doc1
.pdf450 |
IX. Динамика материальной точки |
|
|
Задача 32.81 |
|
На пружине, коэффициент жесткости которой |
|
|
с = 19,6 Н/м, |
подвешен магнитный стержень массы |
|
100 г. Нижний конец магнита проходит через катушку, |
|
|
по которой идет переменный ток / = 20sin8л/ А. Ток идет |
|
|
с момента времени / = 0, втягивая стержень в соленоид; |
B f ^ N |
|
до этого момента магнитный стержень висел на пружи- |
|
|
не неподвижно. Сила взаимодействия между магнитом |
|
|
и катушкой определяется равенством F = 0,016л/ Н. Оп- |
|
|
ределить вынужденные колебания магнита. . |
|
|
Р е ш е н и е
Принимая стержень за материальную точку, покажем на рисунке действующие на него силы: силу тяжести mg, силу взаимодействия F магнита с катушкой, восстанавливающую F,„p силу.
Запишем уравнение движения стержня в проекции на ось х:
mx = mg-Fynp + F, |
(1) |
где Fm = c(J„ +х).
Так как f „ = — , то
с
Fw =mg + ex.
С учетом условия определим силу взаимодействия магнита с катушкой
F = 0,016л/ = 0,016л-20sin8л/ = 0,32л sin8n/ = sin8n/. Подставим значения Fynp и F в уравнение (1) и полу-
л |
|
|
|
|
|
|
mx = |
mg-mg-cx+зш8л/ |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
x+k2x |
= hsinpt, |
(2) |
|
где к2 =-, |
к = М |
= лЩ |
= 14 (рад/с); Л = 1 = 10 м/с2, |
|
|
да |
V/и |
V |
ОД |
т |
|
р = 8л.
32. Колебательное движение |
451 |
Уравнение (2) — это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний без учета сопротивления.
Частное решение уравнения (2) определяется видом его правой части:
х = х* = A sinpt.
Возьмем вторую производную от х':
jc* = -Ар2 sin pi
и подставим выражения х* и х* в уравнение (2). После подстановки получим
Откуда |
-Ар2 |
sinpt + k2A sinpt -h sin pt. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
h |
= — |
1000 |
. , |
, . |
A = — |
|
|
= -2,3 |
(CM). |
||
|
k2-p2 |
14 -64-3,14 |
|
|
||
Тогда
x = -2,3sin8jtf.
О т в е т: x = -2,3sin8jtf см.
Задача 32.82
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения магнитного стержня, если его подвесили к концу нерастянутой пружины и отпустили без начальной скорости.
Р е ш е н и е
Запишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения колебаний, полученного в решении задачи 32.81 [см. формулу (1)], в виде
|
х = х + х*, |
|
где х = С, coskt+C2 |
fc |
/196" |
smkt, k = J—= |
J — = 14 (рад/с) — собственная |
|
|
\m |
v ОД |
частота колебаний магнитного стержня; х* = -2,3sin8i« — частное решение, найденное в решении задачи 32.81.
452 |
IX. Динамика материальной точки |
|
Тогда |
|
|
х = С, coskt +С2 sinkt -2,3sin87t/. |
(1) |
|
Проинтегрируем выражение (1) по времени: |
|
|
х = (-С, sin kt+С2 |
coskt)k -23-871 cos 8%t. |
(2) |
Для определения постоянных интегрирования С, и С2 восполь-
. л |
m S |
0,1-9,8 |
, |
зуемся начальными условия: / = 0, х0=-/„ |
= — - = —-—— = - 5 см, |
||
|
с |
19,6 |
|
23 -871 х0 =0. Из формул (1) и (2) найдем: С, = - 5 см;С2 = —— =4ДЗ(см) .
14 Подставим значения С, и С2 в формулу (1) и запишем уравнение
движения магнитного стержня
х= -5cosl4/ + 443sinl4/-23sin87t/.
От в е т : x = -5cosl4f + 4,13sinl4f-23sin87tf см.
Задача 32.83
В условиях задачи 32.81 найти уравнение движения магнитного стержня, если ему в положении статического равновесия сообщили начальную скорость v0 = 5 см/с.
Р е ш е н и е
Решение этой задачи аналогично решению задачи 32.82, отличаются только начальные условия: Г =0, Хо =0, *0 = 5 см/с.
Запишем уравнение движения магнитного стержня, полученное в решении задачи 32.82:
х = С, cos 1 At+С2 sinl4/ -23sin8jc?, |
(1) |
х = 14(-С, sinl4/+C2cosl40-23-87tcos8rc/. |
(2) |
Подставим начальные условия в формулы (1) и (2) и найдем:
С, =0; С2 = 5 + 2 ^ 8 , г =4,486 (см).
Запишем уравнение (1) движения магнитного стержня с учетом найденных значений постоянных С, и С2:
х= 4,486sinl4/ - 23 sin8rcf.
От в е т : x = 4,486sinl4/-2,3sin8jt/ см.
32. Колебательное движение |
453 |
Задача 32.84
Гиря М подвешена на пружине АВ, верхний конец которой совершает гармонические колебания по вертикальной прямой амплитуды а и частоты п: ОхС = a sin лг см. Определить вынужденные колебания гири М при следующих данных: масса гири равна 400 г, от действия силы 39,2 Н пружина удлиняется на 1 м, а - 2 см, и = = 7 рад/с.
Р е ш е н и е
Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки М в проекции на ось х:
mx = mg- Fynp,
где mg — сила тяжести; Fy„p — восстанавливающая сила, Fynp = c(J„ +
+x-as\nnt), |
f„ |
+ х- a sin nt — деформация пружины. |
|
||
Тогда после преобразований |
|
|
|
||
|
|
тх + сх = casinni |
|
||
или |
|
х + кгх |
= h sin pt, |
|
|
|
|
(1) |
|||
где А2 = - |
= ^ |
са _ 39,2 0,02 |
= 196 (см); р = п. |
|
|
= 98; А = — = |
0,4 |
|
|||
т |
0,4 |
т ~ |
|
|
|
Уравнение (1) — это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний без учета сопротивления. Частное решение этого уравнения определяется видом его правой части, т.е.
х - х* = An2 sin nt, jс* = -An2 sinnt.
Подставим выражения x* и x* в уравнение (1) и найдем
h А = -к2 -п2
454 |
IX. Динамика материальной точки |
Тогда уравнение вынужденных колебаний примет вид
_ hsinnt
или после подстановки значений А Д и и
x = 4sin7/.
О т в е т : х = 4sinIt см.
Задача 32.85
Определить движение гири М (см. задачу 32.84), подвешенной на пружине АВ, верхний конец которой А совершает гармонические колебания по вертикали амплитуды а и круговой частоты к, статическое растяжение пружины под действием веса гири равно 8. В начальный момент точка А занимает свое среднее положение, а гиря М находится в покое; начальное положение гири принять за начало координат, а ось Ох направить по вертикали вниз.
Р е ш е н и е |
|
|
|
о, r- |
|
Запишем дифференциальное уравнение движения |
|||||
|
|||||
гири М (см. рисунок) в проекции на ось х: |
|
|
|||
|
|
mx = mg- Fynp, |
|
> |
|
где Fy„v = c(x+f„ |
|
= a sin kt. |
|
О: |
|
Тогда |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
mx = mg-ex- |
cf„ +cx, |
|
мП |
||
или |
|
|
|
||
|
|
|
mg\ |
||
х+(£гх = |
hsinkt, |
(1) |
|||
X' |
|||||
|
|
|
С JZ |
||
где (о — собственная частота колебаний, w |
|
||||
= — - —, с — жесткость |
|||||
mg |
~ |
|
т 5 |
. а с , |
|
|
|
||||
пружины, с = — , |
о — статическое растяжение пружины; h = —; к — |
||||
6 |
|
|
|
т |
|
частота возмущающей силы.
Уравнение (1) — дифференциальное уравнение вынужденных колебаний без учета сопротивления среды.
32. Колебательное движение |
|
|
|
|
455 |
|
Общее решение неоднородного уравнения (1) |
ищем в виде |
|
||||
|
х = С, cosЖ1+С2 |
sin Ж |
t + — - — sin kt, |
(2) |
||
|
|
V8 |
V5 |
i - - k 2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
х = |
Ж |
|
|
hk |
- cos,kt. |
(3) |
|
i/f("c |
's i n if/ + C 2 C O S ifr l + — ~k2 |
|
|||
Исходя из начальных условий: t = 0, х„ = 0, х0 = О, найдем постоян-
ные интегрирования: |
|
|
|
|
С, =0; |
С, = |
hk |
agk4b |
где h = — = Ц- т о
Подставим значения С, и С2 в формулу (2) и запишем уравнение движения гири
х = |
-sin A:t + k —sin J—t |
|
bk2-g |
1g |
V8 |
где к * J ~ .
При резонансе, т.е. при к = решение уравнения (1) ищем в виде
|
х = С, cosЖ |
f+C2sinJ— |
|
t-~coskt, |
(4) |
|||
|
|
1 |
|
V 5 |
|
2к |
|
|
х = |
8 -С. |
sinfe t+C2cosJ~t)+—coskt |
+ ~sinkt. |
(5) |
||||
|
. ' |
П |
2 |
U |
2к |
|
2 |
|
Найдем значения постоянных интегрирования из формул (4) и (5)
[8 ag |
_ а |
исходя из начальных условий: С, =0; С2- — |
|
s W l |
2 |
32. Колебательное движение |
|
457 |
Задача 32.87 |
|
|
Индикатор машины состоит из цилиндра А, в ко- |
|
|
тором ходит поршень В, упирающийся в пружину D; |
|
|
с поршнем соединен стержень ВС, к которому при- |
|
|
креплен пишущий штифт С. Предполагая, что дав- |
|
|
ление пара, выраженное в паскалях, изменяется со- |
|
|
гласно формуле р = 10s|4+3sin |
гДе Т — время |
|
одного оборота вала, определить амплитуду вынуж- |
|
|
денных колебаний штифта С, если вал совершает |
|
|
180 об/мин, при следующих данных: площадь порш- |
|
|
ня индикатора а = 4 см2, масса подвижной части ин- |
^kwyj-ww^r |
|
дикатора 1 кг, пружина сжимается на 1 см силой 29,4 Н. |
|
|
Р е ш е н и е По условию задачи возмущающая сила
Уравнение вынужденных колебаний имеет вид
х+к 2 х = Asinco/.
Амплитуда вынужденных колебаний
а= к2-h со2'
; |
Н |
и |
, ,л55 |
|
и |
|
2 |
, |
3.10s •4-10- |
. |
|
гдей =—, |
# |
|
= 3-10 |
а, с = 4-10^ м , |
h = |
1 |
= 120 (м/с2\) |
||||
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к 2 _ с |
_ 2940 |
|
|
|
18071 . |
|
|
|
|
||
т |
1 |
|
= 2940; |
со = |
30 |
= 6п. |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = |
|
120 |
|
= 0,0464 (м). |
|
||
|
|
|
|
-2940-36-344' |
|
||||||
О т в е т: а = 4,64 см.
32. Колебательное движение |
459 |
Тогда |
|
х = С{ cos 54,22/ +С2 sin 54,22/ +4,64sin 6л/, |
(3) |
х = 54,22(-С, sin 54,22/+С2 cos 54,22/)+4,64 • 6л cos 6л/. |
(4) |
С учетом начальных условий: / = 0, х0 = 0, х0 = 0, из формул (3) и (4) найдем постоянные интегрирования: С, = О, С2 = -1,61 (см).
Подставим эти значения в формулу (3) и получим
х= -1,61 sin54,22/ +4,64 sin6л/.
От в е т : х- -1,61 sin54,22/+4,64 sin67t/ см.
Задача 32.89
Груз массы т = 200 г, подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой 9,8 Н/см, находится под действием силы S = Н sin pt, где Н = 20 Н, р = 50 рад/с. В начальный момент х0 = 2 см, v0 = 10 см/с. Начало координат выбрано в положении статического равновесия. Найти уравнение движения груза.
Р е ш е н и е Покажем на рисунке силы, действующие на груз: силу
тяжести mg, силу упругости Fynv пружины, |
возмущаю- |
|
щую силу S. |
|
|
Запишем дифференциальное уравнение движения |
||
в проекции на ось х: |
|
|
mx = |
mg-Fynf)+S, |
|
где Fynp = c(x+f„)\ S = |
Hsinpt. |
mg |
|
|
|
Тогда, так как в положении статического равнове- |
||
сия mg = cf„ |
|
|
тх = mg — сх — cf„ + Н sinpt |
|
|
или |
тх + сх = Н sin pt. |
|
|
( 1 ) |
|
Перепишем уравнение (1) с учетом данных задачи 0Дх+980х = 20sin50/