференциальных уравнений (1) и (2) ищем в виде |
|
• |
х = |
Аеи+В<?', |
|
|
|
|
|
|
y = AeXt-BeiU. |
|
|
|
|
Тогда эти уравнения примут вид |
|
|
|
|
|
|
АХ2е" +2Аеь |
+ |
V |
+2 Be»' + Ае"-Be1" = 0, |
|
|
АХ2е» +2 Аеь-В\1ге*-2 |
Be* + Аеь +Ве* = 0. |
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(X2 +3 = 0, |
(X, = Si; |
Х2 = |
-Si, |
|
|
V2 +1=0 |
|
|
|
^ |
|
|
|
Поэтому решение дифференциальных уравнений (1) и (2) при- |
мет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = А, cosSt |
+ A2smSt+Bl |
cost+B2sint, |
|
(5) |
у = At cosSt |
+ A2sinSt-Bl |
cost-B2 |
sin/. |
|
(6) |
Продифференцируем эти выражения по времени: |
|
|
х = -Щ |
sin St |
+ SA2 |
cosSt-Blsint |
+ B2 cos t, |
|
|
у - -SA] |
sinSt |
+ SA2 |
cos73 f +fi,cos t - 5, cos t. |
|
|
С учетом начальных условий движения [см. формулы (3), (4)] получим
|
3 = А, +Ц, |
|
|
4 = |
А,-А, |
(7) |
|
10 = |
SA2+B2, |
|
|
306 |
IX. Динамика материальной точки |
Решим систему уравнений (7) и найдем: А, = 3,5, В1 = -0,5, А2 =5-S Bt= 5.
Подставим значения постоянных в уравнения (5) и (6):
х = 3,5 cos^/3 / + s i n - f i t - 0,5 cos / + 5 sin t,
у = 3,5 cosV3 / + ~ ~ sinV3 ?+03 cos / - 5 sin
О т в e т: x = 33 c o s V 3 t + s i n V J / - 0,5 cos / + 5 sin V,
у = 33 c o s V J / + s i n V 3 1 + 0 3 cos Г - 5 sin t.
Задача 31.33
Маленькому кольцу, надетому на проволочную горизонтальную окружность радиуса а, сообщили начальную скорость v0. Коэффициент трения кольца о проволоку равен/. Определить, через какое время кольцо остановится.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение кольца М под действием силы тяжести mg, силы трения Ftр и реакций N, и N2 проволочной окружности (см. рисунок).
Запишем дифференциальные уравнения движения в проекциях на естественные оси т, п, Ь:
dv
|
dt |
(1) |
|
|
|
mv |
(2) |
|
а |
|
|
|
mg = N2, |
( 2 ) |
где fjNT+Nl = FTp.
Выражения (2) и (3) подставим в уравнение (1) и получим
dt а
Разделим переменные, проинтегрируем и определим время, через которое кольцо остановится:
dv
ff li V T J ? '
dv
О т в е т - 7 //I ^ / h W '
Задача 31.34
Материальная точка массы 2 кг притягивается к некоторому центру силой F = (-Hxf -8yj -2zk) Н. Начальное положение материальной точки определяется координатами х = 4 см, у - 2 см, z = 4 см. Начальная скорость равна нулю. Определить уравнения движения точки и ее траекторию.
Р е ш е н и е Запишем основной закон динамики точки в векторном виде:
mf = F. |
(1) |
В декартовой системе координат Oxyz: |
|
г = xf + y] + z/c. |
(2) |
Согласно условию задачи |
|
F = -8xi-8yj~2zk. |
(3) |
Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1) и запишем дифференциальные уравнения движения материальной точки (см. рисунок) в проекциях на оси х, у, Z'-
тх = - 8 х , ту = - 8 у,
308 |
IX. Динамика материальной точки; |
или, так как т = 2,
х+4х=0, |
(4) |
у+4у |
= 0, |
(5) |
Z+Z |
= 0. |
(6) |
Решения уравнений (4)-(6) имеют вид:
х= С, cos 2/+С2 sin 2/, * = -2С, sin 2r+2С2 cos 2/;
у= Съ cos 2f+С4 sin 2t, у = -2С3 sin2/ +2С4 cos2/;
Z=C5cosf+C6sinf, |
г = -C5 sin/+C6 cos/. |
Найдем постоянные интегрирования, подставив начальные условия: Хо =4, х0 =0, у0 =2, у0 =0, з, =4, to =0, получим: С, =4, С2 =0, С 3 =2,С 4 =0,С 5 =4,С 6 =0 .
Тогда
х = 4cos 2ty |
(7) |
у = 2 cos 2/, |
(8) |
Z = 4cos t. |
(9) |
Исключим параметр t из уравнений (7)—(9), воспользовавшись формулой
cos 2t = |
2cost-\. |
Получим из формул (7) и (9) |
|
v= i |
4 |
2 |
' |
из формул (8) и (9) |
|
из формул (7) и (8)
х= 2 у.
От в е т: х = 4 cos 2/, у = 2 cos 2t, z = 4 cos t. Траектория — линия пересе-
|
чения двух параболических цилиндров х- |
z2 |
4 и у = |
z2 |
4. |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
Это — парабола, лежащая в плоскости х = 2у. Движение по траектории осуществляется на участке от точки х=4 см, у = 2 см, г - 4 см до точки х = 4 см, у = 2 см, z = - 4 см.
Задача 31.35
Конический маятник имеет длину / и описывает в горизонтальной плоскости окружность радиуса а. Определить период обращения конического маятника.
Р е ш е н и е
Запишем дифференциальные уравнения движения маятника (см. рисунок) в проекциях на естественные оси т, и, Ь:
dv
т — = 0, dt
т— - ./Vsina,
а
