doc1
.pdf420 |
IX. Динамика материальной точки |
С другой стороны,
R = av = 2nmv.
При т = 1 кг и v = 1 м/с с учетом выражения (1) получим
,Л = 2л = —In—= — In — = 0,42 (Н). Т 9 0,5 9
О т в е т: R = 0,42 Н.
Задача 32.63
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения модели, если в начальный момент пружина А была растянута, а пружина В сжата на величину А/ = 4 см и модель была отпущена без начальной скорости.
Р е ш е н и е
Составим уравнение движения модели (см. рисунок) в про-
екции на ось х:
Л А Ж
mg
где Fyns> = -ex] R = av. Тогда
тх = — ах — сх
или
х+2п* + к2х = 0. |
(1) |
где п = — ; к1 = —.
2m т
Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний
(1) при к > п имеет вид
х = е'"'{С, cosktt+C2 sin kfi, |
(2) |
где fc, = -Jk2 - и 2 .
32. Колебательное движение |
|
|
421 |
|
Продифференцируем выражение (2) по времени и получим |
||||
х = -ne~"'(Cl cosV+С 2 sin/:,/) + |
sin k,t+C2kt cosА:,/). (3) |
|||
Используя начальные условия: f = 0, х0 |
= Д/ = 4 см, х0 = 0, из формул |
|||
|
|
|
4п |
|
(2) и (3) найдем: С, = 4, С2 = —. |
|
|||
|
|
|
К |
|
В данном случае [см. решение задачи 32.62, формула (1)] |
||||
|
л = |
|
= 0,21 (рад/с). |
|
Тогда, так как Г, =2 Г, |
|
|
|
|
, |
2л |
2л |
2-3,14 |
, |
t |
- — = — |
= —г— = 6,28 (рад/с), |
||
^ |
7; |
2Г |
2-0,5 |
|
|
С |
2 |
^ = 0Д34 (см). |
|
Подставим значения постоянных интегрирования С, и С2 в формулу (2) и запишем уравнение движения модели
х= e~°'2"(4cos6,28/+0,134sin 6,28/).
От в е т : х = 4f0:!"(4cos6,28? +0,134sin 6,280 см.
Задача 32.64
Для определения вязкости жидкости Кулон употреблял следующий метод: подвесив на пружине тонкую пластинку Л, он заставлял ее колебаться сначала в воздухе, а затем в той жидкости, вязкость которой надлежало определить, и находил продолжительность одного размаха: Г, — в первом случае и Т2 — во втором. Сила трения между пластинкой и жидкостью может быть выражена формулой 25pv, где 25— поверхность пластинки, v —ее ско-
рость, р. — коэффициент вязкости. Пренебрегая трением между пластинкой и воздухом, определить коэффициент р по найденным из опыта величинам Г, и Тъ если масса пластинки равна т .
32. Колебательное движение |
423 |
к = 2л;
7f
то
я/я Г1 |
л/я w^v- |
s ^т2 |
Т22 STJ7 |
О т в е т : р = |
лт |
|
57; 72 |
Задача 32.65
Тело массы 5 кг подвешено на пружине, коэффициент жесткости которой равен 2 кН/м. Сопротивление среды пропорционально скорости. Амплитуда после четырех колебаний уменьшилась в 12 раз. Определить период и логарифмический декремент колебаний.
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
||
Выберем начало системы координат Оху в положении |
|
|||||
статического равновесия. Покажем на рисунке силы, |
|
|||||
действующие на тело в произвольном положении: силу |
|
|||||
тяжести mg, силу упругости Fynp пружины, силу сопро- |
|
|||||
тивления Fc |
среды. |
|
|
|
|
|
Запишем уравнение движения тела в проекции на осьх |
1 |
|||||
|
|
mx = mg-Fynp~Fc. |
4 |
|||
|
|
• F |
> |
|||
|
|
|
|
m<, |
||
|
|
|
|
' упр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом |
того, что Fynp = c(/CT +х), /ст |
= —, |
Fc = ах, |
|
||
уравнение примет вид |
|
с |
mg |
|
||
|
|
mx = mg-с |
mg |
ах |
х |
|
|
|
—- - сх - |
|
|
||
|
|
|
с |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
х+2пх |
+ к2х = 0, |
|
|
(1) |
где п |
а |
коэффициент затухания; к = |
1с |
частота свободных |
||
|
2m |
|
|
Vm |
|
|
колебаний.
424 |
IX. Динамика материальной точки |
Найдем
12-Ю3
* = л Р ^ - = 2 0 (РЯД/С).
Так как движение является затухающим и носит колебательный характер (к > я), то
-8 Ш
Ад = Ахе 2 ,
где учтено, что четыре колебания соответствуют восьми размахам.
По условию задачи Ад = ^-Л,, тогда
1 |
|
siL |
— А,=А.е |
2 . |
|
12 |
1 |
|
Прологарифмируем это выражение и получим 8Я = 1п12,
где X — логарифмический декремент колебаний. Откуда
Х = — = -1п12 = 03106.
2 8
С другой стороны, коэффициент затухания
2Х п = -Т
Тогда
к* = fc2 - 44 = к2 - Щ. = > т = |
1 |
= |
=^л/ЗД42+031062 =0316 (с).
От в е т : Т= 0,316 с; X = я7:/2 = 03106.
32. Колебательное движение |
425 |
Задача 32.66
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения тела, если его подвесили к концу нерастянутой пружины и отпустили без начальной скорости.
Р е ш е н и е
Движение тела описывается дифференциальным уравнением, полученным при решении задачи 32.65:
|
|
|
|
|
|
х+2пх+к2х |
= 0. |
|
|
|
(1) |
|||
„ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
™ |
, |
2А. |
2-03Ю6 |
= |
|
Было также рассчитано, что к = 20 рад/с, |
п = — = |
0,316 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
= 1,97 (рад/с), т.е. п < к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение уравнения (1) имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
х = е""(С, cosЛ,/+С2 sin/с,0, |
|
|
(2) |
||||||
х |
= -Jk |
2 |
- и |
2 |
2 |
-1,97 |
2 |
= 19,9. |
|
|
|
|
|
|
где к |
|
|
= л/20 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Продифференцируем выражение (2) по времени: |
|
|
|
|||||||||||
|
х = |
|
|
|
cos fy+С2 |
sin fy) + |
|
sinfy+C2&, cosfy). (3) |
||||||
В соответствии с начальными условиями: t = 0, х0 = - / „ , xQ = 0, из |
||||||||||||||
формул (2) и (3) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
_ |
mg |
= |
5-980 |
. . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С, = — - |
2000 |
= -2,45 (см); |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = -иС, +C2fy
тогда
К19^
Подставим полученные значения постоянных интегрирования С,
иС2 в формулу (2) и запишем уравнение движения тела
х= e-''97'(-2,45cos 19,9/-0,242 sinl9,9/).
От в е т: х = е-1,97'(-2,45 cos 19,9/-0,242 sinl 9,9/) см.
426 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 32.67
Тело массы 6 кг, подвешенное на пружине, при отсутствии сопротивления колеблется с периодом Т = 0,4к с, а если действует сопротивление, пропорциональное первой степени скорости, с периодом Тх = 0,5л: с. Найти коэффициент пропорциональности а в выражении силы сопротивления R = -av и определить движение тела, если в начальный момент пружина была растянута из положения равновесия на 4 см и тело представлено самому себе.
Р е ш е н и е
Запишем.дифференциальное уравнение движения тела под действием силы тяжести mg, силы упругости F m пружины и силы сопротивления R (см. рисунок) в проекции на ось х:
|
mx = mg- /упр - R |
|
|
или |
|
|
|
|
mx = mg-c(f„ |
+x) - av, |
|
Щ |
= x. |
|
|
где L=—,v |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
mx = mg-mg-cx~ax |
|
|
или |
|
|
|
|
x+2nx+k2x |
= 0, |
(1) |
2a , з |
с |
|
|
где п = — ; к2 |
= —. |
|
|
m |
m |
|
|
Уравнение (1) — это дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
Если R = 0, то коэффициент затухания л = 0 и тогда уравнение (1) примет вид
х + к2х = 0. |
(2) |
Уравнение (2) — дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
32. Колебательное движение |
427 |
По условию задачи при отсутствии сопротивления
2л Г = — = 0,4л,
/с
откуда
к ~ 0,4л - 5 (рад/с), |
|
||
при действии сопротивления |
|
|
|
2л |
= 0,5л, |
|
|
Т. = _ |
|
|
|
откуда |
|
|
|
*i = ^ г - |
= 4(рад/с). |
|
|
Орл |
|
|
|
С другой стороны, |
|
|
|
А, = V*2 - л2 => л = Jk 2 |
- к* = л/52 - 4 2 =3 (рад/с). |
|
|
Зная величину л, найдем коэффициент а: |
|
||
а = 2тл = 2-6-3 = 36 (Н • с/м). |
|
||
Решение дифференциального уравнения (1) имеет вид |
|
||
х = jfe^sinOfcjf + a), |
(3) |
||
х = -Лле"" sin (/c,f + a) + ylfc, е"" cos(fy + a). |
(4) |
||
Для нахождения А и а используем начальные условия: ? = 0, х0 |
= 4 см, |
||
х0 =0. Из формул (3) и (4) с учетом начальных условий получим: |
|||
4= Л sin а, |
(5) |
||
— = /4 cosa. |
(6) |
||
Возведем уравнения (5) и (6) в квадрат, затем просуммируем их и с учетом того, что
sin2 a + cos2 a = 1,
32. Колебательное движение |
|
|
|
|
429 |
|||
Так как /сг |
= — , то |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
тх = -сх - |
ах |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х+2пх+к2х |
= 0, |
(1) |
||
~> |
а |
, 21 |
с |
|
|
|
|
|
где 2п = —; к |
= —. |
|
|
|
|
|
||
|
/и |
|
m |
|
|
|
|
|
Рассчитаем параметры колебательной системы, описываемой диф- |
||||||||
ференциальным уравнением (1): |
|
|
|
|||||
|
|
|
/у п р =с Д/=>с = ^ = ^ |
= 49 (ЯМУ, |
|
|||
|
|
|
i? = ctv =»а = -v = ^1 |
= 19,6 (Н/м); |
|
|||
|
|
|
|
[F |
149 |
|
|
|
|
|
|
кЧт=Ы=НРаД/С)' |
|
||||
|
|
|
л |
а |
19,6 |
, . |
... |
|
|
|
|
= — |
- —г— = 5 (рад/с). |
|
|||
|
|
|
|
2/и |
2-1,96 |
|
|
|
Так как к = я, то решение уравнения (1) имеет вид |
|
|||||||
|
|
|
|
х = е-"'(С1/+С2), |
(2) |
|||
|
|
|
i |
= -яе""'(С|/+С2)+С, е'"'. |
(3) |
|||
Постоянные интегрирования С, и С2 найдем из начальных условий: / = 0, ль =5 см, v0 =0, подставив их в формулы (2) и (3):
5 = С2, 0 = -5С2 +С, С, = 5С2 =25.
Значения С, и С2 подставим в формулу (2) и в результате получим
х = 5e~s'(5t +1).
О т в е т : д: = 5e~b'(5t+1) см.