doc1
.pdf390 |
|
IX. Динамика материальной точки |
|
Период колебаний груза Р-2 |
|
|
|
Т _ 2тс_2тц/^ |
К*-) |
||
h - |
Ъ |
f=~> |
|
|
V* |
|
|
где fcj = J-f.
Возведем в квадрат выражения (1) и (2) и найдем разность
Т2 |
Т2 |
4л2(/| -4) |
1 |
2 |
£ |
откуда получим формулу для определения ускорения силы тяжести
„ |
4п2(/. - /2) |
|
О т в е т : g = |
— |
— |
|
2 |
22 |
|
7; |
- Т |
Задача 32.48
По горизонтальной хорде (пазу) вертикально расположенного круга движется без трения точка М массы 2 кг под действием силы притяжения F, пропорциональной по величине расстоянию до центра О, причем коэффициент пропорциональности 98 Н/м. Расстояние от центра круга до хорды равно 20 см, радиус окружности 40 см. Определить закон движения точки, если в начальный момент она находилась в правом крайнем положе-
нии Мй и отпущена без начальной скорости. С какой скоростью точка проходит через середину хорды?
Р е ш е н и е
Изобразим на рисунке точку в промежуточном положении, покажем действующие на нее силы: силу тяжести mg, силу притяжения F, реакцию N опоры.
32. Колебательное движение |
391 |
|
Запишем дифференциальное уравнение |
|
|
движения точки в проекции на ось х: |
|
|
тх = -F cosa, |
|
|
где F = р ОМ, р — коэффициент пропорцио- |
|
|
нальности; cosa = |
х |
|
|
ОМ |
|
Тогда |
|
|
|
тх = - рх . |
|
Запишем это уравнение в виде |
|
|
|
х+к2х-0, |
(1) |
где к2 = — = — = 49, к = 7 рад/с. |
|
|
т 2 |
|
|
Решение уравнения (1) имеет вид |
|
|
|
х = С, coskt +С2 sin kt. |
(2) |
Продифференцируем выражение' (2) по времени: |
|
|
|
х = -С, к sin kt+C2k caskt. |
(3) |
Найдем постоянные интегрирования при заданных начальных |
||
условиях: t = 0, х„ = 0, из формулы (2) получим |
|
|
С, = х = Хо = АМ0 = -JR2 - АО2 = л/402 -202 |
= 34,6 (см), |
|
из формулы (3) |
х — х0 — С2к —v С2 ~ 0. |
|
|
|
|
Подставим значения С, и С2 в формулу (2) и запишем закон движения точки:
х = 34,6 cos It. Скорость точки согласно формуле (3)
х = -242 sin It см/с.
При прохождении точкой середины хорды х = 0, поэтому
х= +242 см/с.
От в е т: х = 34,6 cos It см, х - ±242 см/с.
32. Колебательное движение |
393 |
Итак, в точке D имеем две последовательно соединенные пружины с коэффициентами жесткости спр и с3. Заменим их эквивалент-
ной пружиной и найдем коэффициент жесткости |
этой пружины: |
||||
|
|
С " Р С 3 |
_ |
4 с , « У з |
|
|
J К Е< |
спр + с3 |
4с,с2 +c,c3 + c2c3 |
|
|
|
|
|
|||
а также собственную частоту колебаний груза |
|
||||
|
к= p s . = / |
4cic2C3 |
|
||
|
|
V т |
"y/K(4qc2 +qc3 +<^с3) |
|
|
Ответ: к = J |
f t ^ f » |
с3) |
рад/с. |
|
|
' |
т(4с,с2+с,с3+с2 |
|
|
||
Задача 32.50
Груз массы 10 кг, прикрепленный к пружине с коэффициентом жесткости с = 1,96 кН/м, совершает колебания. Определить полную механическую энергию груза и пружины, пренебрегая массой пружины, построить график зависимости упругой силы от перемещения и показать на нем потенциальную энергию пружины. Принять положение статического равновесия за начало отсчета потенциальной энергии.
Р е ш е н и е
Полная механическая энергия Е рассматриваемой системы
Е = Т + Л, |
(1) |
где Т — кинетическая энергия груза; П — потенциальная энергия пружины.
При движении груза
Т = тх2
2 '
Xх
П= A(Fynp) = j Fynpdx = J cxdx =
394 |
IX. Динамика материальной точки |
Тогда согласно форомуле (1) с учетом данных задачи |
|
Е = 2 + 2 |
= 5х2 +980jc2 . |
Так как |
|
Fynp = |
c(x+l„), |
то график зависимости упругой силы от перемещения — прямая линия (см. рисунок в ответе). Начало отсчета потенциальной энергии принято в положении статического равновесия, поэтому потенциальная энергия пружины равна площади трапеции (см. рисунок), ограниченной по оси абсцисс координатами / с т и х + /„.
О т в е т : Е = I т х 2 +^-сх2 = (5х2 +980*2) Дж, с(х +1„)
если х — в м, х — в м/с. Заштрихованная на рисунке площадь равна потенциальной энергии пружины.
Задача 32.51
Материальная точка массы т находится в поле действия силы с потенциалом
П=\/2к(х2+4у2 +16г2).
Доказать, что при движении точки из любого (ненулевого) начального положения через некоторое время точка снова придет в это положение. Определить это время. Будет ли скорость при возвращении равна начальной скорости?
Р е ш е н и е
Определим проекции силы на декартовы оси координат:
дП
Fr=- дх = -кх;
ду
Е,=- дПdz ••-Ibkz.
32. Колебательное движение |
395 |
Запишем дифференциальное уравнение движения точки в про- |
|
екции на ось х: |
|
тх = -кх |
|
или |
|
x+p2 x = 0, |
(1) |
где р 2 = - , р = |
|
т |
|
Решение дифференциального уравнения (1) имеет вид: |
|
х = С, cos pf+С2 sinPf. |
(2) |
Продифференцируем выражение (2) по времени и получим |
|
х = -рС, sin р? +РС2 cos Pf. |
(3) |
Исходя из начальных условий: / =0, х0 >0, х„ >0, из формул (2) |
|
и (3) найдем постоянные интегрирования: х0 = С,; хд =С2Р, |
следова- |
тельно, С2 — — = Xq |
|
Р |
|
Тогда выражения (2) и (3) примут вид
Найдем период колебаний точки вдоль оси х:
|
|
|
у + а2>' = 0, |
(6) |
Запишем дифференциальное уравнение движения точки в проек- |
||||
ции на ось у. |
ту = - 4ку |
|
||
или |
|
|
|
|
где а |
2 |
4* |
_ |
|
|
= —, а = 2 |
|
||
|
|
т |
|
|
396 |
IX. Динамика материальной точки |
|
|
Решение дифференциального уравнения (6) имеет вид |
|
|
у = С3 cosaf +С4 sin at. |
(7) |
Продифференцируем выражение (7) по времени и получим |
|
|
|
у = - a С3 sinotf + aC4 cosa?. |
(8) |
При начальных условиях: t = 0, у0 >0, у0 >0, из формул (7) и (8) найдем постоянные интегрирования: у0- = С3, у0 =С4а, следователь-
но,
a 24k
Тогда выражения (7) и (8) примут вид
У - Уо cos;1т |
' • f |
(9) |
|
V/и |
|
|
+ у0 cos № |
(10) |
Найдем период колебаний точки вдоль оси у:
Т _2п _2п !т Im
Чт
|
|
|
Z+J2Z |
= 0, |
(11) |
Запишем дифференциальное уравнение движения точки в проек- |
|||||
ции на ось V |
|
|
|||
|
|
|
mz = |
-l6kz |
|
или |
|
|
|
|
|
2 |
= |
16к |
. [к |
|
|
где у1 |
|
, Т = 4 —. |
|
|
|
|
|
т |
\ т |
|
|
Решение дифференциального уравнения (11) имеет вид |
|
||||
|
|
|
Z = C5cosyt+C6sinyt. |
(12) |
|
Продифференцируем выражение (12) по времени и получим |
|
||||
|
|
|
i = -yCssinyt |
+ yC6cosyt. |
(13) |
32. Колебательное движение |
397 |
Исходя из начальных условий: / = 0, Zo >0, to >0, найдем из формул (12) и (13) постоянные интегрирования: Zo-C^io = С6у, следова-
„ |
Zss Zo^in |
|
|
|
|
|
|
тельно, С6 |
= — = -77=^- |
|
|
|
|
|
|
|
у 4-Jk |
|
|
|
|
|
|
Тогда выражения (12), (13) примут вид |
|
& |
|
||||
|
|
4 |
П |
|
|
||
|
Z ~ Zo cos |
to |
т • |
|
|
|
(14) |
|
+—,/— sin |
|
|
|
|||
|
„ F • (л F л |
• |
(л |
[к Л |
(15) |
||
|
- s i n |
4 1— t |
+Zocos |
\ |
4 |
—t |
|
|
\m |
y\m J |
|
Vm |
|
||
Период колебаний точки вдоль оси z:
2п _ 2% 1т _ % (т
11
Так как
то через /min = Тх точка должна вернуться в начальное положение. Подставим t = Тх в формулы (4), (9) и (14) и соответственно получим
Чп .
х = х0 cos 2тс + XoJ— sin 2к = х0,
у = v0 cos 4я + — J — sin 4л = у0,
2 Ik
to W •
? = ZoCOS8K+ —J— siin 87t = 3).
4 U
Следовательно,
T,-=2n
Тт;
Скорость материальной точки при t~Tx~ 2nJ~ определим из формул (5), (10), (15):
х = -х0 Vm/— sin 2я + х0 cos 2л = х0,
398 |
IX. Динамика материальной точки |
У = ~2Уол — sin 4п + >>0 cos 4к - у0, |
|
Z = -4 |
ZoJ— sin 8я+Zo cos 8jc = to• |
J\т-si |
|
|
Im |
Значит, через промежуток времени Тх = 2тсу — точка будет иметь
скорость, равную ее начальному значению.
О т в е т: Т = 2iujm/k . Скорость точки через промежуток времени Т станет равной своему начальному значению.
Задача 32.52
Материальная точка массы m находится в поле действия силы, потенциал которой
П=\/2k(x2+2y2+5z2).
Вернется ли точка в этом случае в исходное положение по прошествии некоторого времени?
Р е ш е н и е
Определим проекции силы на декартовы оси координат:
Fx - - — = -foe,
дх
М
Fy - ~~~ ~ ~2ку, ду
Fz=-—дПdz = -5kz.
Запишем дифференциальные уравнения движения точки в проекции на ось х:
тх = -кх
или
х+р2 х = 0, |
(1) |
12 |
к „ |
\к |
где р |
= - , ( 3 = |
J - . |
|
т |
\т |
32. Колебательное движение |
399 |
Решение дифференциального уравнения (1) имеет вид |
|
х = С, cos р/ +С2 sin(if. |
(2) |
Продифференцируем выражение (2) по времени и получим |
|
х = -PC, sinр/ + РС2 cos р/. |
(3) |
Исходя из начальных условий: / = 0, х0 >0, х0 |
>0, из формул (2) |
и (3) найдем постоянные интегрирования: х0 = С,; х0 = С2р, следова-
„ |
х0 |
. 1т |
|
|
|
|
|
тельно, С2 |
= — = |
x0^jj. |
|
|
|
|
|
Тогда выражения (2) и (3) примут вид |
|
|
|||||
|
|
x = x0cos |
/— / + Xq |
—sin. — t, |
(4) |
||
|
|
|
|
\т |
\к |
Vт |
|
|
|
х = -х0 |
— sinJ— r+XoCos — t. |
(5) |
|||
|
|
|
\ т |
V/я |
|
\ т |
|
Найдем период колебаний точки вдоль оси х: |
|
||||||
|
|
|
Т |
х = ~ = |
U |
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
Запишем дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось у:
|
|
|
ту - - 2 ку |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
х + а2 х = 0, |
(6) |
где а |
, |
2к |
12к |
|
|
= —, а = J — . |
|
||
|
|
т |
V т |
|
Решение дифференциального уравнения (6) имеет вид |
|
|||
|
|
|
у = С3 cosa/+C4 sina/. |
(7) |
Продифференцируем выражение (7) по времени и получим |
|
|||
|
|
|
y = -aC3 sina/ + aC4 cosa/. |
(8) |