Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc1

.pdf
Скачиваний:
525
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
11.39 Mб
Скачать
☆

350

IX. Динамика материальной точки

Тогда

 

4л2

I Т 1

Для груза массой М уравнение (5) с учетом значения Т= 0,45 с, найденного в решении задачи 32.18, примет вид

-9,8-0,452

х = — : Г—cos

4-3,142

/2-3,14 Л

Л(Л<!

, A t t .

— — t

= -0,05cosl4/ (м),

I. 0,45 J

 

 

для груза массой М + М, период колебаний Г, =0,55 с, поэтому

-9,8-0,552

^2-3,14 Л

Л Л -

Л

х = —-——— cos

— ' — /

J

= - 0,07cos 11,4/ (м).

^ 4-3,142

I 035

 

 

О т в е т : 1) х = - 0,05cosl4/ (м); 2) х, = - 0,07 cosl 1,4/ (м), где х и х, отсчитываются соответственно от каждого из двух положений статического равновесия.

Задача 32.20

Груз М, подвешенный к неподвижной точке А на пружине, совершает малые гармонические колебания в вертикальной плоскости, скользя без трения по дуге окружности, диаметр которой АВ равен /; натуральная длина пружины а; жесткость пружины такова, что при действии силы, равной весу груза М, она получает удлинение, равное Ь. Определить период Г колебаний в том случае, когда / = а +Ь; массой пружины пренебречь и считать, что при колебаниях она остается растянутой.

Р е ш е н и е

Рассмотрим гармонические колебания груза М в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (? и силы упругости Fynp (см. рисунок).

32. Колебательное движение

351

Составим дифференциальное уравнение движения груза М в проекции на ось х, направленную по касательной к окружности:

т х = ^Fiu = -Fynp sin (p-G sin 2ф, (1)

где /^„p = еД, A = AM -a = (a +b) x

x coscp-tf — деформация пружины.

Тогда

Fy„p = с[(а+<<>)со5ф-а], а уравнение (1) примет вид

тх = с[(а+6)costp-a] sin ф-<7 sin 2ф. Так как v = х, v = oi-OM = (2ф)' ОМ - 2у ОМ = 2ф -/

С учетом этого перепишем уравнение (2):

mly = с\{а +b) cosy-а\ simp-G sin 2ф.

(2)

= /ф, то х = /ф.

Ввиду малости угла ф можно считать, что cosy = 1, sin ф = ф, тогда

 

 

т/ф = c[{a+b)-a]y-2yG

= с6ф-2<5ф.

(3)

 

Согласно условию Ыа+b,

т.е. находясь в точке В, груз занимает

положение статического равновесия, в котором

 

 

 

ГуПр(0) = сДо = сй = С?=>с =

G

 

 

 

 

 

 

Ъ

 

 

Следовательно, выражение (3) можно записать в виде

 

 

 

mly-

—•/>ф-2(7ф = -G<p

 

 

или

 

b

 

 

 

 

у+к2 ф = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

= j-.

 

 

 

 

 

 

Это дифференциальное уравнение описывает гармонические ко-

лебания с круговой частотой А = ,/— и периодом 7 = — = 2я

~.

 

 

 

V /

 

к

\ g

О т в е т : Т =

g .

 

 

 

 

352

IX. Динамика материальной точки

Задача 32.21

В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза М, если в начальный момент /.ВАМ = ф0 и точке М сообщили начальную скорость v0, направленную по касательной к окружности вниз.

Р е ш е н и е

Согласно результатам решения задачи 32.20 уравнение движения груза М имеет вид

 

Ф+£2Ф = 0,

 

где к1 = j-.

 

 

Решение этого дифференциального уравнения

 

ф = С,со5£/+С2 5т/:?,

(1)

ф = -кС, sin к! + кС2 cosк!.

(2)

Из формул (1) и (2) найдем С, и С2 по начальным условиям: при

t = 0 ф = ф0, v = v0 ф0 =

так как v0 направлено в сторону, обрат-

ную возрастанию угла ф; С, = ф0, С2 = —jL.

 

 

лД?

 

Подставим значения С, и С2 в формулу (1) и окончательно получим

 

Ф = ф0 cos J— t - —= sin J— t.

 

 

41 4ig v /

О т в е т : ф = ф0

соs J—

L sin J— t.

 

V/

V¥ . V /

Задача 32.22

Тело E, масса которого равна т , находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру О,. Длина недеформированной пружины равна /„; в положении равновесия тела пружина

32. Колебательное движение

 

353

имеет конечный предварительный натяг, рав-

о

ный Fg = c(l~l0), где I = OOv Учитывая в гори-

 

зонтальной составляющей упругой силы пру-

 

жины лишь линейные члены

относительно

 

отклонения тела от положения равновесия,

 

определить период малых колебаний тела.

 

Р е ш е н и е

 

 

Рассмотрим малые колебания те-

 

ла Е, происходящие под действием

 

силы тяжести G, реакции плоско-

 

сти N и силы упругости Fy„p. Ось х

 

направим вдоль плоскости из поло-

 

жения О равновесия тела по ходу его

 

движения (см. рисунок).

 

 

Запишем дифференциальное урав-

 

нение движения тела Е в проекции

 

на ось.*:

 

 

mx = '£jFkx = -Fynp sincp.

(1)

 

Найдем силу упругости

 

 

 

-Fynp = сЛ,

 

где А — деформация пружины, А = О.Е-10, О.Е = coscp

Тогда

F* упр= с coscp

Ввиду малости угла ср можно считать, что coscp = 1, sin cp = tgcp =1

Тогда уравнение (1) примет вид

т х - -с(/-/0 ) у.

( 2 )

По условию задачи

F0 = с(1 -/„)=> с =

/-/о'

354

 

IX. Динамика материальной точки

С учетом этого уравнение (2) запишем в виде

/ - / 0

/

/

или

 

 

х + к2х = О,

где к2 = Im

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний с круговой частотой к = I— и периодом Т = — -=2%

\lm

к

О т в е т : Т = 2 n^lmjF^.

 

Задача 32.23

Материальная точка массы m подвешена к концу нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости с и отпущена с начальной скоростью v0, направленной вниз. Найти уравнение движения и период колебаний точки, если, в момент времени, когда точка находилась в крайнем нижнем положении, к ней прикладывают силу Q = const, направленную вниз.

Начало координат выбрать в положении статического равновесия, т.е. на расстоянии Р/с от конца нерастянутой пружины.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение материальной точки с момента, когда ее подвесили к нерастянутой пружине, до нижнего крайнего положения (рис. 1). Силы, действующие на точку: сила упругости

Fynp, сила тяжести Р. Начало оси х совместим с положением статического

равновесия и направим ее вниз.

Запишем дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х:

m x = Y j F > « = P - F y пр.

( 1 )

где Fynp = сД, Д = f„ + х — деформация пружины.

32. Колебательное движение

355

Тогда уравнение (1) примет вид

 

 

тх- P-cf„-сх.

(2)

В положении равновесия

 

 

= cfa = Р,

 

тогда согласно формуле (2)

 

или

тх = -сх,

 

 

 

/ 2

х + А:2х = 0,

(3)

с

 

где к

= —.

 

 

т

 

Решение уравнения (3) имеет вид

 

 

х = С, coskt+C2 sinA/,

(4)

 

x = -kCxsinkt + kC2coskt.

(5)

Из формул (4) и (5) определим С, и Сг по начальным

условиям

движения: / = 0, х0

Р

mg

та

v0

= кС2 =>

= - / „ = —

= ——, х0

= v0; — - - Сп

 

с

с

с

 

 

=*С2=\ к

Подставим значения С, и С2 в формулу (4) и получим

х= coskt + —sin к t.

ск

Амплитуда колебаний

Рассмотрим дальнейшее движение точки после того, как к ней приложили силу Q (рис. 2).

Дифференциальное уравнение движения точки (начало коорди-

нат и ось — те же) в проекции на ось х:

 

или

m£ = JlFla=Q + P-Fynp=Q + P-c(f„+x)

= Q-cx,

 

 

 

x + k2x = Q,

(6)

, 2

т

 

С

 

где к

= —.

 

 

т

 

356

IX. Динамика материальной точки

Решение неоднородного дифференциального уравнения (6) ищем

в виде

 

 

X = х + х*,

где X = С, coskt+C2 sin kt;

x* = A.

Из уравнения (6) найдем

т

с

 

Тогда

 

 

х = С{ coskt+С2

sin kt + —,

(7)

х = -кС, sin А/ + kCj coskt.

(8)

Из формул (7) и (8) определим С, и С2 по начальным условиям:

при t = 0 х0 = 0, хй= а

 

mg)2 (v, 42

Q

0 = кС2 =>С2=0.

Подставим значения С, и С2 в формулу (7) и запишем уравнение движения точки после того, как к ней приложим силу Q:

 

ж2 /

 

/-1

X =

т8 \ + (

Vo 1

Q cos

Период колебаний

 

Cm

 

О т в е т : х =

cos

Q

+ —, где t отсчитывается

 

 

с

от момента времени, когда начала действовать сила Q;

Т = 2njm/c.

32. Колебательное движение

357

Задача 32.24

Определить период свободных колебаний груза массы т, прикрепленного к двум параллельно включенным пружинам, и коэффициент жесткости пружины, эквивалентной данной двойной пружине, если груз расположен так, что удлинения обеих пружин, обладающих заданными коэффициентами жесткости с, и съ одинаковы.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение груза на двух параллельных пружинах. Ось х направим вниз из положения О статического равновесия (см. рисунок).

Дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:

тх

= ^

= P - F y n p l

- F y

 

 

 

упр2

 

ИЛИ

 

 

 

 

тх = Р-сх

( f „ + х) - c2(J„ +х).

(1)

В положении статического равновесия

P=C,fc +С2/ст, тогда уравнение (1) примет вид

тх = -с, х - с2х = - (с, + с2)х

или

х + к2х = 0,

,2

<\ + С2

где к

= -3 т

Период колебаний

m

358

 

 

 

IX. Динамика материальной точки

 

Эквивалентная пружина должна иметь жесткость

 

 

 

 

с = с, +с2.

„

~

2% „

I т

; с = с. + с2; расположение груза таково,

О т в е т : / = — = 2л

\(<h+<h)

 

 

к

 

 

что

а,/д2 = с2/с\.

 

Задача 32.25

В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если его подвесили к нерастянутым пружинам и сообщили ему начальную скорость v0, направленную вверх.

Р е ш е н и е Решение дифференциального уравнения

х + к2х = О,

полученного в решении задачи 32.24, имеет вид

 

 

х = С, coskt+С2

sinkt,

 

 

(1)

 

х = ~kCt sin kt + kC2 coskt,

 

(2)

где к = p + С г

— круговая частота.

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

Из формул (I) и (2) определим постоянные С, и С2 по началь-

ным условиям: / =0, х0

- ~/ст

/>

 

х0 = -v0;

 

 

с, +с2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С, =

— ,

-v0 =fcC2=>С2

=

А

= -v0

'

Ш

 

с, + с2

 

 

 

 

Ц q +с2

где P-mg.

Подставим значения С, и С2 в формулу (1) и запишем уравнение движения груза: .

x = - A c o s

/S+SL,

- v 0

J - ^ - s i n

UOL+fL,

+с2

^V /я

 

c,+c2

(J m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

О т в е т : х = — — c o s [ JSLtSl t

-v0

 

-J5L-sin

 

/

2

V*

у

v

c

i

+ c

2

\V

m

C| + c

 

 

 

32. Колебательное движение

359

Задача 32.26

Определить период свободных колебаний груза массы т, зажатого между двумя пружинами с разными коэффициентами жесткости с, и с2.

Р е ш е н и е

Выберем начало координат в положении статического равновесия груза и направим ось х в сторону его смещения (см. рисунок).

Запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:

тх = ]>Yte

- G - р 1 -Fyap2,

 

^^

где Fynpl =q(/„ + х),

Fynpl = c2(J„ + х).

 

FynJ >

Тогда

 

 

 

t>M-

 

 

 

ynpl

mx = G-<\(J„ +x)-C2(f„

+x).

(1)

- E l l '

Так как в положении равновесия

 

 

%

G = /уПр, (0) + Fynp2(0) = cj„

+ c2fCT,

 

 

то уравнение (1) примет вид

 

 

 

 

тх = -с, х - с2х = -(q + с2)х

 

ИЛИ

х+кгх

= {),

 

 

 

 

 

где Л2

m

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний с круговой частотой

.„AM + С2

т

период колебаний

Г = ^ = 2*. /и q +с2

О т в е т : Т = 2к\- m

V(c, +с2)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности